Algebras Alternativas.

Se empieza como en el capítulo 3 de la Tesis:

– Definición de conmutador y asociador (observar que son aplicaciones multilineales). Definir el núcleo y el centro de un anillo N(R) y Z(R).

– Definición de anillo alternativo.

– Linealización de identidades.

(1) Que demuestren la identidad flexible.

(2) Preguntar por ejemplos de álgebras alternativas.

– Teorema de Artin y Teorema generalizado de Artin. (son demostraciones combinatorias)

– Corolario, las álgebras alternativas son de potencias asociativas.

– Para introducir la clasificación de las algebras alternativas simples, introducir el problema de hurwitz y el proceso de Cayley-Dickson.

– Teorema de clasificación de las álgebras alternativas simples. Separar las de CH como split y no split. y poner el modelo de la única split. (pág. 46 de ZSSS)

– Definir ideal, ideal por la izquierda, ideal por la derecha.

– Definir ideal nuclear y núcleo asociativo. Definir ideal asociador. Definir semiprimo, no degenerado, primo, fuertemente primo. Aclarar que en asociativo, semiprimo si y sólo si no degenerado, y que en alternativo esto ya no es cierto. Definir álgebra puramente alternativa.

– Teorema En un álgebra alternativa no degenerada todo ideal no nulo corta al núcleo en un elemento no nulo.

– Clasificación de las álgebras alternativas fuertemente primas. O es asociativa, o es puramente alternativa, y entonces es una extensión central de un álgebra de Cayley-Dickson. (extensión por escalares)

Productos subdirectos y clasificación de las no degeneradas.

(3) Sea A un álgebra alternativa no degenerada (sobre un cuerpo F) tal que din_{F} N(A) < ∞. Entonces din_{F} A < ∞.

(4) Sea A una álgebra alternativa no degenerada. Si para todo x, y, x ∈ A se tiene que ((xy)z)x = (x(yz))x, entonces A es asociativa.

Nota: Si tenemos un polinomio en un álgebra alternativa, tal que se anule en toda algebra asociativa y no se anule en las álgebras de Cayley-Dickson, tendremos una forma de distinguir cuando un álgebra alternativa no degenerada es asociativa y cuando no (según sea este polinomio identidad del álgebra o no).

Álgebras de Jordan

1. Introduction

1.1 Definición. Sea ϕ un anillo conmutativo y unitario de carácterística distinta de dos. Se dirá que J es una ϕ–álgebra de Jordan lineal si J es un ϕ–módulo con una aplicación J × J ⟶ J, llamada producto, tal que es bilineal, conmutativa y verifica la identidad de Jordan: (x^{2}y) x = x^{2} (yx).

Como ejemplos clásicos de este tipo de álgebras daremos los cuatro siguientes.

1.2 Ejemplo 1. Sea (A, +, , ·) una ϕ–álgebra asociativa, entonces si definimos en A el producto x ∘ y = \frac{1}{2}(xy + yx) obtenemos que (A, +, , ∘) es una álgebra de Jordan. A esta nueva álgebra se la designa por A^{+}.

Demostración. Al ser A una ϕ–álgebra asociativa tenemos que (A, +, ) es un ϕ–módulo, por lo que sólo tenemos que probar las demás propiedades. Claramente se verifica la bilinealidad al ser el producto asociativo bilineal. Por otro lado:

x ∘ y = \frac{1}{2}(xy + yx) = y ∘ x.

Veamos ahora la identidad de Jordan.

(x^{2} ∘ y) ∘ x = \frac{1}{2}\{(x^{2} ∘ y)x + x(x^{2} ∘ y)\} = \frac{1}{4}\{ (x^{2}y + yx^{2})x + x(x^{2}y + yx^{2}) \}

= \frac{1}{2}\{ (x^{2}(y ∘ x) + (y ∘ x)x^{2} \} = x^{2} ∘ (y ∘ x),

con lo que queda probado el resultado.

1.3 Definición. Una ϕ–álgebra de Jordan, J, se dice especial si es subálgebra de algún álgebra A^{+}, en caso contrario diremos que J es excepcional.

Nota: Una buena pregunta en este momento es si hay algún álgebra de Jordan que no sea especial. Como comprobaremos más adelante, las algebras de Albert serán excepcionales, un poco más, serán i-excepcionales.

1.4 Definición. Sea A una ϕ–álgebra asociativa. Se dice que una aplicación ∗ : A ⟶ A es una involución si es ϕ–lineal y cualesquiera que sean los elementos a, b ∈ A tenemos que (ab)^{∗} = b^{∗}a^{∗} y (a^{∗})^{∗} = a.

1.5 Ejemplo 2. Sea A una ϕ–álgebra asociativa y ∗ : A ⟶ A una involución. Entonces H(A, ∗) = {a ∈ A | a^{∗} = a} es un álgebra de Jordan, llamada álgebra de Jordan de tipo hermítico.

Demostración. Sólo nos tenemos que preocupar de que las operaciones son internas para H(A, ∗). Si a, b ∈ H(A,^{∗}), λ ∈ ϕ, entonces

(a + b)^{∗} = a^{∗} + b^{∗} = a + b;
(λa)^{∗} = λa^{∗} = λa;

(a ∘ b)^{∗} = \frac{1}{2}(ab + ba)^{∗} = \frac{1}{2}(b^{∗}a^{∗} + a^{∗}b^{∗}) = \frac{1}{2}(ba + ab) = a ∘ b.

Por tanto H(A, ∗) es una subálgebra del álgebra de Jordan A^{+}.

1.6 Ejemplo 3. Sea V un ϕ–módulo y ⟨, ⟩ : V × V ⟶ ϕ una forma bilineal simétrica. Entonces J = ϕ×V con la estructura usual de ϕ–módulo y definiendole como producto (α, v)(β, w) = (αβ + ⟨v, w⟩, αw + βv) nos da una estructura de álgebra de Jordan.

Demostración. Es claro que J tiene estructura de ϕ–módulo, así, nos preocupamos de las demás propiedades.

(α + v) ∘ (β + w) = αβ + ⟨v, w⟩ + αv + βw = (β + w) ∘ (α + v)

Luego verifica la propiedad conmutativa. Veamos que también se verifica la propiedad distributiva.

(α + v) ∘ {(β + w) + (λ + u)} = α(β + λ) + ⟨v, w + u⟩ + (β + λ)v + α(w + u) = αβ + αλ + ⟨v, w⟩ + ⟨v, u⟩ + βv + λv + αw + αu = (α + v) ∘ (β + w) + (α + v) ∘ (λ + u) Por último verifiquemos la igualdad de jordan, { (α + v)^{2} ∘ (β + w) } ∘ (α + v) = { (α^{2} + ⟨v, v⟩ + 2αv) ∘ (β + w) } ∘ (α + v) = { (α^{2}β + ⟨v, v⟩β + 2α⟨v, w⟩) + (α^{2}w + ⟨v, v⟩w + 2αβv) } ∘ (α + v) = α^{3}β + αβ⟨v, v⟩ + 2α^{2}⟨v, w⟩ + α^{2}⟨v, w⟩ + ⟨v, v⟩⟨v, w⟩ + 2αβ⟨v, v⟩+α^{2}βv+β⟨v, v⟩v+2α⟨v, w⟩v+α^{3}w+α⟨v, v⟩w+2α^{2}βv = α^{3}β+α^{2}⟨v, w⟩+ αβ⟨v, v⟩+2α^{2}⟨v, w⟩+⟨v, v⟩⟨v, w⟩+2αβ⟨v, v⟩+2α^{2}⟨v, w⟩+α^{2}βv +α^{3}w+β⟨v, v⟩v + α⟨v, v⟩w + 2α^{2}βv + 2α⟨v, w⟩v = (α^{2} + ⟨v, v⟩ + 2αv) ∘ (αβ + ⟨v, w⟩ + βv + αw = (α + v)^{2} ∘ {(β + w) ∘ (α + v)}

Aunque en un principio no sea un resultado trivial, el álgebra anterior resulta ser especial, subálgebra del álgebra de Clifford asociada a la forma bilineal definida en V [Referencia].

Como cuarto y último ejemplo daremos un álgebra de Jordan excepcional. Para ello tenemos que echar mano de la teoría de álgebras de composición.[R]

Las álgebras de composición aparecen en la solución de un problema de teoría de números, a saber, se puede escribir el producto de dos sumas de n cuadrados como suma de n cuadrados. El ejemplo para n = 2 nos lo da la norma de un número complejo, ya que la fórmula

|zz′| = |z| |z′|

lo que nos da:

(a^{2} + b^{2})(c^{2} + d^{2}) = (ac − bd)^{2} + (ad + bc)^{2}

Euler y lagrange encontraron fórmulas para la suma de 4 cuadrados y Degen para la suma de 8 cuadrados. En el estudio de este problema, Hamilton demuestra que la existencia de una identidad para la suma de n cuadrados equivalía a encontrar un algebra de división de dimensión n (sobre los reales).

Es Hamilton quien construye una algebra de división de dimensión 4 que resuelve el problema de la suma de 4 cuadrados y Cayley quien construye la de dimensión 8 (sobre 1845). Es hurwitz quien demuestra 50 años mas tarde que no existen identidades para n distintos de 1,2,4,8.

1.7 El proceso de Cayley-Dickson. Consideremos una ϕ–álgebra A dotada de elemento unitario y de una involución a ↦ a^{∗} tal que a + a^{∗}, aa^{∗} ∈ ϕ para cualquier elemento a ∈ A.

Fijemos un elemento no nulo α ∈ ϕ, y representemos por A(α) al álgebra definida en el ϕ–módulo A ⊕ A por la multiplicación:

(a_{1}, a_{2})(b_{1}, b_{2}) := (a_{1}b_{1} + αb_{2}a_{2}^{∗}, a_{1}^{∗}b_{2} + b_{1}a_{2})

A(α) es una ϕ–álgebra unitaria ((1, 0) es el elemento unidad) y el subconjunto A′ := {(a, 0) | a ∈ A} es un subálgebra isomorfa a A.

Tomando v = (0, 1), e identificando A con su imagen isomorfa A′, se tiene que los elementos de A(α) se expresan de la forma x = a_{1} + va_{2}, donde a_{1} y a_{2} están unívocamente determinados por el elemento x. La multiplicación en A(α) viene dada por:

(a_{1} + va_{2})(b_{1} + vb_{2}) := (a_{1}b_{1} + αb_{2}a_{2}^{∗}) + v(a_{1}^{∗}b_{2} + b_{1}a_{2})

Si definimos:

\begin{aligned}∗ : & A(α) & → & A(α) \\ & x = a_{1} + va_{2} & ↦ & a_{1}^{∗} − va_{2} \end{aligned}

tenemos que ∗ es una involución, y x + x^{∗}, xx^{∗} ∈ ϕ para todo x ∈ A(α).

1.8 Ejemplo. Dado un cuerpo F, podemos aplicar el proceso de Cayley-Dickson reiteradamente para obtener las álgebras de composición sobre F, a saber: F, K(μ), Q(μ, β), C(μ, β, γ). Se tiene que C(μ, β, γ) es un álgebra alternativa, no asociativa, llamada álgebra de Cayley-Dickson. Por el Teorema de Kleinfeld, [ZSSS, Corollary 1 de Theorem 7.5] éstas son las únicas álgebras alternativas simples no asociativas.

1.9 Ejemplo 4. Sea (Q, −) una ϕ–álgebra de octoniones, sea M_{n}(Q) las matrices n × n con coeficientes en Q. Entonces la aplicación

\begin{aligned}∗ : & M_{n}(Q) & ⟶ & M_{n}(Q) \\ & A & ⟼ & Ā^{t} \end{aligned}

es una involución en M_{n}(Q), además H(M_{n}(Q), ∗) es una ϕ–álgebra de Jordan, llamada algebra de Hilbert.

Aunque pueda confundir por su aspecto, nos encontramos aquí con nuestra primera álgebra de Jordan excepcional (n ≥ 3). Esto es debido a que Q no es un álgebra asociativa sino que se encuentra en el campo alternativo [R].

La importancia de estos cuatro ejemplos queda patente en los trabajos de Zel’manov sobre la clasificación de las álgebras de Jordan simples artinianas [MZ].

1.10 Definición. Sea J una ϕ-álgebra de Jordan lineal y sea x ∈ J. Se define el operador cuadrático asociado a x, y se representa por U_{x}, como una aplicación:

\begin{aligned}U_{x} : & J & ⟶ & J \\ & y & ⟼ & U_{x}(y) \end{aligned}  siendo  U_{x}(y) = 2x ∘ (x ∘ y) − x^{2} ∘ y

Aunque nuestra álgebra de Jordan no sea unitaria también podemos definir el operador cuadrático asociado a 1 − x como una aplicación

U_{(1−x)} ≡ Id − 2x ∘ y + U_{x}y

naturalmente en caso de álgebra de Jordan unitaria ambas definiciones coinciden.

Se define el triple producto asociado a un álgebra de Jordan J, como la aplicación:

\begin{aligned}\{ , , \} : & J × J × J & ⟶ & J \\ & ( x , y , z ) & ⟼ & \{x, y, z\} \end{aligned} con \{x, y, z\} = \frac{1}{2}(U_{x+z}y − U_{x}y − U_{z}y)

Si J es una ϕ–álgebra de Jordan especial, el operador cuadrático y el triple producto quedan definidos, respecto del producto asociativo, de la siguiente forma:

U_{x}(y) = xyx \{x, y, z\} = \frac{1}{2}(xyz + zyx)

Nos encontramos con una noción de álgebra de Jordan para anillos de escalares de cualquier característica. La definición es la siguiente:

1.11 Definición. Un álgebra de Jordan es un Φ-módulo J dotado de dos “productos” o aplicaciones

\begin{aligned}( )^{2} : & J & ⟶ & J & y & U : & J & ⟶ & End_{Φ}(J) \\ & x & ↦ & x^{2} & & & x & ↦ & U_{x} \end{aligned}

ambas cuadráticas, que satisfacen las siguientes identidades en toda extensión de escalares de J:

(1) x^{2} ∘ y = V_{x,x}y,
(2) x ∘ U_{x}y = U_{x}(x ∘ y),
(3) (x^{2})^{2} = U_{x}x^{2},
(4) (U_{x}y)^{2} = U_{x}U_{y}x^{2},
(5) U_{x^{2}} = U_{x}^{2},
(6) U_{U_{x}y} = U_{x}U_{y}U_{x},

donde x ∘ y := (x + y)^{2} − x^{2} − y^{2} y V_{x,y}z := U_{x,z}y := (U_{x+z} − U_{x} − U_{z})y son sus linealizaciones. Se emplea también la notación {x, y, z} := U_{x,z}y. La validez de las identidades anteriores en toda extensión de escalares de J equivale a que todas sus linealizaciones se cumplan en J.

Nota: Cuando se trabaja en algebras de Jordan cuadráticas que son especiales, el producto de define por x ∘ y := xy + yx.

2. Identidades

Unos de los primeros problemas que aparece al trabajar con álgebras de Jordan es la poca manejabilidad de su producto, al no poseer la preciada propiedad asociativa. Así, uno se ve en la obligación de trabajar usando igualdades ya probadas [OL2,R], o en la necesidad de demostrar las que le sean de interés. Para este segundo caso tenemos los teoremas de Shirshov&Mc-Donald y de Shirshov&Cohn.

2.1 Teorema de Shirshov&Mc-Donald. Cualquier identidad polinómica en tres variables, que tenga grado uno en al menos una de ellas y sea cierta en toda álgebra de Jordan especial es una igualdad en cualquier álgebra de Jordan.

2.2 Teorema de Shirshov&Cohn. Cualquier álgebra de Jordan generada como mucho por dos elementos es especial. Además existe un álgebra asociativa con involución A tal que J ≈ H(A, ∗)

Demostración. La demostración de estos teoremas se puede encontrar en [R] capítulo 3.

2.3 Los teoremas anteriores nos sugieren una nueva clasificación de álgebras de Jordan. Hasta este momento hemos dividido las álgebras de Jordan en dos grandes grupos, las especiales y las excepcionales. No obstantes podemos hacer una clasificación algo más fina. Por un lado nos encontramos con las álgebras de Jordan especiales y dentro de las excepcionales vamos a tener dos categorías, las i-especiales (álgebras que verifican todas las identidades especiales “las identidades que verifican las álgebras de Jordan especiales”) y no i-especiales. Como ejemplo a esto tenemos que la identidad

U_{U_{[x,y]}z}t = U_{[x,y]}U_{z}U_{[x,y]}t

es una identidad que verifica toda algebra de Jordan especial y que no verifica (1.9), por lo que es una s-identidad (identidades que verifican las álgebras de Jordan especiales y no son identidades Jordan).

Las s-identidades no son fáciles de encontrar, por lo que normalmente buscaremos identidades para algebras de Jordan especiales y luego demostraremos que no son s-identidades usando por ejemplo [L].

3. Pares de Jordan

3.1 Definición. Un par de Jordan V es una pareja de Φ-módulos (V^{+}, V^{−}) junto con un par de aplicaciones cuadráticas

\begin{aligned}Q^{σ} : & V^{σ} & ⟶ & Hom_{Φ}(V^{−σ}, V^{σ}) \\ & x & ↦ & Q_{x}^{σ} \end{aligned} σ = ±,

tales que las siguientes identidades se satisfacen en toda extensión de escalares de V:

(JP1) D_{x,y}^{σ}Q_{x}^{σ} = Q_{x}^{σ}D_{y,x}^{−σ},

(JP2) D_{Q_{x}^{σ}y,y}^{σ} = D_{x,Q_{y}^{−σ}x}^{σ},

(JP3) Q_{Q_{x}^{σ}y}^{σ} = Q_{x}^{σ}Q_{y}^{−σ}Q_{x}^{σ},

donde D_{x,y}^{σ}z := Q_{x,z}^{σ}y := {x, y, z} := (Q_{x+z}^{σ} − Q_{x}^{σ} − Q_{z}^{σ})y son sus linealizaciones. En adelante omitiremos el superíndice σ ya que queda determinado por el elemento sobre el que la aplicación actúa.

3.2 Definición. Un sistema triple de Jordan T es un Φ-módulo sobre el que hay definida una aplicación cuadrática

\begin{aligned}P : & T & ⟶ & End_{Φ}(T) & , \\ & x & ↦ & P_{x} \end{aligned}

de modo que si L_{x,y}z := P_{x,z}y := {x, y, z} := (P_{x+z} − P_{x} − P_{z})y denota su linealización, las siguientes identidades se cumplen en toda extensión de escalares de T:

(1) L_{x,y}P_{x} = P_{x}L_{y,x},

(2) L_{P_{x}y,y} = L_{x,P_{y}x},

(3) P_{P_{x}y} = P_{x}P_{y}P_{x}.

3.3 Proposición. Un álgebra de Jordan da lugar a un sistema triple de Jordan simplemente olvidando el cuadrado y poniendo P = U. Duplicando cualquier sistema triple de Jordan T se obtiene el par de Jordan doble V (T) = (T, T) con productos Q_{x}y = P_{x}y, para cualesquier x, y ∈ T. A partir de un par de Jordan V = (V^{+}, V^{−}) se consigue un sistema triple de Jordan (polarizado) T (V) = V^{+} ⊕ V^{−} definiendo P_{x^{+}⊕x^{−}}(y^{+} ⊕ y^{−}) = Q_{x^{+}}y^{−} ⊕ Q_{x^{−}}y^{+} [Ł, 1.13, 1.14].

3.4 definición. Diremos que J es un sistema de Jordan si es indistintamente un álgebra, un sistema triple o un par de Jordan.

3.5 definición. sea J un sistema de Jordan. definir Homomorfismo (Epi, Mono, Iso y Auto). Definir ideal, ideal externo. Sistema de Jordan simple. Semiprimo. primo

3.6 Definición. Se dice que un sistema de Jordan J es no degenerado si el único elemento a ∈ J tal que U_{a}J = 0 es a = 0. Un sistema de Jordan primo y no degenerado se dirá que es fuertemente primo.

3.7 Condiciones de regularidad a través de los funtores V y T:

(i) Sea T un sistema triple de Jordan. (a) T es no degenerado si y sólo si V (T) es no degenerado,

(b) Si V (T) es fuertemente primo , entonces T es fuertemente primo,

(c) Si V (T) es simple, entonces T es simple. (ii) Sea V un par de Jordan.

(a) V es no degenerado si y sólo si T (V) es no degenerado,

(b) V es fuertemente primo si y sólo si T (V) es fuertemente primo,

(c) V es simple si y sólo si T (V) es simple. (iii) Sea J un álgebra de Jordan .

(a) J es no degenerada si y sólo si V (J) es no degenerado,

(b) J es fuertemente prima si y sólo si V (J) es fuertemente primo.

(c) J es simple si y sólo si V (J) es simple. Destacamos que los ideales heredan el carácter no degenerado: (iii) Si J es un sistema de Jordan no degenerado e I es un ideal no nulo de J,

entonces I es no degenerado.

4. Algebras de Lie.

4.1 Definición. Sea ϕ un anillo conmutativo y unitario. Se dirá que L es una ϕ–álgebra de Jlie si L es un ϕ–módulo con una aplicación J × J ⟶ J, llamada producto, tal que es bilineal y verifica las siguientes identidades :

[x, x] = 0  ∀ x ∈ L
[x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]]  ∀ x, y, z ∈ L (identidad de Jacobi)

Nota: Observar que la condición uno implica que las álgebras de Lie son anticonmutativas, y es una condición equivalente a la anti-conmutatividad cuando el álgebra es libre de torsión dos.

4.2 Ejemplo. Sea A un álgebra asociativo. Entonces A con el producto [x, y] := xy − yx tiene estructura de álgebra de Lie, que denotaremos por A^{−}.

Nota: Podríamos definir aquí un álgebra de Lie especial como aquellas que son subálgebra de una de este tipo. No obstante, al contrario de lo que ocurre en las álgebras de Jordan, toda álgebra de Lie es especial (Teorema de Poincaré, Birkhoff-Witt [Jacobson, Lie algebras].

Nota: Definir aqui, o al menos nombrar todas las nociones relacionadas con algebras de Lie. Subalgebra, ideal homomorfismo. “cocientes”, etc.

Veamos que sin mucho esfuerzo, llegamos a un resultado parcial de este. Dado R un anillo asociativo y x un elemento de R, el multiplicador por la derecha de x, esto es la aplicación ρ_{x} : R → R definida por f(x) = yx es un homomorfismo de R-módulos por la izquierda. En anillos alternativos nos aparecen otro tipo de aplicaciones que serán, al igual que los homomorfismos de módulos en anillos asociativos, de gran interés.

4.3 Definición. Sea L un álgebra de Lie. Se dice que una aplicación lineal f : L → L es una derivación si verifica:

f([x, y]) = [f(x), y] + [x, f(y)]

4.4 Definición. Sea L un algebra de Lie y sea x ∈ L se define la multiplicación por x y se representa por ad_{x} como la aplicación

\begin{aligned}ad_{x} : & L & → & L \\ & y & ↦ & [x, y] \end{aligned}

4.5 Proposición. Sea L un algebra de Lie y sea End(L) el anillo de los endomorfismos de L como ϕ-módulo. Entonces:

(1) El conjunto de todas las derivaciones de L, que denotamos por Der(L), es una subalgebra de Lie de End(L)^{−}.

(2) Para cada x ∈ L, ad_{x} ∈ Der(L) y ad_{L} es un ideal de Der(L)^{−}.

4.6 Definición. Sea L un álgebra de Lie. Se define el centro de L, y se representa por Z(L), como:

Z(L) := {x ∈ L | [x, L] = 0}

4.7 Proposición. Sea L un algebra de Lie. Entonces la aplicación

\begin{aligned}ad : & L & → & Der(L)^{−} \\ & x & ↦ & ad_{x} \end{aligned}

es un homomorfismo de álgebras de Lie. Es más, Ker(ad) = Z(L), por lo que si Z(L) = 0, L es “especial”.