\magnification=1100 \nopagenumbers \baselineskip=13pt
\parskip=4pt plus 1pt
\topskip=35pt \hsize 15truecm \vsize 23truecm
\def\itemitemitem{\par\indent\indent\hangindent=3\parindent\textindent}
\def\itemitempegao{\hangindent=2\parindent\textindent}
\def\itemitemitempegao{\hangindent=3\parindent\textindent}
\font\ver=cmcsc10 \font\bmath=cmmib10



\font\tenmsb=msbm10
%\font\eightmsb=msbm8
\font\sevenmsb=msbm7
%\font\sixmsb=msbm6
\font\fivemsb=msbm5
\newfam\msbfam
\textfont\msbfam=\tenmsb \scriptfont\msbfam=\sevenmsb \scriptscriptfont\msbfam=\fivemsb
\def\bbb{\fam\msbfam\tenmsb}% math symbols b, family 11
\def\Bbb{\fam\msbfam\tenmsb}% math symbols b, family 11

%%Blackboardbold
\def\AA{{\bbb A}}
\def\BB{{\bbb B}}
\def\CC{{\bbb C}}
\def\DD{{\bbb D}}
\def\EQ{{\bbb EQ}}
\def\HH{{\bbb H}}
\def\II{{\bbb I}}
\def\JJ{{\bbb J}}
\def\KK{{\bbb K}}
\def\MM{{\bbb M}}
\def\NN{{\bbb N}}
\def\OO{{\bbb O}}
\def\OQ{{\bbb OQ}}
\def\QQ{{\bbb Q}}
\def\RR{{\bbb R}}
\def\VV{{\bbb V}}
\def\ZZ{{\bbb Z}}





%%%%%%%%%%%%%automatic numbering device%%%%%%%%%%%%%

\newcount\recount

\recount=0

\def\ejj{\advance\recount by 1 {\bf \number\recount-. }}




%%%%%%%%%%%%%%FUENTES %%%%%%%%%%%%%%%%
\font\rms=cmr8 \font\bfs=cmbx8 \font\its=cmti8 \font\maths=cmmi8




{\bf Convocatoria de febrero}\hfill Viernes 9 de septiembre de 2005.

\vskip 0.5truecm

 \centerline{\bf{Examen de \'{A}lgebra y Geometr\'{\i}a}}\vskip 0.3truecm

\ejj Sea $\bbb K$ un cuerpo y $V={\bbb K}^3$ con su estructura usual de espacio vectorial sobre $\bbb K$. Sea $W=\{(x,y,z)\in {\bbb K}^3\ \vert\
x+y+z=0\}$
\item{(a)} Demuestra que $W$ es un subespacio de $V$.\hfill {\bf 0.5}
\item{(b)} Calcula las ecuaciones vectoriales, param\'{e}tricas y cartesianas de $W$. \hfill {\bf 0.75}
\item{(c)} Encuentra un subespacio $U$ de $V$ tal que $U\oplus W=V$. \hfill {\bf 0.5}
\item{(d)} Calcula una base de $V/W$ y expresa el vector $[(1,2,3)]$ en dicha base. \hfill {\bf 0.5}

\ejj Sea ${\bbb R}^+=\{x\in {\bbb R}\ \vert\ x>0\}$, los n\'{u}meros reales positivos. Demuestra que $({\bbb R}^+, +',.)$ tiene estructura de espacio
vectorial, en donde: \hfill {\bf 1}
$$\eqalign{\lambda .a&=a^\lambda\quad\hbox{para todo}\quad  \lambda\in {\bbb R}, a\in {\bbb R}^+ \quad\hbox{la operaci\'{o}n externa}\cr
 a+'b&=ab \quad\hbox{para todo} \quad  a,b\in {\bbb R}^+\hskip 1.1truecm\hbox{ la operaci\'{o}n interna}}$$


 \ejj Sea $f:{\bbb R}^2\to {\bbb R}^3$ definida por $f(x,y)=(x+y, x+y, 2x+2y)$.
 \item{(a)} Calcula la matriz asociada a $f$ respecto de las bases can\'{o}nicas.\hfill {\bf 0.5}
  \item{(b)} Calcula la imagen de $f$ y una base de \'{e}sta.\hfill {\bf 0.75}
\item{(c)} Encuentra, si es posible,  bases apropiadas para que la matriz asociada a $f$  sea $\pmatrix{1 &0&0\cr 0&0&0}$.\hfill {\bf 0.75}
\item{(d)} Expresa la relaci\'{o}n existente entre estas matrices calculando expl\'{\i}citamente las matrices de cambio de base.\hfill {\bf 0.75}

\ejj (a) Determina dos matrices inversibles $P$ y $Q$ tales que $QAP=\pmatrix{Id_r&0\cr 0&0}$ para

$A=\pmatrix{2&4&6\cr 3&6&9} \in {\cal M}_{2\times 3}(\RR)$ ?`Quien es $r$?\hfill {\bf 1}

(b) Al ser $Q$ inversible, ?` Es $Q$  una matriz de cambio de base? En caso afirmativo determina bases $B$ y $B'$ de $\RR^2$ tales que
$C_{BB'}=Q$.\hfill {\bf 0.5}

\ejj Encuentra una aplicaci\'{o}n linea, si existe,  $f:{\bbb R}^3\to {\bbb R}^3$ tal que $f(1,2,3)=(1,1,1)$, $f(1,2,0)=(1,1,1)$ y  $ f(1,0,0)=(1,1,1)$.
\hfill {\bf 1}

 \ejj Contesta razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

\item{(a)} Si $(a,b,c), (d,e,f)$ son dos vectores independientes de ${\bbb R}^3$. Entonces en el conjunto $\{(a,d), (b,e), (c,f)\}$
hay dos y s\'{o}lo dos vectores independientes de ${\bbb R}^2$. \hfill {\bf 0.75}
\item{(b)} Sea $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ un conjunto de vectores independientes de un espacio vectorial $V$ sobre $\bbb R$ y sea $w=2v_1+3v_2+4v_3$. Entonces
$\{w,v_2,v_3,v_4\}$ es un conjunto de vectores independientes. \hfill {\bf 0.75}

{\bf Nota I:} la puntuaci\'{o}n de cada ejercicio aparece a la derecha del mismo.

{\bf Nota II:} tiempo estimado 3 horas.
\end
