1 Introducción

En este curso vamos a trabajar con estructuras no asociativas. Como paso previo a estas estructuras, introduciremos los anillos alternativos (que es la estructura no asociativa más próxima a ésta). Toda álgebra alternativa “suficientemente buena” posee una subálgebra que es asociativa, su núcleo, y que, en ciertas condiciones, conserva propiedades del algebra, esto nos va a permitir saber propiedades de un álgebra alternativa trabajando con álgebras asociativas, lo que resulta mucho más fácil.

Posteriormente estudiaremos el tema principal de este curso los sistemas sistemas de Jordan: y su relación (y éste es el punto principal del curso) con las álgebras de Lie.

• J Álgebras.

• V Pares.

• T Sistemas Triples.

y su relación (y éste es el punto principal del curso) con las álgebras de Lie (la construcción T KK(V) y algunas generalizaciones).

La idea es que las propiedades en un par inducen propiedades en el álgebra y viceversa:

• no degenerada.

• fuertemente primo.

• simple.

• primitivo (introduce este concepto solo en algebras tres graduadas).

2 Algebras Alternativas (Rings that are nearly associative)

Definición 2.1 Sea Φ un anillo de escalares (conmutativo, unitario, sin divisores de cero, asociativo), se dice que A es una Φ-Álgebra si

• A es un Φ-módulo.

• En A hay definido un producto bilineal, que denotaremos por ∗ o simplemente yuxtaposición.

Definición 2.2 Sea A una Φ-álgebra. Se define el conmutador de A [,] : A × A → A, como:

(x, y) → [x, y] = x ∗ y − y ∗ x

Nota: El conmutador es bilineal, y el Álgebra A es conmutativa si y sólo si el conmutador es la aplicación nula.

Definición 2.3 Se define el asociador de un álgebra A a la aplicación trilineal definida por (, ,) : A × A × A → A:

(x, y, z) = (x ∗ y) ∗ z − x ∗ (y ∗ z).

Nota: el asociador es una aplicación trilineal y el álgebra A es asociativa si y solo si (, ,) = 0.

Definición 2.4 Se dice que un Φ-álgebra A es alternativa si para cualesquiera x, y ∈ A se tiene que

x^{2}y = x(xy) yx^{2} = (yx)x,

es decir (x, x, y) = 0 = (y, x, x).

Nota: Es importante tener ejemplos de las estructuras que estudiamos, en este caso, se tiene, por lo anterior, que toda álgebra asociativa es alternativa.

Teorema 2.5 Todo algebra alternativa verifica la identidad flexible:

(xy)x = x(yx),

es decir, (x, y, x) = 0.

Demostración: En un álgebra de este tipo, no asociativa, una técnica denomina Linealizaciones (quitar cuadrados). Observemos que

0 = (x+z, x+z, y) = (x, x, y)+(x, z, y)+(z, x, y)+(z, z, y) = (x, z, y)+(z, x, y)

de donde se tiene que

(x, z, y) = −(z, x, y)

por tanto tenemos que (x, y, z) = −(y, x, z) y (x, y, z) = −(x, z, y). Si z = x entonces de ámbas ecuaciones obtenemos que (x, y, x) = 0. ■

Nota: Observar que, por este proceso, de la identidad (x, x, y) = 0 “en donde x es una variable de grado dos” se pasa a la identidad (x, z, y) + (z, x, y) = 0 en donde toda variable tiene grado uno (por tanto esta igualdad es “lineal” en cada variable).

Nota: Luego en un álgebra alternativa tiene sentido considerar el producto xyx (en álgebras no asociativas, normalmente (xy)x ≠ x(yx)). Las álgebras que verifican esta propiedad se las denomina flexibles.

Problema 2.6 Un álgebra es Casi Alternativa si (x, y, z) = −(y, x, z) y (x, y, z) = −(x, z, y). Para x = y se tiene que (x, x, z) = −(x, x, z) es decir 2(x, x, z) = 0. Si la característica del cuerpo es distinta de 2 entonces (x, x, z) = 0. La pregunta es: ¿Existen álgebras Casi Alternativa que no sean alternativas?

Teorema 2.7 (Teorema generalizado de Artin) Sea A un álgebra alternativa y sean x, y, z ∈ A tales que (x, y, z) = 0. Entonces, la subálgebra generada por {x, y, z} es asociativa.

(*) Las subálgebras generadas por dos elementos son asociativas. Las álgebras alternativas son las más asociativas dentro de las no asociativas. De hecho se tiene lo siguiente:

A es alternativa si y solo si las subálgebras generadas por dos elementos son asociativas.

(**) Toda álgebra alternativa es de potencia asociativa (porque la subálgebra generada por un elemento es asociativa).

Ejemplo 2.8 Algebra de Cayley-Dickson

Es un ejemplo de álgebra alternativa no asociativa. Aparece como solución final a un problema planteado a principios de 1.800.

Observemos la identidad

(x^{2} + y^{2})(a^{2} + b^{2}) = (xa − yb)^{2} + (xb + ya)^{2}

Nos encontramos que e suma formula que escribe el producto de sumas de dos cuadrados como una suma de cuadrados. ¿Qué pasará para la suma de n cuadrados?

Observemos que la identidad anterior aparece al tomar la norma en la relación siguiente:

(x + yi)(a + bi) = (xa − yb) + (xb + ya)i.

Euler y Lagrange consiguen la fórmula para 4 cuadrados. Degen para 8 cuadrados. Hamilton demuestra que hay una fórmula para n cuadrados si y sólo si existe un álgebra de división de dimensión n sobre ℝ. Hurwitz demuestra en 1895 que las posibles dimensiones son: 1, 2, 4, 8. (nos encontramos aquí con otro ejemplo en donde relacionar estructuras diferentes de la matemática, un problema numérico con un problema algebraico, da la clave para resolver un problema)

Sea A un álgebra unitaria y ∗ : A → A una involución, es decir una aplicación lineal, tal que ∗ ∘ ∗ = id y (ab)^{∗} = b^{∗}a^{∗}. Sea α ∈ Φ, en A × A definimos un nuevo producto:

(a_{1}, a_{2})(b_{1}, b_{2}) = (a_{1}b_{1} + αb_{2}a_{2}^{∗}, a_{1} ∗ b_{2} + b_{1}a_{2}).

Si ∗ = id lo que estamos diciendo es que ponemos un número i tal que i^{2} = α.

A este álgebra la notaremos por A(α). Observemos que es unitaria: (1, 0) es el elemento unitario. Por otra parte observemos que si v = (0, 1) entonces

A(α) = A ⊕ Av

donde v^{2} = α. Consideraremos la involución:

∗ : A(α) → A(α)

definida por ∗(x + yv) = x^{∗} − yv. A este proceso se le denomina proceso de Cayley-Dickson.

Nos encontramos entonces que:

Teorema 2.9 Si partimos de F un cuerpo, ∗ = id y entonces:

• F (α) es un álgebra asociativa y conmutativa.

• F (α, β) no es conmutativa pero sigue siendo asociativa.

• F (α, β, γ) no es asociativa, pero si es alternativa, llamada álgebra de Cayley-Dickson.

Nota: Si partimos de ℝ, ℝ(−1) = ℂ, ℂ(−1) = ℍ finalmente ℍ(−1) = 𝕆.

3 Propiedades de un álgebra.

Definición 3.1 • Sea A un Φ-álgebra alternativa. Se dice que B ⊂ A es un subálgebra si B con las operaciones inducidas por A es un álgebra. Para ello solo hace falta que las operaciones sean internas: si b_{1}, b_{2} ∈ B entonces b_{1}b_{2} ∈ B y b_{1} + b_{2} ∈ B.

• Se dice que I ⊂ A es un ideal si es un subálgebra y:

ay, ya ∈ I

para todo a ∈ A y para todo y ∈ I.

• Se dice que I ⊂ A es un ideal por la izquierda (respectivamente derecha)

si es un subálgebra y:

ay ∈ I, (ya ∈ I)

para todo a ∈ A y para todo y ∈ I.

• Se dice que A es simple si los únicos ideales de A son {0}, A y A^{2} ≠ 0.

• Se dice que A es prima si dados I, J ◁ A no nulos se tiene que IJ ≠ 0.

• Se dice que A es semiprima si para todo I ◁ A I ≠ 0 se tiene que I^{2} ≠ 0.

• Se dice que A es no degenerada si para todo a ∈ A con a ≠ 0 se tiene que aAa ≠ 0.

Teorema 3.2 Si A es un algebra (arbitraria) no degenerada, entonces A es semiprima. El recíproco es cierto para álgebras asociativas.

Demostración: Si I es un ideal de A (un ideal por la izquierda o por la derecha) tal que I^{2} = 0, entonces para todo x ∈ I, xAx ⊂ I^{2} = 0 y por tanto x = 0. Luego no degenerada implica semiprima. Supongamos que A es asociativa semiprima y sea x ∈ A tal que xAx = 0. Consideremos I = AxA, que es un ideal de A, entonces I^{2} = AxA^{2}xA = 0 lo que implica, al ser A semiprima que I = 0. Consideremos ahora J = {x ∈ A|AxA = 0}, claramente J es un ideal de A, es más, J^{3} = 0, por tanto 0 = J^{4} = (J^{2})^{2} y así, J^{2} = 0 y J = 0. Luego no existe ningún elemento no nulo tal que xAx = 0. ■

4 Más propiedades.

Definición 4.1 Si A es un álgebra alternativa se define su:

• Núcleo por:

N(A) = {x ∈ A : (x, A, A) = (A, x, A) = (A, A, x) = 0}.

• Centro:

Z(A) = {x ∈ N(A) : [x, A] = 0}.

Observemos que N(A) es un anillo asociativo y Z(A) es un anillo conmutativo y asociativo. Como veremos a continuación, las propiedades de A quedan reflejadas en N(A) y viceversa.

Definición 4.2 Sea A un álgebra alternativa.

• Se define el ideal asociador como D(A) = ⟨{(x, y, z) | x, y, z ∈ A}⟩ ◁ A.

• Se define U(A) el mayor ideal contenido en N(A).

Nota: Observemos que el cociente A/D(A) es un álgebra asociativa.

Los siguientes dos teoremas nos van a dar la estructura de los anillos alternativos respectivamente simples y fuertemente primos.

Teorema 4.3 Sea A un álgebra alternativa simple. Entonces A es asociativa simple o A es un algebra de Cayley-Dickson. En cualquier caso Z(A) ≠ 0 es un cuerpo.

Teorema 4.4 Sea A un álgebra alternativa prima y no degenerada. Entonces A es asociativa o A es un anillo de Cayley-Dickson:

Z(A) es un DI; Z(A)^{−1}Z(A)A = Z(A)^{−1}A es simple, un álgebra de Cayley-Dickson.

Definición 4.5 Se dice que un álgebra alternativa A es pura si U(A) = 0.

Teorema 4.6 Si A es no degenerada y puramente alternativa (es decir, pura y alternativa) entonces N(A) = Z(A).

Es bastante común que en estructuras no asociativas pedir como condición minima el carácter no degenerado, y es en este caso hay posibilidades de resolver ciertos problemas yéndonos al caso fuertemente primo a partir del siguiente teorema:

Teorema 4.7 Sea A un álgebra asociativa no degenerada. Entonces existe una familia de ideales {I_{α}} de A tales que ⋂ I_{α} = 0 y A/I_{α} es prima y no degenerada (es decir, fuertemente prima). En este caso A puede verse como subanillo de un producto directo de anillos fuertemente primos, A ⊂ ∏ A/I_{α} con π_{α}(A) = A/I_{α}.

Los siguientes teorema muestran como el teorema anterior nos permite obtener propiedades para anillos alternativos no degenerados basándonos en el caso fuertemente primo o incluso simple.

Teorema 4.8 Si A es no degenerada, entonces N(A) es nodegenerada.

Teorema 4.9 Sea A un álgebra alternativa no degenerada tal que ((xy)z)x = (x, (yz))x para todo x, y, z ∈ A. Entonces A es asociativa.

Demostración. A verifica que (x, y, z)x = 0, es alternativa y no degenerada. Y tenemos que demostrar que A es asociativa.

Existe una familia de ideales {I_{α}} tales que ∩I_{α} = 0 y A/I_{α} es fuertemente prima.

Las álgebras A/I_{α} son asociativas y anillos de C.D., es más son álgebras de C.D. Estas álgebras de C.D verifican que (x, y, z)x = 0. Sabemos que las álgebras de C.D son simples y que N(R) = Z(R), es decir es D.I.

Linealizando (x, y, z)x = 0 resulta que

0 = (a + b, y, z)(a + b)
= (a, y, z)a + (a, y, z)b + (b, y, z)a + (b, y, z)b
= 0 = (a, y, z)b + (b, y, z)a

de donde (a, y, z)b = −(b, y, z)a. Ahora consideramos C_{α} el álgebra de C.D. tal que (x, y, z)x = 0 dado α ∈ Z(C_{α}), observemos que

0 = (α, y, z)b = −(b, y, z)α

y esto implica que α(b, y, z) = 0 para todo b, y, z ∈ C_{α}. De donde

⟨α⟩⟨b, y, z)⟩ = 0

Es decir, C_{α}C_{α} = 0 y esto es una contradicción puesto que C_{α} es simple. Por tanto, un álgebra de C.D. no puede verificar que (x, y, z)x = 0, luego A está sumergida en un producto de álgebras asociativas, de donde A es asociativa.

Comentario 4.10 Si tenemos un polinomio que no se anula en las álgebras de C.D. f y A es un álgebra alternativa no degenerada y f se anula en A entonces A es asociativa.

Problema 4.11 Si A es un algebra alternativa no degenerada sobre un cuerpo F y dim_{F} N(A) es finita entonces dim_{F} (A) es finito.

⋆ Los teorema anteriores nos permiten, estudiando propiedades de un cierto anillo asociativo, N(A), obtener propiedades para un anillo alternativo A.

5 Algebras de Jordan

Definición 5.1 Sea Φ un anillo de escalares. Se dice que J es una Φ-álgebra de Jordan si J es un Φ módulo con un producto ∘ tal que ∘ es conmutativo. y se satisface la identidad de Jordan: (a^{2}b)a = a^{2}(ba), es decir (a^{2}, b, a) = 0.

Ejemplo 5.2 Sea A un álgebra asociativa. Definimos en A un nuevo producto x ∘ y = (xy + yx)/2, entonces (A, ∘) = A^{+} es un álgebra de Jordan.

Demostración Comprobemos que ∘ es conmutativo. Por otra parte se tiene la identidad de Jordan:

((x ∘ x) ∘ y) ∘ x = (x^{2} ∘ y) ∘ x = \frac{1}{2}(x^{2}y + yx^{2}) ∘ x = \frac{1}{4}(x^{2}yx + yx^{3} + x^{3}y + xyx^{2})

El otro miembro de la igualdad:

(x ∘ x) ∘ (y ∘ x) = x^{2} ∘ (y ∘ x) = \frac{1}{2}x^{2} ∘ (xy + yx) = \frac{1}{4}(x^{3}y + x^{2}yx + xyx^{2} + yx^{3}).

con lo que se demuestra el teorema. ■

Definición 5.3 Se dice que un álgebra de Jordan es especial si es subálgebra de un álgebra A^{+} con A asociativa. Si no es especial, se dice que es excepcional.

Problema 5.4 Si A es alternativa entonces A^{+} es de Jordan.

Veamos algunos ejemplos de álgebras de Jordan:

1. Sea A un álgebra asociativa con involución ∗, definimos

H(A, ∗) = {a ∈ A : a = a^{∗}}

es un álgebra de Jordan.

2. Sea V un espacio vectorial sobre F y ⟨, ⟩ una forma bilinial simétrica sobre F, entonces J = F ⊕V es un F -módulo, con el producto definido por:

(α, x) ∘ (β, y) = (αβ + ⟨x, y⟩, αy + βx)

se tiene que J es un álgebra de Jordan y además se dice que es de tipo Clifford. Se puede encontrar un álgebra asociativa B tal que J ≤ B^{+}.

3. Sea C un álgebra de C.D. (C, ∗), entonces J = H(M_{3}(C), ∗) se llama álgebra de Albert, no es especial.

Definición 5.5 Dada un álgebra de Jordan J, definimos el operador cuadrático asociado a J como la aplicación U_{x} : J → J

U_{x}(y) = 2x ∘ (x ∘ y) − x^{2} ∘ y.

Observemos que si J es especial, entonces J ⊂ A^{+}, entonces U_{x}(y) = xyx.

Definición 5.6 Definimos el producto triple como la linealización de U

\{x, y, z\} = \frac{1}{2}(U_{x+y}z − U_{x}a − U_{y}z)

Observemos que en el caso especial \{x, y, z\} = \frac{1}{2}(xyz + zyx).

Si A es asociativa, consideramos A^{+}, se tiene que J ⊂ J^{+}. En general, dados x, y ∈ J, [x, y] ∉ J pero ⋃_{[x,y]} z ∈ J. Ya que:

U_{[x,y]}z = (xy − yx)z(xy − yx) = xyzxy − xyzyx − yxzxy + yxzyx
= −UxU_{y}z − U_{y}U_{x}z + 4y ∘ U_{y} ∘ z − \frac{1}{4}(xzyxy + yxyzx)

Por otra parte

U_{x}(y ∘ z) = \frac{1}{2}x(yz + zy)x
= \frac{1}{2}(xyzx + xzyx)

Ahora bien:

y ∘ U_{x}(y ∘ z) = \frac{1}{4}(xyzxy + xzyxy + yxyzx)
= −\frac{1}{2}\{x, z, U_{y}x\}

De donde

U_{[x,y]}z = −U_{x}U_{y}z − U_{y}U_{x}z + 4y ∘ U_{x}(y ∘ z) − \frac{1}{2}\{x, z, U_{y}x\} ∈ J. (1)

Observemos que si J es un álgebra de Jordan, se verifica la identidad fundamental: U_{U_{x}y}z = U_{x}U_{y}U_{x}z.

Si J es especial: J ⊂ A^{+} entonces

U_{U_{[x,y]}z}t = U_{[x,y]}U_{z}U_{[x,y]}t

La propiedad anterior no se verifica en un álgebra de Albert.

Si J no es especial se define U_{[x,y]}z mediante la ecuación 1, pero no se verifica la identidad anterior.

Encontrar una identidad que se verifique en los especiales y no en los no especiales es muy difícil (en caso afirmativo se denomina s-identidad)^{1}.

No obstante tenemos algunos teorema que nos afirma cuando una identidad “especial” es en realidad una identidad.

Teorema 5.7 Sea J un álgebra de Jordan, cualquier identidad en 3 variables en donde una de las variables tenga grado 1 y sea cierta en toda álgebra de Jordan especial, entonces es cierta en cualquier álgebra de Jordan.

Teorema 5.8 Cualquier álgebra de Jordan generada por dos elementos es especial. Es más, existe A asociativa involutiva tal que J = H(A, ∗).

Problema 5.9 Sea I un ideal de un álgebra J. Demostrar que

U_{I}I = {∑_{i} U_{y_{i}}y′_{i}; y, y′_{i} ∈ I}

es un ideal.

1. En primer lugar observemos que U_{I}I es un submódulo.

2. Dado y ∈ U_{I}I, x ∈ J, veamos que x ∘ y ∈ U_{I}I, como es lineal respecto de la suma basta ver que

x ∘ U_{y}y′ ∈ U_{I}I

para todo y, y′ ∈ I y para todo x ∈ J. Ahora bien

x ∘ U_{y}y′ = x ∘ yy′y
= \frac{1}{2}(xyy′y + yy′yx)
= \{x ∘ y, y′, y\} − \frac{1}{2}(yxy′y + yy′xy)
= {x ∘ y, y′, y} − U_{y}(x ∘ y) ∈ U_{I}I

Tenemos x ∘ U_{y}y′ = {x ∘ y, y′, y} − U_{y}(x ∘ y) una identidad en las condiciones del Teorema 5.8 que por tanto es válida en toda álgebra de Jordan, por tanto U_{I}I es un ideal.

1No hay que asustarse la hora de comprobar identidades, en la práctica se trabaja en asociativo y luego se busca la identidad que se obtiene en las especiales en el caso general (libro de Loos).

6 Pares de Jordan

Definición 6.1 Sea Φ un anillo de escalares. Se define un par de Jordan sobre Φ como un par de Φ-módulos V = (V^{+}, V^{−}) con un par de aplicaciones cuadráticas

Q^{σ} : V^{σ} → Hom(V^{−σ}, V^{σ})
x → Q_{x}^{σ}

donde σ ∈ {+, −}. El homomorfismo Q_{x}^{σ} : V^{−σ} → V^{σ} viene definido por

Q_{x}^{σ}(y) = Q_{x}y.

Veamos algunos ejemplos

1. Si J es una Φ-álgebra de Jordan, V = (J^{+}, J^{−}) siendo J^{+} = J^{−} = J. Si x ∈ J^{+} entonces definimos Q_{x^{+}}y^{−} = U_{x}y. En este caso V es un par de Jordan.

2. Si R es un anillo asociativo entonces (R, R) es un par de Jordan. Se define Q_{x}y = xyx; \{x, y, z\}\frac{1}{2}(xyz + zyx). A (R, R) se le llama par asociativo.

3. ¿Porqué se consideran las estructuras de pares? Observemos que en el conjunto M_{n}(ℝ) podemos multiplicar, ya que es un anillo. Sin embargo no podemos multiplicar en el conjunto M_{n×m}(ℝ). Ahora bien, si A, B ∈ M_{n×m}(ℝ) si tiene sentido el siguiente producto:

Q_{A}B = AB^{t}A

Se define \{A, B, C\} = \frac{1}{2}(AB^{t}C + CB^{t}A). De esta manera el conjunto V = (M_{m×n}(𝕂), M_{n×m}(𝕂)) es un par de Jordan.

Definición 6.2 Sea V = (V^{+}, V^{−}) un par de Jordan. Se dirá que W es un subespacio de V si las operaciones son internas en W

• W^{σ} es un submódulo de V^{σ}.

• Dados x ∈ W^{σ}, y ∈ W^{−σ}, Q_{x}y ∈ W^{σ}, Q_{y}x ∈ W^{−σ}.

Definición 6.3 Sea V = (V^{+}, V^{−}) un par de Jordan. Se dirá que W es un ideal de V si

• W es un submódulo de V^{σ}.

• Dados y ∈ W^{σ}, x, x′ ∈ V^{−σ}, x′′ ∈ V^{σ} se tiene que

{y, x, x′′} ∈ W^{σ} {x, y, x′} ∈ W^{−σ}.

Observemos que {x, y, z} = {z, y, x}.

Definición 6.4 Dado un par de Jordan V = (V^{+}, V^{−}) y I = (I^{+}, I^{−}) ◁ V, se define el cociente V/I = (V^{+}/I^{+}, V^{−}/I^{−}), siendo Qx̄x̄′ = \overline{Q_{x}x′}.

Definición 6.5 Sean V, W pares de Jordan. Un homomorfismo f : V → W es un par de aplicaciones f = (f^{+}, f^{−}) donde f^{+} : V^{+} → W^{+} y f^{−} : V^{−} → W^{−} son homomorfismos de módulos y tales que

f^{σ}{x, y, z} = {f^{σ}x, f^{−σ}y, f^{σ}z}.

Observemos que Ker(f) ◁ V y que Im(f) ≤ W.

Veamos un ejemplo. Sea V un par de Jordan e I un ideal de V. Entonces el conjunto I^{3} = (⟨{I^{+}, I^{−}, I^{+}}⟩, ⟨{I^{−}, I^{+}, I^{−}}⟩) no tiene porqué ser un ideal.

Para ello tendríamos que ver esto:

{a, b, {y_{1}, y_{2}, y_{3}}} ∈ I^{3}
{a, {y_{1}, y_{2}, y_{3}}, b} ∈ I^{3}

Ahora bien, observemos que

\{a, b, \{x, y, z\}\} = \frac{1}{4}(ab(xyz + zyx) + (xyz + zyx)ba)
= \frac{1}{4}(abxyz + abzyx + xyzba + zyxba)
= \{\{a, b, x\}, y, z\} − \frac{1}{4}xbayz − \frac{1}{4}zyabx + \frac{1}{4}abzyx + \frac{1}{4}xyzba
= \{\{a, b, x\}, y, z\} − \frac{1}{4}xbayz − \frac{1}{4}zyabx
+ \{\{a, b, z\}, y, x\} − \frac{1}{4}zbayx − \frac{1}{4}xyabz
= {{a, b, x}, y, z} + {{a, b, z}, y, x} − {x, {b, a, y}, z}

Por tanto, {a, b, {x, y, z}} ∈ I^{3}. Además se tiene lo que se denomina identidad JP14:

{a, b, {x, y, z}} = {{a, b, x}, y, z} + {{a, b, z}, y, x} − {x, {b, a, y}, z}.

En general, {a, {x, y, z}, b} ∉ I^{3}. Se ha demostrado que existe un ideal contenido en I^{3}.

Definición 6.6 Sea V un par de Jordan.

• Se dice que V es no degenerado si dado a ∈ V^{σ} tal que Q_{a}V^{−σ} = 0 entonces a = 0.

• Se dice que V es semiprimo si dado I un ideal de V no nulo, I^{3} ≠ 0.

• Se dice que V es primo si dados I, J ideales no nulos de V se tiene que Q_{I}J ≠ 0.

Teorema 6.7 Si V es semiprimo (respectivamente primo) e I ◁ V no nulo, entonces I es semiprimo (resp. primo).

Observemos que el teorema anterior en el caso asociativo es fácil de probar ya que si R es asociativo semiprimo y I ◁ R con I ≠ 0, si J ◁ I, IJI ◁ R de donde IJI ⊂ I. Sin embargo en Jordan no todo ideal de I contiene un ideal de R.

7 Sistemas triples de Jordan

Definición 7.1 Un sistema triple de Jordan T es un Φ-módulo con una aplicación cuadrática

P : T → End(T, T)
x → P_{x} : T → T

tal que

L_{x,y}P_{x} = P_{x}L_{y,x}
L_{P_{x}y,y} = L_{x,P_{y}x}
P_{P_{x,y}} = P_{x}P_{y}P_{x}

donde L_{x,y} = \frac{1}{2}(P_{x+y} − P_{x} − P_{y}) = \{x, y, −\} es una forma trilineal.

Observemos que si T es un triple de Jordan entonces (T, T) es un par de Jordan. Veamos que hay una forma de relacionar las estructuras de Álgebra, Par y triple de Jordan.

• De álgebra a triple. Dado un álgebra de Jordan J podemos considerar T (J), sólo nos tenemos que olvidar del producto y tomar P = U:

P : J → End(J, J)
x → U_{x}

• De triple a par. Si T es un sistema triple de Jordan podemos construir V (T) = (T, T), tomamos como Q^{σ} = P, con σ ∈ {+, −}.

• De par a triple. Si V = (V^{+}, V^{−}) es un par de Jordan, podemos formar T (V) = V^{+} ⊕ V^{−} y podemos definir

P : T (V) → End(T (V))
x + x′ → P_{x+x′} : T (V) → T (V).

donde P_{x+x′}(y + y′) = Q_{x}^{+} + Q_{y}^{−}x. Se tiene el siguiente diagrama

T → (T, T) → T ⊕ T
T riple → P ar → T riple.

Todo funciona de forma funcional. Además, las propiedades se ”traspasan bien”. En el siguiente diagrama se ilustra cómo se traspasan dichas propiedades.

Algebra Sistemas Pares Sistemas
de Jordan Triples V (T) Triples
J T (J) V T (V)
T
No degenerada  ⇆  ⇆  ⇆
Semiprimo  ⇆  ⇆  ⇆
Primo  ⇆  ⟵  ⇆
simple  ⇆  ⟵  ⇆
Fuertemente pura  ⇆  ⟵  ⇆

8 Algebras locales

Sea V un par de Jordan y sea a ∈ V. Vamos a poder construir un álgebra V^{a}. V = (V^{+}, V^{−}), con a ∈ V^{−}. Si x, y ∈ V^{+} definimos

x ∘ y = \frac{1}{2}\{x, a, y\} = Q_{x+y}a − Q_{x}a − Q_{y}a

En este caso x^{2} = \frac{1}{2}\{x, a, x\} = Q_{x}a. Se tiene que (V^{+}, ∘) es un álgebra de Jordan.

U_{x}^{a}y = 2x ∘ (x ∘ y) − x^{2} ∘ y
= 2{x, a, {x, a, y}} − {Q_{x}a, a, y}
= \frac{1}{2}(xaxay + xayax + yaxax + xayax) − \frac{1}{2}xaxay − \frac{1}{2}yaxax
= \frac{1}{2}(xayax + xayax) = Q_{x}Q_{a}y

de donde tenemos que U_{x}^{a}y = \frac{1}{2}Q_{x}Q_{a}y.

Observemos que

x ∘ y = \frac{1}{2}\{x, a, y\} = \frac{1}{2}\{y, a, x\} = y ∘ x

Por otra parte veamos que (x^{2} ∘ y) ∘ x = x^{2} ∘ (y ∘ x).

(x^{2} ∘ y) ∘ x = {{Q_{x}a, a, y}, a, x}
= \frac{1}{4}(xaxayax + yaxaxax + xayaxax + xaxaxay)
= {Q_{x}a, a, {x, a, y}} = x^{2} ∘ (y ∘ x)

Al álgebra V^{a} se le denomina Álgebra Homótopa de V en a. Este álgebra tiene por ideal

Ker(a) = {x ∈ V^{+} : Q_{a}x = 0} ◁ V^{a}.

Se define el álgebra local de V en a como V^{a}/Ker(a) = V_{a}.

Veamos que si V es no degenerada entonces V_{a} es no degenerada. Para ello sea x ∈ V^{σ} tal que U a ; x̄V^{σ} = ¯0 y tenemos que probar que x̄ = ¯0.

Pero observemos que

U a ; x̄V^{σ} = Ux̄U_{a}V^{σ} = ¯0

lo cual implica que 0 = U_{a}U_{x}U_{a}V^{σ} = U_{U_{a}x}V^{σ}. Ahora bien por ser V no degenerado tenemos que U_{a}x = 0.

Ahora bien

U_{U_{a}U_{x}a} = U_{a}U_{U_{x}a}U_{a} = U_{a}U_{x}U_{a}U_{x}U_{a} = 0

de donde 0 = U_{U_{a}x} = U_{a}U_{x}U_{a}, por ser V no degenerada se tiene que U_{a}U_{x}a = 0 lo cual implica de nuevo que U_{a}U_{x}a = 0.

Por tanto puesto que U_{a}x = 0 y U_{a}U_{x}a = 0 se tiene que x ∈ Ker(a) por tanto x̄ = ¯0.

Así pues V_{a} es no degenerada.

Teorema 8.1 Sea V un par de Jordan

• V es no degenerada si y solo si todos los locales son no nulos.

• V es semiprimo (resp. primo) si y sólo si V_{a} es semiprimo (resp. primo) para todo a ∈ V.

• Si V es simple entonces V_{a} es simple.

• Si todos los locales son simples entonces V^{3} es simple (T. Cortes & J. Anquela).

Definición 8.2 Sea V un par de Jordan. Se define una derivación en V como un par de aplicaciones lineales:

d^{+} : V^{+} → V^{+} d^{−} : V^{−} → V^{−}

tales que

d^{σ}{x, y, z} = {d^{σ}x, y, z} + {x, d^{−σ}y, z} + {x, y, d^{σ}z}.

Veamos un ejemplo. Sea x ∈ V^{σ}, e y ∈ V^{−σ}, el par (D_{x,y}, −D_{y,x}) es una derivación.

{x, y, {a, b, c}} = {{x, y, a}, b, c} + {a, −{y, x, b}, c} + {a, b, {x, y, c}}

La identidad anterior es la identidad JP14. A estas derivaciones se les llama derivaciones internas.

9 Álgebra de Lie

Definición 9.1 Sea Φ un anillo de escalares (supondremos que \frac{1}{2} ∈ Φ). Se dice que L es una Φ algebra de Lie si es un Φ módulo con un producto [,] verificando

• [x, x] = 0 para todo x ∈ L.

• [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]] (identidad de Jacobi).

Si la característica de Φ es distinta de 2 entonces [x, y] = −[y, x], es decir se tiene la propiedad anticonmutativa.

Veamos un ejemplo. Sea A un álgebra asociativa, el par (A, [,]) es un álgebra de Lie con el producto

[x, y] = xy − yx.

Toda álgebra de Lie es especial, es decir, si L es un álgebra de Lie, existe A álgebra asociativa tal que L es un subálgebra de A.

Definición 9.2 Sea L un álgebra de Lie. Se dice que f : L → L es una derivación si

• f es un homomorfismo de módulos.

• f[x, y] = [f(x), y] + [x, f(y)] Notemos que dado x ∈ L, la aplicación ad_{x} : L → L definida por ad_{x}(y) = [x, y] es una derivación (de hecho es una derivación interna).

Definiremos Der(L) el conjunto de todas las derivaciones de L. Y por IDer(L) el conjunto de todas las derivaciones internas.

Observemos que Der(L) ⊂ End(L). Der(L) no es un subálgebra asociativa, pero si es un subálgebra de End(L)^{−}.

• La suma de derivaciones es una derivación.

•

[f, g][x, y] = fg[x, y] − gf[x, y]
= f([gx, y] + [x, gy]) − g([fx, y] + [x, fy])
= [fgx, y] + [gx, fy] + [fx, gy] + [x, fgy]
− [gfx, y] − [fx, gy] − [gx, fy] − [x, gfy]
= [[f, g]x, y] + [x, [f, g]y]

es decir, [f, g] es una derivación.

Definición 9.3 Sea L un álgebra de Lie. Se define el centro de L como

Z(L) = {x ∈ L : [x, y] = 0 ∀y ∈ L} = {x ∈ L : ad_{x} = 0}.

Teorema 9.4 Sea L un álgebra de Lie. Entonces la aplicación

ad : L → Der(L)^{−}
x → ad_{x}

es un homomorfismo de álgebras de Lie. Es más, Ker(ad) = Z(L). Por tanto si Z(L) = 0 entonces L es especial.

Es un ejercicio simple comprobar que Im(ad) = IDer(L) ◁ Der(L).

Definición 9.5 Se dice que un álgebra de Lie L es ℤ-graduada si L = ⨁_{n∈ℤ} L_{n} donde L_{n} es un submódulo de L satisfaciendo que [L_{n}, L_{m}] ⊂ L_{n+m}.

Adicionalmente se dice que la graduación es finita si L = ⨁_{i=−n}^{n} L_{i}.

Teorema 9.6 Dada un álgebra de Lie L = ⨁_{i=−n}^{n} L_{i}, se tiene que (L_{−n}, L_{n}) es un par de Jordan.

Las álgebras de Lie tres graduadas fueron estudiadas por T. Cortes, J. Anquela y E. García. Las 5-graduadas por Brunce Allison.

Definición 9.7 Se dice que un álgebra de Lie es (2n + 1)-graduada si L = ⨁_{i=−n}^{n} L_{i}, con L_{i} submódulos de L tales que [L_{1}, L_{j}] ⊂ L_{i+j} con L_{i+j} = 0 si |i + j| > n

Teorema 9.8 Si L ⨁_{i=−n}^{n} L_{i} es un álgebra de Lie (2n+1)-graduada entonces (L_{−n}, L_{n}) es un par de Jordan.

Demostración. Definimos {x, y, z} = [[x, y], z] donde x ∈ L_{σn}, y ∈ L_{−σn} y z ∈ L_{σn}.

Definimos Q_{x}y = \frac{1}{2}\{x, y, x\}. Observemos que

{x, y, z} = [[x, ȳ], z]
= [[x, z], ȳ] + [x, [ȳ, z]]
= [x, [ȳ, z]]
= −[[ȳ, z], x]
= [[z, ȳ], x]
= {z, y, x}

A partir de la la identidad

{x, y, {a, b, c}} = {{x, y, a}, b, c} − {a, {y, x, b}, c} + {a, b, {x, y, c}} (2)

se prueban las identidades JP1, JP2 y JP3 usando el resultado 2.2 de la página 15 del libro de Loos.

Veamos que la identidad JP14, es decir la igualdad 2 es cierta.

{x, ȳ, {a, b̄, c}} = [[x, ȳ], [[a, b̄], c]]
= [[[x, ȳ], [a, b̄], c] + [[a, b̄], [[x, ȳ], c]]
= [[[x, ȳ], a], b̄], c] + [[a, [[x, ȳ], b̄], c] + [[a, b̄], [x, ȳ], c]]
= {{x, y, a}, b, c} − {a, {y, x, b}, c} + {a, b̄, {x, y, c}}

Así pues, se verifica la propiedad JP14, por el Teorema del libro de Loos se tiene que (L_{−n}, L_{n}) es un par de Jordan, y la prueba está concluida.■

Tits, Kantor y Koecher, dado un par de Jordan, construyeron un álgebra de Lie. Si V es un par de Jordan, denotaremos por T KK(V) a esta álgebra.

Sea V = (V^{+}, V^{−}) un par de Jordan, T KK(V) = V^{+} ⊕ ⊕V^{−}. Al multiplicar 3 elementos como quiero mantener mi par tengo que obtener {x, ȳ, z} = [[x, ȳ, z]. Además, JP14 nos dice que la aplicación {x, ȳ, −} es una derivación.

Consideramos T KK(V) = V^{+} ⊕ IDer(V) ⊕ V^{−}. Definimos el producto:

[(v^{+} + (f^{+}, f^{−}) + v^{−}), (w^{+} + (g^{+}, g^{−}) + w^{−})]

= (−g^{+}(v^{+}) + f^{+}(w^{+}), d_{v^{+},w^{−}}, −d_{w^{−},v^{+}})
+ [(f^{+}, f^{−}), (g^{+}, g^{−})] − (d_{v^{−},w^{+}}, −d_{w^{+},v^{−}}), f^{−}(w^{−}) − g^{−}(v^{−}))

Esto define una estructura de álgebra de Lie. Teorema 9.9 Sea V un par de Jordan y T KK(V) su álgebra de Lie. Entonces

i) (L_{−1}, L_{1}) es isomorfo a V. ii) Si x_{0} ∈ L_{0}, [x_{0}, L_{1} ⊕ L_{−1}] = 0 entonces x_{0} = 0. iii) [L_{−1}, L_{1}] = L_{0}. iv) Un álgebra de Lie, L = L_{−1} ⊕ L_{0} ⊕ L_{1} con estas propiedades es la T KK

de (L_{−1}, L_{1}). Definición 9.10 1) Se dice que un álgebra de Lie L es no degenerada si

dado x ∈ L, [x, [x, L]] = ad_{x}^{2} = 0 implica que x = 0.

2) Se dice que L es semiprima si dado 0 ≠ L ⊲ L no nulos se tiene que [I, J] ≠ 0.

3) Se dice que L es simple si [L, L] ≠ 0 y sus únicos ideales son {0} y L. Lema 9.11 Sea V un par de Jordan y L = T KK(V). Sea I ⊲ T KK(V) entonces

i) (π_{−1}(I), π_{1}(I)) ⊲ V, (I ∩ V^{+}, I ∩ V^{−}) ⊲ V. ii) π(I)^{3} ⊂ I ∩ V ⊂ π(I).

(Recordemos que π^{3}(I) = ({π(I), π(I), π(I)}, {π(I), π(I), π(I)}). Demostración. Observemos que

{π_{1}(y), ā, b} = [[π_{1}(y), ā], b]
= π_{1}[[π_{1}(y), ā], b]
= π_{1}[[y, ā], b] ⊂ π_{1}(I)

Razonando así llegamos a que (π_{−1}(I), π_{1}(I)) ⊲ V. Análogamente se tiene que (I ∩ V^{+}, I ∩ V^{−}) ⊲ V.

Para probar ii) veamos observemos que la contención I ∩ V ⊂ π(I) es trivial. Basta probar que π(I)^{3} ⊂ I ∩ V.

{π_{1}(y), π_{−1}(y′), π_{1}(y′′)} = [[π_{1}(y), π_{−1}(y′)], π_{1}(y′′)]
= π_{1}[[π_{1}(y), π_{−1}(y′)], π_{1}(y′′)]
= π_{1}[[π_{1}(y), y′], π_{1}(y′′)] ∈ π_{1}(I)

Y la prueba está terminada.■

Teorema 9.12 Sea V un par de Jordan, L = T KK(V), entonces si V es simiprimo entonces T KK(V) es semiprima. Si V es semiprimo entonces

1) V es primo si y sólo si T KK(V) es prima.

2) V es simple si y sólo si T KK(V) es simple

Demostración. Supongamos que V es semiprimo y sea 0 ≠ I ◁ L tal que [I, I] = 0.

Por el lema anterior π(I) ◁ V. Si π(I) = 0 entonces I ⊂ L_{−1} ⊕ L_{0} ⊕ L_{1} y esto implica uqe I ⊂ L_{0}. Ahora bien

[I, L_{−1}] ⊂ I ∩ L_{−1} ⊂ π_{−1}(I) = 0

y

[I, L_{1}] ⊂ I ∩ L_{1} ⊂ π_{1}(I) = 0

y esto implica que I = 0, contradicción.

Luego π(I) ≠ 0, como V es semiprimo se tiene que π(I)^{3} ≠ 0, pero π(I)^{3} ⊂ I ∩ V luego I ∩ V ≠ 0. Además

(I ∩ V)^{3} = {I ∩ V_{+}, I ∩ V_{−}, I ∩ V_{+}} ⊂ [[I, I], I]

y esto es una contradicción.

Supongamos que V es primo, si I.J ◁ L son no nulos, entonces si π(I) ≠ 0, π(J) ≠ 0 entonces I ∩ V ≠ 0 y J ∩ V ≠ 0. Por tanto

0 ≠ {I ∩ V_{+}, J ∩ V_{−}, I ∩ V_{+}} ⊂ [[I, J], J]

lo cual implica que [I, J] ≠ 0.

La implicación contraria es elemental y se deja al lector como ejercicio. Ahora supongamos que V es simple, 0 ≠ I ◁ T KK(V), entonces 0 ≠

I ∩ V lo que implica que I ∩ V = V. Ahora bien V_{+}, V_{−} ⊂ I lo cual implica que [V_{+}, V_{−}] ⊂ I y esto implica que T KK(V) ⊂ I, así pues se tiene que I = T KK(V).

Ahora supongamos que L es simple. Sea (I^{+}, I^{−}) ideal de V, entonces I^{+} + ([I^{+}, V^{−}] + [I^{−}, V^{+}]) + I^{−} ◁ L. Ahora bien [I^{+}, L_{1}] = 0 y

[I^{+}, L_{0}] = [I^{+}, [V^{−}, V^{+}]] = {I^{+}, V^{−}, V^{+}} ⊂ I^{+}

Pero [I^{+}, V^{−}] ⊂ id_{L}(I) luego se tiene

([I^{+}, V^{−}], V^{+}] = {I^{+}, V^{−}, V^{+}} ⊂ I^{+}

y se tiene que

[[I^{+}, V^{−}], L_{0}] = [[I^{+}, V^{−}], [V^{+}, V^{−}]]
= [[I^{+}, V^{−}], V^{+}]V^{−} + [V^{+}, [[I^{+}, V^{−}], V^{−}]]

y esto concluye la demostración.■

Teorema 9.13 Sea V un par de Jordan y L = T KK(V). Entonces V es no degenerada si y sólo si L es no degenerada.

Demostración. Supongamos que L es no degenerada. Sea x ∈ V tal que Q_{x}V = 0, se tiene {x, V^{−}, x} = 0 por tanto

0 = {x, V^{−}, x} = [[x, V^{−}], x] = −[x, [x, V^{−}]] = [x, [x, L]]

y esto implica que x = 0.

Supongamos que V es no degenerada. Sea x ∈ L tal que [x, [x, L]] = 0, es decir, ad_{x}^{2} = 0.

ad_{x}ad_{x}ad_{x} = 0 luego [x, [x, a]] = 0, recordemos ad : L → IDer(L). Tenemos

0 = ad_{[x,[x,a]]]}
= [ad_{x}, [ad_{x}, ad_{x}]]
= [X, [X, A]]
= X(SA − AX) − (XA − AX)X = X^{2}A + AX^{2} − 2XAX
= −2XAX

lo cual implica que XAX = 0. Ahora bien, x = x_{−1} + x_{0} + x_{1} de donde

0 = [x_{−1} + x_{0} + x_{1}, [x_{−1} + x_{0} + x_{1}, L_{1}]]
= [x_{−1}, [x_{−1}, L_{1}]] + ( ) + ( )

de donde se tiene que [x_{−1}, [x_{−1}, L_{1}]] = 0 y por tanto −{x_{−1}, V^{+}, x_{−1}} = 0 y esto implica que x_{−1} = 0. Análogamente se tiene que [x_{1}, [x_{1}, L_{−1}]] = 0 y se deduce que x_{1} = 0. Por tanto x = x_{0} ∈ L_{0}.

En particular,

0 = [x_{0}, [x_{0}, [L_{1}, L_{−1}]]] = [[x_{0}, [x_{0}, L_{1}]], L_{−1}]+2[[x_{0}, L_{1}], [x_{0}, L_{−1}]]+[L_{1}, [x_{0}, [x_{0}, L_{−1}]]]

de donde obtenemos que [[x_{0}, L_{1}], [x_{0}, L_{−1}]] = 0. Si vemos que [x_{0}, L_{1}] = [x_{0}, L_{−1}] = 0 entonces habremos acabado, ya que x_{0} = 0. En primer lugar observemos que [x_{0}, x_{1}] ∈ V_{1} y tenemos que

{[x_{0}, x_{1}], y, [x_{0}, x_{1}]} = [[[x_{0}, x_{1}], y][x_{0}, x_{1}]]
= [[[x_{0}, y]x_{1}], [x_{0}, x_{1}]] + [[x_{0}, [x_{1}, y]], [x_{0}, x_{1}]]
= [x_{0}, [[x_{1}, y], [x_{0}, x_{1}]]]
= ad_{x_{0}}ad_{[x,y]}ad_{x_{0}}(x_{1}) = 0

de donde x_{0} = 0 y la prueba está concluida. ■

10 Zócalo en álgebras asociativas y de Jordan

Podemos considerar anillos de la forma End_{Δ}V, V un espacio vectorial de dimensión cualquiera. El conjunto End_{Δ}V no es simple y no satisface la c.c.d para ideales a la izquierda (resp. derecha). Consideramos

ZOC(R) = {f ∈ End_{Δ}V : ran(f) < ∞}

que es un ideal simple de End_{Δ}V.

El conjunto ZOC(R) verifica la c.c.d. de sus ideales principales.

Dado un anillo simiprimo R se define el zócalo de R como ZOC(R) = ∑ I_{α} con I_{α} ideal a la izquierda minimal de R.

Proposición 10.1 1. ZOC(R) es un ideal, ZOC(R) = ⊕A_{α}, donde A_{α} es un anillo simple que coincide con su zócalo.

2. Verifica la c.c.d. de los ideales a la izquierda minimales.

3. Las componentes simples son anillos de operadores de rango finito.

4. Si ZOC(R) es unitario, se tiene que ZOC(R) es artiniano.

Si R es simple, ZOC(R) = R, I ideal a la izquiera minimal entonces existe y ∈ I tal que I = R_{y}.

Se puede escribir I = R_{e} con e^{2} = e. En este caso, eR es un ideal a la derecha minimal y eRe es un anillo de división.

eR × Re → eRe
(ex, ye) → exye

Se puede probar que R ≅ a un subanillo de End_{eRe}(Re) de rango finito. ¿Qué ocurre en Jordan?

Definición 10.2 Sea J un álgebra de Jordan.Se dice que I ⊂ J es un ideal interno de J si I es un Φ-módulo de J y para todo x ∈ I se tiene que U_{x}J ⊂ I.

Observemos que si J = R^{+} entonces I ⊲_{in} J si y sólo si xRx ⊂ I para todo x ∈ J.

Por otra parte, si x ∈ J y U_{x}J ⊲_{in} J son ideales principales; U_{x}y ∈ U_{x}J, además U_{U_{x}y}J = U_{x}U_{y}U_{x}J ⊂ U_{x}J.

Definición 10.3 Un ideal interno I ⊲_{in}J se dice minimal si para todo K ⊲_{in} J se tiene =⊂ K ⊂ I implica que K = 0 o K = I.

Definición 10.4 SE define el zócalo de un álgebra de Jordan no degenerada J como J = ∑ I_{α}, donde I_{α} son ideales internos minimales de J.

Teorema 10.5 Sea J no degenerada se tiene que ZOC(J) ⊲ J.

Observemos que ZOC(J) = ⨁ A_{α}, cada A_{α} es simple y coincide con su zócalo. ZOC(J) verifica la c.c.d. ideales internos principales, 1 ∈ ZOC(J) implica que ZOC(J) = J, artiniano.

Veamos una idea de porqué ZOC(J) ⊲ J.

Observemos que ZOC(J) = ∑ I_{α} con I_{α} ideales internos minimales. Si x ∈ J, y ∈ I_{α} ¿ x ∘ y ∈ ∑ I_{α}?.

Por ser I_{α} minimal se tiene que U_{x}I_{α} = 0 o es minimal.

Se dice que T : J → J es estructural si T es lineal y U_{T (x)}y = T U_{x}T (y). Observemos que U_{x} es estructural.

Lema 10.6 Si T es estructural e I ⊲_{in} J se tiene que T (I) ⊲_{in} J.

Si I es minimal, entonces T (I) = 0 o es minimal. Si T (x) ∈ T (I) entonces

U_{T (x)}J = T U_{x}T (J) ⊂ T U_{x}J ⊂ T (I)

luego implica que es interno.

I es minimal, x ∈ I y T (I) ≠ 0, se tiene

U_{T (x)}J = T U_{x}T (J) ⊂ T (I).

de aquí se deduce que T (I) es minimal.

11 Noción de zócalo en álgebras de Lie 3 graduadas.

Lema 11.1 Sea V un par de Jordan y sea (I^{+}, I^{−}) ⊲ V tal que I^{3} = I, entonces

I^{+} ⊕ [I^{+}, I^{−}] ⊕ I^{−} ⊲ T KK(V)

Demostración. Observemos que

[[y^{+}, y^{−}], x_{1} + x_{0} + x_{−1}] =
= [[y^{+}, y^{−}], x_{1}] + [[y^{+}, y^{−}, x_{0}] + [[y^{+}, y^{−}], x_{−1}]

El primer y el tercer término pertenecen respectivamente a I^{+} y a I^{−}, veamos el término del medio.

Observemos que y = ∑([[y_{i}, y′_{i}], y′′_{i}]) y tenemos que

[[y^{+}, [[ȳ_{i}, y′_{i}], ȳ′′_{i}]], x_{0}] = [[y^{+}, x_{0}], [[ȳ_{i}, y′_{i}], ȳ′_{i}]]
+ [y^{+}, [[[y, y′_{i}], y′_{i}], y′′_{i}]
= [[[[y^{+}, x_{0}], ȳ′_{i}]ȳ′_{i}], ȳ′′_{i}] + [[[ȳ_{i}, [[y′, x_{0}], y′_{i}]], ȳ′′_{i}]]
+ [[[ȳ_{i}, y′_{i}], [[y′, x_{0}], ȳ′′_{i}]]]
+ [y, [[y_{i}, x_{0}], ȳ′_{i}]] + [y[[ȳ_{i}, [y′_{i}, x_{0}]], ȳ′′_{i}]]
+ [y, [[[y_{i}, y′_{i}], [y′′_{i}, x_{0}]]] ∈ [I, I]

y esto concluye la demostración. ■

Teorema 11.2 Sea L = L_{1} ⊕ L_{0} ⊕ L_{−1} tres graduada. SEan V = (L_{1}, L_{−1}), ZOC(V) = (S^{+}, S^{−}). Entonces se tiene

S^{+} ⊕ [S^{+}, S^{−}] ⊕ S^{−} ◁ L.

Al ideal anterior se le denominará zócalo de L. Definimos el zócalo de L como la subálgebra generada por el zócalo de V.

Teorema 11.3 Sea L = L_{1} ⊕ L_{0} ⊕ L_{−1} tres graduada no degenerada. Entonces

ZOC(L) = ⨁ S_{i}quadS_{i} = T KK(V_{i})

donde V_{i} es un par de Jordan y S_{i} álgebra de Lie simple 3-graduada que coinciden con su zócalo.

Demostración. Tenemos V = ZOC(L_{1}, L_{−1}) de donde V_{i} = ⊕(V_{i}^{+}, V_{−i}^{−}) con (V_{i}^{+}, V_{i}^{−}) un par de Jordan simple que coincide con su zócalo ({V_{i}, V_{j}, L_{i}} = 0).■

Sean V, W pares de Jordan no degenerados que coinciden con su zócalo. Podemos considerar T KK(V ⊕ W), tenemos

L = T KK(V ⊕ W) = W^{+} ⊕ W^{+} ⊕ IDer(V ⊕ W) ⊕ V^{−} ⊕ W^{−}.

observemos que IDer(V ⊕ W) = IDer(V) ⊕ IDer(W).

Tenemos varias graduaciones de L por ejemplo

V^{+} ⊕ (T KK(W) ⊕ IDer(V)) ⊕ V^{−}
W^{+} ⊕ (T KK(V) ⊕ IDer(W)) ⊕ W^{−}

y

V^{+} ⊕ W^{+} ⊕ (IDer(V) ⊕ IDer(W)) ⊕ V^{−} ⊕ W^{−}

respecto de las cuales tenemos que ZOC(L) = T KK(V), ZOC(L) = T KK(W) y ZOC(L) = L. Luego el zócalo depende de la graduación. Parece que el problema está cuando en la parte cero de la graduación aparece un ideal de L.

Teorema 11.4 Sea L = L_{−1} ⊕ L_{0} ⊕ L_{1} no degenerada 3 graduada. Son equivalentes:

i) L tiene zócalo esencial.

ii) Existe S álgebra 3-graduada que coincide con su zócalo tal que

S ◁_{e} L ⊂ Der(S).

iii) ⊕S_{i} ◁ L ⊂ πDer(S_{i})

Además, Der(S) es 3-graduada.

Hay álgebras de Lie finitio dimensionales que no son 3 graduadas G_{2}, F_{4}, E_{8} no tienen zócalo (El zócalo son las que verifica c.c.d.).

Si cambiamos de graduación, L = L_{1} ⊕ L_{0} ⊕ L_{−1} = L′_{1} ⊕ L′_{0} ⊕ L′_{−1}, ¿varía el zócalo?

¿Se puede definir un zócalo en álgebras de Lie en general?

¿Cómo es un álgebra de Lie 3-graduada simple que coincide con su zócalo? Si L = L_{−1} ⊕ L_{0} ⊕ L_{1} y L es no degenerada, ZOC(L) ◁_{e} L; y se tiene

ZOC(L) ◁_{e} L ⊂ Der(ZOC(L)).

Definición 11.5 Sea L un álgebra de Lie no degenerada. Definimos el zócalo de Jordan de L como

JZOC(L) = ∑_{I◁L}ZOC(L) ◁ L

Es decir, se define como el mayor ideal 3 graduado de L que coincide con su zócalo.

Teorema 11.6 Sea L = L_{−1}⊕L_{0}⊕L_{1} tres graduada y sin ideales contenidos en la parte 0 (graduación efectiva), entonces

ZOC(L) = JZOC(L).

En general se tiene la inclusión ZOC(L) ⊂ JZOC(L).

¿Qué sucede en este caso con G_{2}, F_{4} y E_{8}?

En este caso G_{2}, F_{4} y E_{8} son simples y no son 3 graduadas luego JZOC(L) = 0.

¿Cómo son las álgebras simples que coinciden con su zócalo?

Teorema 11.7 Si L es no degenerada, son equivalentes

i) L tiene zócalo de Jordan esencial.

ii) JZOC(L) ◁_{e} L ⊂ Der(JZOC(L)).

Los pares de Jordan que coinciden con su zócalo son de 4 tipos: Álgebra de Lie simple que coincide con su zócalo≈ T KK(V).

12 Zócalo de un álgebra de Lie

En un artículo de G. Benkort trabajaba con álgebras de Lie artinianas. Para introducir el concepto de artiniana dá una noción de ideal interno (artiniana → c.c.d. para los ideales internos).

Definición 12.1 Se dice que un submódulo V de un álgebra de Lie L es un ideal interno de L si [x, [x, L]] ⊂ V para todo x ∈ V.

Teorema 12.2 Si L es no degenerada y B ⊲_{in}^{m} L, entonces

i) B es un ideal de L simple sin elementos ad-nilpotentes.

ii) [B, B] = 0 implica que B es abeliano.

Teorema 12.3 Sea L un álgebra de Lie no degenerada y sea x ∈ L tal que ad_{x}^{3} = 0. Entonces ad_{x}^{2}(L) ⊲_{in} L abeliano.

Veamos otros resultados al respecto. Si B es abeliano interno minimal y x ∈ B, B = ad_{x}^{2}(L) entonces [x, [x, y]] = −2x y [y, [y, x]] = −2y para todo y ∈ L. Es más, se tiene que ad_{h} es diagonalizable con valores propios: −2, −1, 0, 1, 2.

En este caso se tiene que {x, h, y} ≃ sl_{2}. Si R es asociativo y semiprimo, para todo x, y ∈ R se tiene que [x, [x, y]] = −2x y [y, [y, x]] = −2y con ad_{x}^{3} = ad_{y}^{3} = 0. Se tiene que ad_{[}x, y] es diagonalizable.

Como diagonaliza, tenemos L = L_{−2} ⊕ L_{−1} ⊕ L_{0} ⊕ L_{1} ⊕ L_{2} (son los subespacios propies asociados a ad_{h}). Se tiene además que

[h, [x_{i}, x_{j}]] = [[h, x_{i}], x_{j}] + [x_{i}, h(x_{j})]
= i[x_{i}, x_{j}] + j[x_{i}, x_{j}]
= (i + j)[x_{i}, x_{j}].

es decir, se tiene que es una 5 graduación.

en este caso:

L_{−2}[y, [y, L]]

es un ideal interno minimal.

L_{−1} = [y, L_{1}]
L_{1} = [x, L_{1}]
L_{2} = [x, [x, L]] = B.

Definición 12.4 Sea L un álgebra de Lie no degenerada. Se define ZOC(L) como la suma de todos los ideales internos minimales.

Teorema 12.5 Si L es no degenerada con B⊲_{in}^{m}L entonces id_{L}(B) (es decir, el ideal generado por B en L) es simple.

Lema 12.6 L no degenerada, {x, h, y} sl_{2} triple se tiene que [x, x + h − y] es un sl_{2} triple minimal.

Tenemos ZOC(L) ⊲ L, además ZOC(L) ⊲ ⊕I_{α}, con I_{α} simple no degenerada coincide con su zócalo y es 5 graduada.

Es suma de los ideales internos minimales.

G_{2}, F_{4}, y E_{8} todos los finito dimensionales coinciden con su zócalo.

Teorema 12.7 Si L es simple no degenerada, B, B′ ⊲_{in}^{m} L. Existe un automorfismo ϕ : L → L tal que ϕ(B) = B′.

Si L es finito-dimensional sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, entonces

B ⊲_{in}^{m} L

lo que implica que dim_{F} (B) = 1. Si x ∈ B entonces x es una raíz larga, F x ⊲_{in}^{m} L. B es un ideal interno minimal si y solo si está generado por una raíz larga.

13 Relación entre el zócalo de Lie y el zócalo de Jordan.

Proposición 13.1 Si L es un álgebra de Lie 2n + 1 graduada L = L_{−n} ⊕ ⋯ L_{0}⊕⋯ L_{n}. Sea V = (L_{−n}, L_{n}) = (V^{+}, V^{−}), entonces ZOC(V^{σ})ZOC(L)∩ V^{σ}.

Proposición 13.2 Sea L un álgebra de Lie que coincide con su zócalo y sea x ∈ L tal que ad_{x}^{3} = 0. Entonces existe y ∈ L tal que [x, [x, y]] = −2x, [y, [y, x]] = −2y, es decir {x, h, y} es un sl_{2} triple.

Definición 13.3 Se dice que B es un ideal interno principal de L si existe x ∈ L tal que ad_{x}^{3} = 0 y B = ad_{x}^{2}(L).

Teorema 13.4 Si L = ZOC(L) es no degenerada, entonces L verifica la c.c.d. de sus ideales principales.

Demostración. Tenemos B_{1} ⊃ B_{2} ⊂ ⋯ ⊃ B_{n} ⊃ ⋯ principales.

B_{1} = [x_{1}, [x_{1}, L]] existe y_{1} ∈ L tal que {x_{1}, h_{1}.y_{1}} es un sl_{2} triple.

Tenemos que L = L_{−2} ⊕ L_{−1} ⊕ L_{0} ⊕ L_{1} ⊕ L_{2}. Luego B_{i} no sólo es ideal interno principal de L sino que es ideal interno principal de (L_{−2}, L_{2}) que es un par que coincide con su zócalo. ■

Teorema 13.5 Sea L un álgebra de Lie no degenerada. Entonces el zócalo de Jordan de L coincide con las componentes 3 graduadas del zócalo de L.

Tenemos pues la siguiente descomposición

ZOC(L) = ⊕S_{i} ⊕ S̄_{i} ⊕ ¯ S̄_{i}

El último sumando es la parte 5 graduada. El primer término son los ideales internos minimales sin elementos ad nilpotentes. El segundo sumando corresponde a la parte 3 graduada y los dos últimos términos contienen ideales internos minimales abelianos.

Para finalizar analicemos el zócalo en el caso asociativo.

Dada un álgebra asociativa R, tenemos dos álgebras de Lie importantes

L = [R, R]/([R, R] ∩ Z(R)).

Supuesto que tenemos una involución ∗, es decir (R, ∗), consideramos K = SKew(R, ∗) ⊂ R^{−}. Definimos

L^{∗} = [K, K]/(Z(R) ∩ [K, K]).

Teorema 13.6 Si R es semiprima y coincide con su zócalo. Entonces L y L^{∗} son no degeneradas y coinciden con su zócalo.

Teorema 13.7 Sea L un álgebra de Lie simple no degenerada, ZOC(L) = L conteniendo B ⊂ L ideal interno abeliano no trivial. Entonces, existe un anillo R asociativo con o sin involución que coincide con su zócalo tal que L ≅ L o L^{∗}.

Observemos que si R no tiene divisores de cero entonces L, L^{∗} tienen ideales simples ZOC(L) = L, ZOC(L^{∗}) = L^{∗}.