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%Hay que quitar {\string #1} y cambiar \noindent por \vskip 3 pt plus 1 pt

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%%%%%%%%%%%%%% FUENTES %%%%%%%%%%%%%%%%
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\def\headimpar{ \centerline{{\ver Algberas no asociativas}} \hss {\rm \folio} }
\def\headpar{{\rm \folio}\hfill
\centerline{\ver Curso de doctorado} \hss }

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%%%%%%%%%%% BIBLIOGRAFIA %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \centerline{ {\ver Algebras Alternativas.}}

Se empieza como en el cap\'{\i}tulo 3 de la Tesis:

-- Definici\'{o}n de conmutador y asociador (observar que son aplicaciones multilineales). Definir el n\'{u}cleo y el centro de un anillo $N(R)$ y $Z(R)$.

-- Definici\'{o}n de anillo alternativo.

-- Linealizaci\'{o}n de identidades.

\Red (1) Que demuestren la identidad flexible.

(2) Preguntar por ejemplos de \'{a}lgebras alternativas.\Black

-- Teorema de Artin y Teorema generalizado de Artin. (son demostraciones combinatorias)

-- Corolario, las \'{a}lgebras alternativas son de potencias asociativas.

-- Para introducir la clasificaci\'{o}n de las algebras alternativas simples, introducir el problema de hurwitz y el proceso de Cayley-Dickson.

-- Teorema de clasificaci\'{o}n de las \'{a}lgebras alternativas simples. Separar las de CH como split y no split. y poner el modelo de la \'{u}nica split. (p\'{a}g.
46 de ZSSS)

-- Definir ideal, ideal por la izquierda, ideal por la derecha.

-- Definir ideal nuclear y n\'{u}cleo asociativo. Definir ideal asociador. Definir semiprimo, no degenerado, primo, fuertemente primo. Aclarar que en
asociativo, semiprimo si y s\'{o}lo si no degenerado, y que en alternativo esto ya no es cierto. Definir \'{a}lgebra puramente alternativa.

-- Teorema En un \'{a}lgebra alternativa no degenerada todo ideal no nulo corta al n\'{u}cleo en un elemento no nulo.

-- Clasificaci\'{o}n de las \'{a}lgebras alternativas fuertemente primas. O es asociativa, o es puramente alternativa, y entonces es una extensi\'{o}n central de
un \'{a}lgebra de Cayley-Dickson.  (extensi\'{o}n por escalares)

Productos subdirectos y clasificaci\'{o}n de las no degeneradas.

\Red (3) Sea $A$ un \'{a}lgebra alternativa no degenerada (sobre un cuerpo $F$) tal que $din_FN(A)<\infty$. Entonces $din_F A<\infty$.

(4) Sea $A$ una \'{a}lgebra alternativa no degenerada. Si para todo $x,y,x\in A$ se tiene que $((xy)z)x=(x(yz))x$, entonces $A$ es asociativa.\Black


{\bf Nota:} Si tenemos un polinomio en un \'{a}lgebra alternativa, tal que se anule en toda algebra asociativa y no se anule en las \'{a}lgebras de
Cayley-Dickson, tendremos una forma de distinguir cuando un \'{a}lgebra alternativa no degenerada es asociativa y cuando no (seg\'{u}n sea este polinomio
identidad del \'{a}lgebra o no).



\vfill\eject
   \centerline{ {\ver \'{A}lgebras de Jordan}}





\parrafo{Introduction}

\re{\defJordan}{Definici\'{o}n} Sea $\phi$ un anillo conmutativo y unitario de car\'acter\'\i stica
 distinta de dos. Se dir\'a que $J$ es una {\bf $\phi $--\'algebra de Jordan
lineal} si $J$ es un $\phi $--m\'odulo con una aplicaci\'on
 $J \times J \longrightarrow J$, llamada producto, tal que es  bilineal,
conmutativa y verifica la identidad de Jordan:
 $\left( x^2 y\right) x=x^2\left(yx \right)$.\endre



Como ejemplos cl\'asicos de este tipo de \'algebras daremos los cuatro siguientes.

\re{\ejemUno}{Ejemplo 1}Sea $(A,+,\ ,\cdot)$ una $\phi$--\'algebra asociativa, entonces si definimos
 en $A$ el producto $x\circ y={1\over 2} (xy+yx)$ obtenemos que $(A,+,\  , \circ)$ es
 una \'algebra de Jordan. A esta nueva \'algebra se la designa por $A^+$.
\endre \Proof  Al ser $A$ una $\phi$--\'algebra asociativa tenemos que $(A,+,\ )$ es un   $\phi$--m\'odulo, por lo que s\'olo tenemos que probar las
dem\'as propiedades. Claramente se verifica la bilinealidad al ser el producto
 asociativo bilineal. Por otro lado:
$$x\circ y={1\over 2} (xy+yx)=y\circ x.$$ Veamos ahora la identidad de Jordan.
$$(x^2 \circ y)\circ x= {1\over 2} \{ (x^2\circ y)x+x(x^2\circ y)\}=
\frac14 \{\,(x^2y+yx^2)x+x(x^2y+yx^2)\,\}$$
$$=\frac 12\{\, (x^2(y\circ x)+(y\circ x)x^2\,\}=x^2\circ (y\circ x),$$ con
 lo que queda probado el resultado.
\endproof

\re{\defespecial}{Definici\'{o}n} Una $\phi$--\'algebra de Jordan, $J$, se dice {\bf especial} si es
 sub\'algebra de alg\'un \'algebra $A^+$, en caso contrario diremos que $J$ es
 {\bf excepcional}.\endre

 {\bf Nota:} Una buena pregunta en este momento es si hay alg\'{u}n \'{a}lgebra de Jordan que no sea especial. Como comprobaremos m\'{a}s adelante, las algebras
 de Albert ser\'{a}n excepcionales, un poco m\'{a}s, ser\'{a}n i-excepcionales.

\re{\definv}{Definici\'{o}n} Sea $A$ una $\phi$--\'algebra asociativa. Se dice que una aplicaci\'on $*:A\longrightarrow A$ es una {\bf involuci\'on} si
es $\phi$--lineal y cualesquiera que sean los elementos $a,b \in A$ tenemos que $(ab)^*=b^* a^* $ y $(a^*)^*=a$.

\re{\ejemplodos}{Ejemplo 2} Sea $A$ una $\phi$--\'algebra asociativa y $*:A\longrightarrow A$ una involuci\'on. Entonces $H(A,*)=\{ a\in A\  \vert\
a^* =a \}$  es un \'algebra de Jordan, llamada \'algebra de Jordan de tipo herm\'\i tico. \endre \Proof S\'olo nos tenemos que preocupar de que las
operaciones
 son internas
para $H(A,*)$. Si $a,b\in H(A, ^*), \lambda\in \phi$, entonces
 $$(a+b)^*=a^*+b^*=a+b;$$
$$(\lambda a)^*=\lambda a^*=\lambda a;$$
 $$(a\circ b)^*=\frac12 (ab+ba)^*=\frac12 (b^*a^*+a^*b^*)=
{1\over 2}(ba+ab)=a\circ b.$$ Por tanto  $H(A,*)$
 es una sub\'algebra del \'algebra de Jordan $A^+$.
\endproof


\re{\ejemplotres}{Ejemplo 3}Sea $V$ un $\phi$--m\'odulo y $\langle , \rangle:V \times V
 \longrightarrow \phi$ una forma bilineal sim\'etrica. Entonces $J=\phi \times V$ con
 la estructura usual de $\phi$--m\'odulo y definiendole como producto
 $(\alpha ,v)(\beta , w)=
(\alpha \beta +\langle v ,w \rangle,\alpha w+ \beta v)$ nos da una estructura de \'algebra de Jordan. \endre

\Proof Es claro que $J$ tiene estructura de $\phi$--m\'odulo,
 as\'\i, nos
 preocupamos de las dem\'as propiedades.\par
 $(\alpha +v)\circ (\beta +w)=\alpha \beta+\langle v,w\rangle+
 \alpha v+\beta w=(\beta +w)\circ(\alpha +v)$

Luego verifica la propiedad
 conmutativa. Veamos que tambi\'en se verifica la propiedad  distributiva.

$ (\alpha +v)\circ \{(\beta +w)+(\lambda+ u)\}=\alpha (\beta+\lambda)+ \langle v, w+u\rangle+ (\beta+\lambda)v+\alpha (w+u)= \alpha \beta+
\alpha\lambda+\langle v,w\rangle +\langle v,u\rangle+ \beta v+\lambda v+ \alpha w+\alpha u=(\alpha+v)\circ (\beta+w)+(\alpha+v) \circ (\lambda+u) $
 Por \'ultimo verifiquemos la igualdad de jordan,
$\{\,(\alpha+v)^2\ \circ (\beta +w)\,\}\circ (\alpha+v)= \{\,(\alpha^2+\langle v,v\rangle+2\alpha v)\circ (\beta +w)\,\}\circ (\alpha+v)=
\{\,(\alpha^2\beta+\langle v,v\rangle\beta+2\alpha\langle v,w\rangle)+ (\alpha^2 w+\langle v,v\rangle w+2\alpha\beta v)\,\}\circ (\alpha+v)=
\alpha^3\beta+\alpha\beta\langle v,v\rangle+2\alpha^2\langle v,w\rangle +\alpha^2\langle v,w\rangle+ \langle v,v\rangle\langle
v,w\rangle+2\alpha\beta \langle v,v\rangle+ \alpha^2\beta v+\beta \langle v,v\rangle v+2\alpha \langle v,w\rangle v+ \alpha^3 w+\alpha\langle
v,v\rangle w+2\alpha^2\beta v= \alpha^3\beta+ \alpha^2\langle v,w\rangle+\alpha\beta\langle v,v\rangle+2\alpha^2\langle v,w\rangle+ \langle
v,v\rangle\langle v,w\rangle+2\alpha\beta \langle v,v\rangle+ 2\alpha^2\langle v,w\rangle+ \alpha^2\beta v+\alpha^3 w+\beta \langle v,v\rangle v
+\alpha\langle v,v\rangle w+2\alpha^2\beta v+2\alpha \langle v,w\rangle v= (\alpha^2+\langle v,v\rangle +2\alpha v)\circ (\alpha\beta+\langle v, w
\rangle+ \beta v+\alpha w=(\alpha+v)^2\circ \{(\beta+w)\circ (\alpha+v)\}$ \endproof

Aunque en un principio no sea un resultado trivial, el \'algebra anterior resulta ser especial,
 sub\'algebra del
 \'algebra de Clifford asociada a la forma bilineal definida en $V$ [Referencia].

Como cuarto y \'ultimo ejemplo daremos un \'algebra de Jordan excepcional.
 Para ello
 tenemos que echar mano de la teor\'\i a de \'algebras de composici\'on.[\it R\rm]

Las \'{a}lgebras de composici\'{o}n aparecen en la soluci\'{o}n de un problema de teor\'{\i}a de n\'{u}meros, a saber, se puede escribir el producto de dos sumas de n
cuadrados como suma de n cuadrados. El ejemplo para $n=2$ nos lo da la norma de un n\'{u}mero complejo, ya que  la f\'{o}rmula $$\vert zz'\vert=\vert z\ver
\vert\ \vert z'\vert$$ lo que nos da:
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$$

Euler y lagrange encontraron f\'{o}rmulas para la suma de 4 cuadrados y Degen para la suma de 8 cuadrados. En el estudio de este problema, Hamilton
demuestra que la existencia de una identidad para la suma de n cuadrados equival\'{\i}a a encontrar un algebra de divisi\'{o}n de dimensi\'{o}n $n$ (sobre los
reales).

Es Hamilton quien construye una algebra de divisi\'{o}n de dimensi\'{o}n 4 que resuelve el problema de la suma de 4 cuadrados y Cayley quien construye la de
dimensi\'{o}n 8 (sobre 1845). Es hurwitz quien demuestra 50 a\~{n}os mas tarde que no existen identidades para $n$ distintos de 1,2,4,8.

\re{\ProCay}{El proceso de Cayley-Dickson} Consideremos una $\phi$--\'algebra $A$ dotada de elemento unitario y de una involuci\'on $a\mapsto a^*$
tal que $a+a^*$, $aa^*\in \phi$  para cualquier elemento $a\in A$.

Fijemos un elemento no nulo $\alpha\in \phi$, y representemos por $A(\alpha)$ al \'algebra definida en el $\phi$--m\'odulo $A\oplus A$ por la
multiplicaci\'on:
$$(a_1,a_2)(b_1,b_2):=(a_1b_1+\alpha b_2a_2^*,a_1^*b_2+b_1a_2)$$

$A(\alpha)$ es una $\phi$--\'algebra unitaria ($(1,0)$ es el elemento unidad) y el subconjunto $A^\prime:= \{(a,0)\ \vert \ a\in A\}$ es un
sub\'algebra isomorfa a $A$.

Tomando $v=(0,1)$, e identificando $A$ con su imagen isomorfa $A^\prime$, se tiene que los elementos de $A(\alpha)$ se expresan de la forma
$x=a_1+va_2$, donde $a_1$ y $a_2$ est\'an un\'\i vocamente determinados por el elemento $x$. La multiplicaci\'on en $A(\alpha)$ viene dada por:

$$(a_1+va_2)(b_1+vb_2):=(a_1b_1+\alpha b_2a_2^*)+v(a_1^*b_2+b_1a_2)$$

Si definimos: $$\matrix{ \ast :&A(\alpha)&\to& A(\alpha)\cr &x=a_1+va_2&\mapsto& a_1^*-va_2}$$ tenemos que $\ast$ es una involuci\'on, y $x+x^*,
xx^*\in \phi$ para todo $x\in A(\alpha)$.

\re{\ejem}{Ejemplo}Dado un cuerpo $F$, podemos aplicar el proceso de Cayley-Dickson reiteradamente para obtener las \'algebras de composici\'on sobre
$F$, a saber: $F$, $K(\mu)$, $Q(\mu, \beta)$, $C(\mu,\beta,\gamma)$. Se tiene  que $C(\mu,\beta,\gamma)$ es un \'algebra alternativa, no asociativa,
llamada \'algebra de Cayley-Dickson. Por el Teorema de Kleinfeld, [ZSSS, Corollary 1 de Theorem 7.5] \'estas son las \'unicas \'algebras alternativas
simples no asociativas.\endre

\re{\ejemplocuatro}{Ejemplo 4} Sea  $(\Cal{ Q}, -)$ una $\phi$--\'algebra de octoniones, sea ${\Cal M}_n ({\Cal Q})$ las matrices $n\times n$ con
coeficientes en $\Cal Q$.
 Entonces la aplicaci\'on $$
\matrix{ *:&{\Cal M}_n ({\Cal Q})&\longrightarrow&{\Cal M}_n ({\Cal Q})\cr \ &A&\longmapsto&\bar A^t }$$
 es una involuci\'on en ${\Cal M}_n ({\Cal Q})$, adem\'as
$H({\Cal M}_n ({\Cal Q}),\ast)$ es una $\phi$--\'algebra de Jordan, llamada algebra de Hilbert. \endre Aunque pueda confundir por su aspecto, nos
encontramos
 aqu\'\i\  con nuestra primera \'algebra de Jordan excepcional $(n\ge 3)$.
 Esto es debido a que
 $\Cal Q$ no es un \'algebra asociativa sino que se encuentra en el campo
 alternativo [\it R\rm].

La importancia de estos cuatro ejemplos queda patente en los trabajos de   Zel'manov sobre la clasificaci\'on de las \'algebras de Jordan simples
artinianas  [\it MZ\rm].\par

\re{\defOprcua}{Definici\'{o}n} Sea $J$ una $\phi$-\'{a}lgebra de Jordan lineal y sea $x\in J$. Se define el
 {\bf operador cuadr\'atico} asociado
 a  $x$, y se representa por $U_x$, como una aplicaci\'on:
$$\matrix{ U_x:&J&\longrightarrow&J\cr
\ &y&\longmapsto&U_x(y) } \qquad\hbox{siendo} \qquad U_x(y)= 2x\circ (x\circ y)-x^2\circ y$$

 Aunque nuestra \'algebra de Jordan no sea unitaria tambi\'en podemos
definir el  operador  cuadr\'atico asociado a $1-x$ como una aplicaci\'on
 $$U_{(1-x)}\equiv Id-2x\circ y+U_x y$$ naturalmente en caso de \'algebra de Jordan
unitaria ambas definiciones coinciden.

 Se define el {\bf triple producto} asociado
 a un \'algebra de Jordan $J$, como la   aplicaci\'on:
 $$\matrix{ \{\ ,\ ,\ \}:&J\times J\times J&\longrightarrow&J\cr
\ &(\ x\,,\,y\, \,,z\ )&\longmapsto&\{x,y,z \} } \quad \hbox{con} \quad\{x,y,z \}=\frac 12 (U_{x+z} y-U_x y-U_z y)$$

Si $J$ es una $\phi$--\'algebra de Jordan especial, el operador
 cuadr\'atico y el triple producto quedan definidos, respecto del producto asociativo, de la
siguiente forma:
$$U_x(y)=xyx\qquad \{x,y,z \}=\frac 12 (xyz+zyx)$$



 Nos encontramos con una noci\'{o}n de \'{a}lgebra de Jordan para anillos de escalares de cualquier caracter\'{\i}stica. La definici\'{o}n
es la siguiente:

\re{\defJordos}{Definici\'{o}n} Un {\it \'algebra de Jordan} es un $\Phi$-m\'odulo $J$ dotado de dos ``productos" o aplicaciones
$$
\matrix{(\ )^2:& J& \longrightarrow & J & \quad \hbox{ y } \quad & U:& J &\longrightarrow & End_\Phi(J) \cr \hss & x &\mapsto & x^2 & \hss & \hss & x
& \mapsto & U_x\cr }
$$
ambas cuadr\'aticas, que satisfacen las siguientes identidades en toda extensi\'on de escalares de $J$:
\itemitem{(1)} $x^2\circ y= V_{x,x}y$,
\itemitem{(2)} $x\circ U_xy= U_x(x\circ y)$,
\itemitem{(3)} $(x^2)^2=U_xx^2$,
\itemitem{(4)} $(U_xy)^2=U_xU_yx^2$,
\itemitem{(5)} $U_{x^2}=U_x^2$,
\itemitem{(6)} $U_{U_xy}=U_xU_yU_x$,

\noindent donde $x\circ y:=(x+y)^2-x^2-y^2$ y $V_{x,y}z:=U_{x,z}y:=(U_{x+z}-U_x-U_z)y$ son sus linealizaciones. Se emplea tambi\'en la notaci\'on $\{
x, y, z\}:=U_{x,z}y$. La validez de las identidades anteriores en toda extensi\'on de escalares de $J$ equivale a que todas sus linealizaciones se
cumplan en $J$.\endre

{\bf Nota:} Cuando se trabaja en algebras de Jordan cuadr\'{a}ticas que son especiales, el producto de define por $x\circ y:= xy+yx$.


\parrafo{Identidades}

Unos de los primeros problemas que aparece al trabajar con \'algebras de Jordan es la poca manejabilidad de su producto, al no poseer la preciada
propiedad asociativa. As\'\i, uno se ve en la obligaci\'on de trabajar usando
 igualdades
ya probadas [\it OL2,R\rm], o en la necesidad de demostrar las que le sean de inter\'es. Para este segundo
 caso tenemos los teoremas de Shirshov\&Mc-Donald y de Shirshov\&Cohn.

\re{\teoCM}{Teorema de Shirshov\&Mc-Donald}Cualquier identidad poli\-n\'{o}\-mi\-ca en
 tres variables, que tenga grado uno
 en al menos una de ellas y sea cierta en toda \'algebra de Jordan especial
es una igualdad en cualquier \'algebra de Jordan. \endre

\re{\teoCC}{Teorema de Shirshov\&Cohn}Cualquier \'algebra de Jordan ge\-ne\-rada
 como mucho por dos elementos
 es especial. Adem\'as existe un \'algebra asociativa con involuci\'on
$A$ tal que  $J\approx H(A,*)$ \endre \Proof La demostraci\'on de estos teoremas se puede encontrar en [\it R\rm] cap\'\i tulo 3. \endproof

\re{\busident}{} Los teoremas anteriores nos sugieren una nueva clasificaci\'{o}n de \'{a}lgebras de Jordan. Hasta este momento hemos dividido las \'{a}lgebras
de Jordan en dos grandes grupos, las especiales y las excepcionales. No obstantes podemos hacer una clasificaci\'{o}n algo m\'{a}s fina. Por un lado nos
encontramos con las \'{a}lgebras de Jordan especiales y dentro de las excepcionales vamos a tener dos categor\'{\i}as, las i-especiales (\'{a}lgebras que
verifican todas las identidades especiales ``las identidades que verifican las \'{a}lgebras de Jordan especiales") y no i-especiales. Como ejemplo a esto
tenemos que la identidad $$U_{U_{[x,y]}z}t=U_{[x,y]}U_zU_{[x,y]}t$$ es una identidad que verifica toda algebra de Jordan especial y que no verifica
(\ejemplocuatro), por lo que es una s-identidad (identidades que verifican las \'{a}lgebras de Jordan especiales y no son identidades Jordan).

Las s-identidades no son f\'{a}ciles de encontrar, por lo que normalmente buscaremos identidades para algebras de Jordan especiales y luego demostraremos
que no son s-identidades usando por ejemplo [L].

\parrafo{Pares de Jordan}

\re{\defParJor}{Definici\'{o}n} Un {\it par de Jordan} $V$ es una pareja de $\Phi$-m\'odulos $(V^+,V^-)$ junto con un par de aplicaciones cuadr\'aticas
$$
\matrix{Q^\sigma: & V^\sigma &\longrightarrow & Hom_\Phi(V^{-\sigma},V^\sigma) \cr \hss & x & \mapsto & Q^\sigma_x  }\qquad   \sigma=\pm,
$$
tales que las siguientes identidades se satisfacen en toda extensi\'on de escalares de $V$:
\itemitem{{\rm (JP1)}} $D_{x,y}^\sigma Q_x^\sigma = Q_x^\sigma D_{y,x}^{-\sigma}$,
\itemitem{{\rm (JP2)}} $D^\sigma_{Q_x^\sigma y,y}= D^\sigma_{x,Q_y^{-\sigma}x}$,
\itemitem{{\rm (JP3)}} $Q^\sigma_{Q^\sigma_x y}=Q^\sigma_x Q^{-\sigma}_y Q^\sigma_x$,

\noindent donde $D^\sigma_{x,y}z:=Q^\sigma_{x,z}y:=\{x,y,z\}:=(Q^\sigma_{x+z}-Q^\sigma_x-Q^\sigma_z)y$  son sus linealizaciones. En adelante
omitiremos el super\'{\i}ndice $\sigma$ ya que queda determinado por el elemento sobre el que la aplicaci\'on act\'ua.

\re{\defSisTriJor}{Definici\'{o}n} Un {\it sistema triple de Jordan}  $T$ es un $\Phi$-m\'odulo sobre el que hay definida una aplicaci\'on cuadr\'atica
$$
\matrix{P: & T & \longrightarrow & End_{\Phi}(T)&\ ,\cr \hss & x &\mapsto & P_x &\hss \cr}
$$
de modo que si $L_{x,y}z:= P_{x,z}y:=\{x,y,z\}:=(P_{x+z}-P_x-P_z)y$ denota su  li\-ne\-a\-li\-za\-ci\'on, las siguientes identidades se cumplen en
toda extensi\'on de escalares de $T$:
\itemitem{(1)} $L_{x,y}P_x=P_xL_{y,x}$,
\itemitem{(2)} $L_{P_xy, y}=L_{x,P_yx}$,
\itemitem{(3)} $P_{P_xy}=P_xP_yP_x$.

\re{\funtors}{Proposici\'{o}n} Un \'algebra de Jordan da lugar a un sistema triple de Jordan simplemente olvidando el cuadrado y poniendo $P=U$.
Duplicando cualquier sistema triple de Jordan $T$ se obtiene el {\it par de Jordan doble} $V(T)=(T,T)$ con productos $Q_xy=P_xy$, para cualesquier
$x,y\in T$. A partir de un par de Jordan $V=(V^+,V^-)$ se consigue un sistema triple de Jordan ({\it polarizado}) $T(V)=V^+\oplus V^-$ definiendo
$P_{x^+\oplus x^-}(y^+\oplus y^-)=Q_{x^+}y^-\oplus Q_{x^-}y^+$ [\L, 1.13, 1.14].

\re{\defsisJor}{definici\'{o}n} Diremos que $J$ es un {\bf sistema de Jordan} si es indistintamente un \'{a}lgebra, un sistema triple o un par de
Jordan.\endre

\re{\defsisJor}{definici\'{o}n} sea $J$ un sistema de Jordan. definir Homomorfismo (Epi, Mono, Iso y Auto). Definir ideal, ideal externo. Sistema de
Jordan simple. Semiprimo. primo


 \re{\defnonde}{Definici\'{o}n}  Se dice que un sistema de Jordan $J$ es {\bf no degenerado} si el \'unico
 elemento $a\in J$ tal que $U_aJ=0$ es $a=0$. Un sistema de Jordan primo y no degenerado se dir\'{a} que es {\bf fuertemente primo}. \endre


\re{\funtorinheritance}{}  Condiciones de regularidad a trav\'es de los funtores $V$ y $T$:
\itemitem{(i)}Sea $T$ un sistema triple de Jordan.
\itemitemitem{(a)}$T$ es no degenerado  si y s\'olo si $V(T)$
es no degenerado,
\itemitemitem{(b)}Si $V(T)$ es fuertemente primo , entonces $T$ es fuertemente primo,
\itemitemitem{(c)}Si $V(T)$ es simple, entonces $T$ es simple.
\itemitem{(ii)}Sea $V$ un par de Jordan.
\itemitemitem{(a)}$V$ es no degenerado  si y s\'olo si $T(V)$
es no degenerado,
\itemitemitem{(b)}$V$ es fuertemente primo si y s\'olo si $T(V)$ es fuertemente primo,
\itemitemitem{(c)}$V$ es simple si y s\'olo si $T(V)$ es simple.
\itemitem{(iii)}Sea $J$ un \'algebra de Jordan  .
\itemitemitem{(a)}$J$ es no degenerada  si y s\'olo si $V(J)$
es no degenerado,
\itemitemitem{(b)}$J$ es fuertemente prima   si y s\'olo si $V(J)$ es fuertemente primo.
\itemitemitem{(c)}$J$ es simple si y s\'olo si $V(J)$ es simple.


Destacamos   que los ideales heredan el car\'{a}cter no degenerado:

\itemitem{(iii)}Si $J$ es un sistema  de Jordan no degenerado e $I$ es un ideal no nulo de $J$, entonces $I$ es no degenerado.

\parrafo{Algebras de Lie.}

\re{\defLie}{Definici\'{o}n}  Sea $\phi$ un anillo conmutativo y unitario. Se dir\'a que $L$ es una {\bf $\phi $--\'algebra de Jlie} si $L$ es un $\phi
$--m\'odulo con una aplicaci\'on
 $J \times J \longrightarrow J$, llamada producto, tal que es  bilineal y verifica las siguientes  identidades :
 $$\eqalign{[x,x]&=0\hskip 5.33truecm \forall \quad x\in L\cr [x,[y,z]]&=[[x,y],z]+[y,[x,z]]\hskip 2truecm
 \forall\quad x,y,z\in L\quad\hbox{\rm(identidad de Jacobi)}}$$\endre
 {\bf Nota:} Observar que la condici\'{o}n uno  implica que las \'{a}lgebras de Lie son anti-conmutativas, y es una condici\'{o}n equivalente a la anti-conmutatividad
  cuando el \'{a}lgebra
  es libre de torsi\'{o}n dos.

  \re{\ejemLie}{Ejemplo} Sea $A$ un \'{a}lgebra asociativo. Entonces $A$ con el producto $[x,y]:=xy-yx$ tiene estructura de \'{a}lgebra de Lie,
  que denotaremos por $A^-$.\endre

{\bf Nota:} Podr\'{\i}amos definir aqu\'{\i} un \'{a}lgebra de Lie especial como aquellas que son sub\'{a}lgebra de una de este tipo. No obstante, al contrario de lo
que ocurre en las \'{a}lgebras de Jordan, toda \'{a}lgebra de Lie es especial (Teorema de Poincar\'{e}, Birkhoff-Witt [Jacobson, Lie algebras].

{\bf Nota:} Definir aqui, o al menos nombrar todas las nociones relacionadas con algebras de Lie. Subalgebra, ideal homomorfismo. ``cocientes", etc.

Veamos que sin mucho esfuerzo, llegamos a un resultado parcial de este. Dado $R$ un anillo asociativo y $x$ un elemento de $R$, el multiplicador por
la derecha de $x$, esto es la aplicaci\'{o}n $\rho_x:R \to R$ definida por $f(x)=yx$ es un homomorfismo de $R$-m\'{o}dulos por la izquierda. En anillos
alternativos nos aparecen otro tipo de aplicaciones que ser\'{a}n, al igual que los homomorfismos de m\'{o}dulos en anillos asociativos, de gran inter\'{e}s.

\re{\defderiv}{Definici\'{o}n} Sea $L$ un \'{a}lgebra de Lie. Se dice que una aplicaci\'{o}n lineal $f:L\to L$ es una derivaci\'{o}n si verifica:
$$f([x,y])=[f(x),y]+[x,f(y)]$$


\re{\defderv}{Definici\'{o}n} Sea $L$ un algebra de Lie y sea $x\in L$ se define la multiplicaci\'{o}n por $x$ y se representa por $ad_x$ como la aplicaci\'{o}n
$$\matrix{ad_x:&L&\to& L\cr & y&\mapsto& [x,y]}$$

 \re{\derL}{Proposici\'{o}n} Sea $L$ un algebra de Lie y sea $End(L)$ el anillo de
los endomorfismos de $L$ como $\phi$-m\'{o}dulo. Entonces:

\item{(1)} El conjunto de todas las derivaciones de $L$, que denotamos por $Der(L)$, es una
subalgebra de Lie de $End(L)^-$.

\item{(2)} Para cada $x\in L$, $ad_x\in Der(L)$ y $ad_L$ es un ideal de $Der(L)^-$.

\re{\defCentro}{Definici\'{o}n} Sea $L$ un \'{a}lgebra de Lie. Se define el centro de $L$, y se representa por $Z(L)$, como:
$$Z(L):=\{x\in L\ \vert\ [x,L]=0\}$$

 \re{\derL}{Proposici\'{o}n} Sea $L$ un algebra de Lie. Entonces la aplicaci\'{o}n $$\matrix{ad:& L&\to& Der(L)^-\cr & x&\mapsto& ad_x}$$ es un homomorfismo
 de \'{a}lgebras de Lie. Es m\'{a}s, $Ker(ad)=Z(L)$, por lo que si $Z(L)=0$, $L$ es ``especial".
\end
