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%%% Cuando a consinnombre se le da la valor 1, entonces el nombre del
%%% resultado aparece
%%% al lado del mismo, si se le da otro valor numerico, commo 0, entonces
%%% el nombre
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\centerline{\ver Sobre N\'{u}meros} \vskip 1 truecm
\parrafo{Los n\'{u}meros naturales}

\re{\nunnat}{} Los n\'{u}meros naturales aparecen por la necesidad que tiene el hombre (primitivo) tanto de contar como de ordenar una cierta cantidad de
objetos.
$${\bbb N}:=\{1,2,3,\dots\}$$
En los n\'{u}meros naturales podemos sumar y multiplicar, pero no podemos, en la mayor\'{\i}a de los casos,  ni restar ni dividir.

\noindent {\bf Nota:} hist\'{o}ricamente el cero no es considerado un n\'{u}mero natural.

\re{\pronat} {Propiedades de los N\'{u}meros Naturales (Axiomas de Peano)}

\item{(1)} El $1$ es un n\'{u}mero natural.
\item{(2)} Para cada n\'{u}mero natural $n$ existe otro n\'{u}mero natural $n'$.
\item{(1)} Si $n\in {\bbb N}$, $n'\ne 1$.
\item{(3)} Si $n,m\in {\bbb N}$ y $n'=m'$, entonces $n=m$.
\item{(4)} Principio de inducci\'{o}n matem\'{a}tica.
\item\item{} Si $S$ es un subconjunto de $\bbb N$ tal que:
\itemitemitem{$\bullet$} $1\in S$ y
\itemitemitem{$\bullet$} si $n\in S$, entonces $n'\in S$.
\itemitem{} Se tiene que  $S={\bbb N}$

{\bf Nota:} Observar que para cada $n\in {\bbb N}$, $n'$ no es m\'{a}s que $n+1$.

\re{\Ejemplonat}{Ejemplo} Demuestra que para todo n\'{u}mero natural $n$ se verifica que $1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$

\noindent {\bf Demo:} Consideremos el conjunto $S$ de los n\'{u}meros naturales para los que la igualdad es cierta. Es claro que $1\in S$, ya que
$1=1^2$. Supongamos que la igualdad es cierta para $n$, es decir que $n\in S$ y veamos que es cierta para $n+1$. Tenemos, por hip\'{o}tesis,  que
$$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$$ Observar que el siguiente impar de $2n-1$ es $2n+1$, por tanto, si sumamos en ambos lados de la igualdad
$2n+1$ obtenemos
$$1+3+5+\dots+(2n-1)+(2n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2$$ es decir, que $n+1\in S$. Por tanto aplicando el principio
de inducci\'{o}n matem\'{a}tica, $S={\Bbb N}$, lo que demuestra que la igualdad es cierta para todo n\'{u}mero natural.\endproof

\re{\pringen}{Principio de inducci\'{o}n generalizado} Sea $S$ un subconjunto de $\bbb N$ tal que:
\itemitem{$\bullet$} $1\in S$ y
\itemitem{$\bullet$} si $1,2,\dots,n\in S$, entonces $n+1\in S$.
\item{} Entonces $S={\bbb N}$

\parrafo{ Los N\'{u}meros Enteros}

\re{\ent}{}  Aparecen simetrizando  el conjunto de n\'{u}meros na\-tu\-rales, y a\~{n}adi\'{e}ndoles el cero. Los denotaremos por $\bbb Z$. Con este nuevo
conjunto de n\'{u}meros  obtenemos la mejor\'{\i}a de que, ahora s\'{\i}, la resta de dos n\'{u}meros enteros es un n\'{u}mero entero.

$${\bbb Z}:=\{\dots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$$

\re{\proent}{Propiedades de los N\'{u}meros Enteros}

$\star$ Propiedades respecto de la suma:

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad asociativa: $(x+y)+z=x+(y+z)\quad \forall\ x,y,z\in {\bbb Z}$.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento neutro: $x+0=0+x=x\quad \forall\ x\in {\bbb Z}$.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento opuesto: para todo $x\in {\bbb Z}$ existe $-x\in {\bbb Z}$ tal que $x+(-x)=(-x)+x=0$.

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad conmutativa: $x+y=y+x\quad \forall\ x,y\in {\bbb Z}$.

$\diamond$ Un conjunto con una operaci\'{o}n que verifique las tres primeras propiedades  se dice que es un {\bf grupo}. Si adem\'{a}s verifica la cuarta se
le denomina {\bf grupo abeliano}. Por tanto $({\bbb Z},+)$ es un  grupo abeliano.

$\star$ Propiedades respecto del producto:

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad asociativa: $(x\,y)\,z=x\,(y\,z)\quad \forall\ x,y,z\in {\bbb Z}$.

\itemitemitem{$\bullet^*$} Existencia de elemento neutro: $x\,1=1\,x=x\quad \forall\ x\in {\bbb Z}$.

\itemitemitem{$\bullet^*$} Propiedad conmutativa: $x\,y=y\,x\quad \forall\ x,y\in {\bbb Z}$.

\noindent {\bf Nota:} Observar que normalmente los elementos de $\Bbb Z$ no poseen  inverso.

$\star$ Propiedades conjuntas:

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad distributiva: $(x+y)\,z=x\,z+y\,z\quad \forall\ x,y,z\in {\bbb Z}$.

\noindent{\bf Nota:} A un conjunto con dos operaciones que verifique todas las condiciones anteriores (menos las $\bullet^*$) se le denomina {\bf
Anillo}. Si adem\'{a}s verifica las $\bullet^*$ se le denomina {\bf anillo conmutativo y unitario}. Por tanto $\bbb Z$ es un anillo conmutativo y
unitario.


$\star$ Propiedades respecto del orden: para todo $x,y,z\in {\bbb Z}$

\itemitemitem{$\bullet$} Si $x\le y$, entonces $x+z\le y+z$.
\itemitemitem{$\bullet$} Si $x\le y$ y $z\ge 0$, entonces $x\,z\le y\,z$.
\itemitemitem{$\bullet$} Si $x\le y$, y $z\le 0$, entonces $x\,z\ge y\,z$.

\re{\defvalabs}{Def} Se define el valor absoluto de un n\'{u}mero entero $x\in {\bbb Z}$ y se representa por $\vert x\vert$ como:
$$\vert x\vert:=\cases{\ \ x&\quad \hbox{si $x>0$} \cr \ \ 0&\quad \hbox{si $x=0$}\cr -x&\quad \hbox{si $x<0$}}$$

\re{\algdiv}{Algoritmo de la divisi\'{o}n} Dados dos n\'{u}meros enteros $x,y\in {\bbb Z}$ con $y>0$ existen $c,r\in {\bbb Z}$ (\'{u}nicos), tales que $0\le r<y$
tal que $x=cy+r$.\endre

 {\bf Nota:} En este caso se dice que $x$ es el dividendo, $y$ el divisor, $c$ el cociente y  $r$  el resto.

\re{\div}{Def} Sean $x,y$ dos n\'{u}meros enteros. Se dice que $y$ divide a $x$ y se representa $^y\vert _x$ si existe $c\in {\bbb Z}$ tal que
$x=cy$.\endre

\re{\deprimo}{Def} Se dice que un n\'{u}mero entero $p$ es primo si $\vert p\vert\ne 1$ y s\'{o}lo es divisible por $\{1,-1,p,-1\}$.\endre

{\bf Nota:} Como ejemplos de n\'{u}meros primos: 2,3,5,7,11,13,17,19,23, etc.

\re{\teofact}{Teorema de factorizaci\'{o}n} Dado un n\'{u}mero entero $n$ con $\vert n\vert>1$ existen unos \'{u}nicos $p_1<\dots<p_k$ n\'{u}meros primos y
$n_1,\dots,n_k\in {\bbb N}$ tales que $$n=\pm p_1^{n_1}\dots p_k^{n_k}.$$\endre

\re{\mcd}{Def} Sean $x,y$ dos n\'{u}mero enteros no nulos. Se define el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor de $x$ e $y$ y se representa por $m.c.d(x,y)$ como un n\'{u}mero
natural  $d (\in {\bbb N})$ con las siguientes propiedades: \item{-} $d$ divide a $x$ y divide a $y$.
\item{-} Si $r\in {\bbb N}$ divide a $x$ y divide a $y$, entonces $r$ divide a $d$.\endre

{\bf Nota:} Hay que demostrar que tal n\'{u}mero existe y es \'{u}nico.

\re{\bezout}{Proposici\'{o}n} Sean $x,y$ dos enteros no nulos. Entonces existen $r,s\in {\bbb Z}$ tales que $rx+sy=m.c.d(x,y)$.

\re{\facmax}{Proposici\'{o}n} Sean $x,y$ dos enteros no nulos. Entonces el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor de $x$ e $y$ es el producto los primos comunes elevado al
menor exponentes (en sus respectivas factorizaciones). \endre

\re{\mcm}{Def} Sean $x,y$ dos n\'{u}mero enteros no nulos. Se define el m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo de $x$ e $y$ y se representa por $m.c.m(x,y)$ como un
n\'{u}mero natural  $m (\in {\bbb N})$ con las siguientes propiedades: \item{-} tanto $x$ como $y$ dividen a $m$.
\item{-} Si $r\in {\bbb N}$ es divisible por a $x$ y por $y$, entonces $m$ divide a $r$.

{\bf Nota:} Hay que demostrar que tal n\'{u}mero existe y es \'{u}nico.

\re{\facmax}{Proposici\'{o}n} Sean $x,y$ dos enteros no nulos. Entonces el m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo de $x$ e $y$ es el producto de los primos comunes y no
comunes  elevado al mayor de los exponentes (en sus respectivas factorizaciones). \endre


\re{\prod}{Proposici\'{o}n} Sean $x,y$ dos enteros no nulos. Entonces $$xy=m.c.d(x,y).m.c.m(x,y).$$\endre

\parrafo{Los N\'{u}meros Racionales}

 \re{\nunrac}{} Ampliando el conjunto de los n\'{u}meros enteros a los racionales, $\bbb
Q$, conseguimos encontrar inversos respecto del producto (naturalmente salvo para el cero). Por lo que en $\Bbb Q$ vamos a poder sumar, restar,
multiplicar y dividir (por n\'{u}meros no nulos).

Los n\'{u}meros racionales se definen a partir de una relaci\'{o}n de equivalencia en el conjunto de los pares $(a,b)\in {\bbb Z}\times {\bbb Z}^*$, en donde
${\bbb Z}^*$ denota los enteros menos el cero. Diremos que dos pares $(a,b)$ y $(c,d)$ est\'{a}n relacionados  si y s\'{o}lo si $ad=bc$. La clase de
equivalencia del elemento $(a,b)$ se denota por $a\over b$.
$${\bbb Q}:=\{ {a\over b}\ \vert \ a,b\in {\bbb Z},\ b\ne 0\}$$
Tenemos que la suma y el producto de n\'{u}meros naturales es:
$$\vbox{
\+ La suma:&\qquad\quad  &${a\over b}+{c\over d}:={ad+bc\over bd}$.\cr \+\ & \ & \cr \+ El producto:& &${a\over b}\ \, \times\ \, {c\over
d}:={ac\over bd}$.\cr}$$

\vfill\eject


 \re{\prorac}{Propiedades de los n\'{u}meros Racionales}

Adem\'{a}s de todas las propiedades que ten\'{\i}a $\bbb Z$ nos encontramos con que todo elemento no nulo de ${\bbb Q}$ posee inverso. As\'{\i}:

$\star$ Propiedades respecto de la suma:

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad asociativa: $(x+y)+z=x+(y+z)\quad \forall\ x,y,z\in {\bbb Q}$.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento neutro: $x+0=0+x=x\quad \forall\ x\in {\bbb Q}$.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento opuesto: para todo $x\in {\bbb Q}$ existe $-x\in {\bbb Q}$ tal que $x+(-x)=(-x)+x=0$.

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad conmutativa: $x+y=y+x\quad \forall\ x,y\in {\bbb Q}$.


$\star$ Propiedades respecto del producto:

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad asociativa: $(x\, y)\,z=x\,(y\,z)\quad \forall\ x,y,z\in {\bbb Q}$.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento neutro: $x\,1=1\,x=x\quad \forall\ x\in {\bbb Q}$.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento inverso: para todo $0\ne x\in {\bbb Q}$ existe $x^{-1}\in {\bbb Q}$ tal que $x\,x^{-1}=x^{-1}\,x=1$.

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad conmutativa: $x\,y=y\,x\quad \forall\ x,y\in {\bbb Q}$.


$\star$ Propiedades conjuntas:

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad distributiva: $(x+y)\,z=x\,z+y\,z\quad \forall\ x,y,z\in {\bbb Q}$.

\noindent{\bf Nota:} A un conjunto con dos operaciones que verifique todas las condiciones anteriores se le denomina {\bf Cuerpo}. Por tanto $\bbb Q$
es un cuerpo.

$\star$ Propiedades respecto del orden: para todo $x,y,z\in {\bbb Q}$

\itemitemitem{$\bullet$} Si $x\le y$, entonces $x+z\le y+z$.
\itemitemitem{$\bullet$} Si $x\le y$ y $z\ge 0$, entonces $x\,z\le y\,z$.
\itemitemitem{$\bullet$} Si $x\le y$, y $z\le 0$, entonces $x\,z\ge y\,z$.


\parrafo{Los N\'{u}meros Reales}
\re{\nunrea}{} No obstante, nos encontramos con operaciones que no se pueden realizar dentro del conjunto de los n\'{u}meros racionales. As\'{\i}, $\root \of
2$ no es un n\'{u}mero Racional.

Esto nos lleva a un resultado que no s\'{o}lo se cre\'{\i}a cierto, sino que se consider\'{o} evidente hasta tiempos posteriores a Pit\'{a}goras. A saber, dadas dos
longitudes $a$ y $b$

$$\hbox{\qquad \qquad \qquad longitud a \qquad \qquad \qquad}\over \hbox{\hfill{}}  $$
$$\hbox{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad longitud b \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}\over \hbox{}  $$

\noindent existe una tercera longitud  $c$ ?` --- ? tal que tanto $a$ como $b$ son m\'{u}ltiplos de $c$?

\noindent {\bf Nota:} La respuesta es que NO, ya que es falsa para $1$ y $\root2\of 2$.

La construcci\'{o}n de los n\'{u}meros Reales a partir de los n\'{u}meros Racionales no es f\'{a}cil, por lo que la vamos a omitir. Para nosotros los n\'{u}meros Reales
no ser\'{a}n m\'{a}s que el conjunto de todas las medidas posibles. Denotemos por $\bbb R$ al conjunto de n\'{u}meros Reales con la suma y el producto usual. En
$\bbb R$ no s\'{o}lo tenemos que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir (por n\'{u}meros no nulos), sino que podemos hacer ra\'{\i}ces de cualquier orden
sobre n\'{u}meros positivos y ra\'{\i}ces de orden impar sobre cualquier Real.

\re{\prorac}{Propiedades de los n\'{u}meros Reales}

Los n\'{u}meros Reales tienen todas las propiedades que verificaban los n\'{u}meros Racionales. Es decir,  $\bbb R$ tambi\'{e}n es un {\bf cuerpo}. Estas
propiedades son:

$\star$ Propiedades respecto de la suma:

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad asociativa: $(x+y)+z=x+(y+z)\quad \forall\ x,y,z\in {\bbb R}$.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento neutro: $x+0=0+x=x\quad \forall\ x\in {\bbb R}$.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento opuesto: para todo $x\in {\bbb R}$ existe $-x\in {\bbb R}$ tal que $x+(-x)=(-x)+x=0$.

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad conmutativa: $x+y=y+x\quad \forall\ x,y\in {\bbb R}$.


$\star$ Propiedades respecto del producto:

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad asociativa: $(x\,y)\,z=x\,(y\,z)\quad \forall\ x,y,z\in {\bbb R}$.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento neutro: $x\,1=1\,x=x\quad \forall\ x\in {\bbb R}$.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento inverso: para todo $0\ne x\in {\bbb R}$ existe $x^{-1}\in {\bbb R}$ tal que $x\,x^{-1})=x^{-1}\,x=1$.

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad conmutativa: $x\,y=y\,x\quad \forall\ x,y\in {\bbb R}$.


$\star$ Propiedades conjuntas:

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad distributiva: $(x+y)\,z=x\,z+y\,z\quad \forall\ x,y,z\in {\bbb R}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Grupo de ma\~{n}ana  (14-10-2003) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

$\star$ Propiedades respecto del orden: para todo $x,y,z\in {\bbb R}$

\itemitemitem{$\bullet$} Si $x\le y$, entonces $x+z\le y+z$.
\itemitemitem{$\bullet$} Si $x\le y$ y $z\ge 0$, entonces $x\,z\le y\,z$.
\itemitemitem{$\bullet$} Si $x\le y$, y $z\le 0$, entonces $x\,z\ge y\,z$.


\parrafo{Los n\'{u}meros Complejos}
\re{\numcomple}{} Nos encontramos todav\'{\i}a con ciertas ``deficiencias" en el conjunto de los n\'{u}meros Reales. Por ejemplo no toda ecuaci\'{o}n polin\'{o}mica
tiene soluci\'{o}n en $\bbb R$. Como caso particular, $X^2+1=0$ no tiene soluci\'{o}n en $\Bbb R$, o lo que es pr\'{a}cticamente lo mismo, no existe la ra\'{\i}z
cuadrada de ning\'{u}n n\'{u}mero negativo.

Vamos a construirnos un nuevo conjunto de n\'{u}meros que da  soluci\'{o}n a este problema, los n\'{u}meros Complejos.  Denotemos por $i$ un n\'{u}mero ``imaginario"
que verifique que $i^2=-1$ y sea $\Bbb C$ el conjunto:
$${\Bbb C}:=\{a+bi\ \vert\ a,b\in {\Bbb R}\}.$$ Dado $z=a+bi\in {\Bbb C}$ diremos que $a$ es la {\bf parte real} de $z$
mientras que $b$ es su {\bf parte imaginaria}. Vamos a poder definir una suma y un producto en $\Bbb C$: \vskip 0.2truecm $\eqalign{& \hbox{ La suma
se define: }\cr &\hbox{ El producto se define: }}$\quad
 $\eqalign{(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+)(b+d)i\cr (a+bi)\ \,.\, \ (c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i} $

\vskip 0.2truecm \noindent {\bf Nota:} observar que no son suma y productos arbitrarios, ya que la suma se realiza ``aplicando la propiedad
distributiva y conmutativa" y el producto ``aplicando adem\'{a}s  el hecho de que $i^2=-1$".

\noindent {\bf Nota:} Todo n\'{u}mero Real lo podemos ver como un n\'{u}mero Complejo, ya que  todo $a\in {\Bbb R}$ puede verse como $a+0i\in {\Bbb C}$. De
ahora en adelante siempre veremos los n\'{u}meros Reales como un subconjunto de los Complejos.

Antes de ver las propiedades que verifican los n\'{u}meros Complejos veamos algunas definiciones y propiedades.

\re{\conj}{Def:} Sea $z=a+bi\in {\Bbb C}$. Se define el conjugado de $z$ y se denota por $\overline z$ como $\overline z=a-bi$.

\re{\mod}{Def:} Sea $z=a+bi\in {\Bbb C}$. Se define el m\'{o}dulo de $z$, y se representa por $\vert z\vert$ como el n\'{u}mero Real,  $\vert z\vert=\root
\of{a^2+b^2}$

\noindent {\bf Nota:} Observar que un n\'{u}mero Complejo  es cero si y s\'{o}lo si su m\'{o}dulo es cero, es decir: dado $z=a+bi\in {\bbb C}$
$$z=0 \iff \vert z\vert=0.$$



\re{\proinv}{Lema} Sea $z\in {\Bbb C}$ un n\'{u}mero Complejo. Entonces $z\overline z=\vert z\vert ^2$.

{\bf Demo.} Realmente s\'{o}lo tenemos que hacer el producto:
$$z\,\overline z=(a+bi)(a-bi)=(a^2+b^2)+0i=\vert z\vert^2$$
por lo que queda demostrado el teorema.\endproof

Las propiedades que verifican los n\'{u}meros Complejos son:

$\star$  respecto de la suma:

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad asociativa.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento neutro: $0+0i=0$ es el neutro de la suma.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento opuesto: para todo $a+bi\in {\bbb C}$, $(-a)+(-b)i$ es el opuesto.

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad conmutativa.


$\star$ Propiedades respecto del producto:

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad asociativa.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento neutro: $1+0i=1$ es el elemento neutro del producto.

\itemitemitem{$\bullet$} Existencia de elemento inverso: para todo $0\ne z=a+bi\in {\bbb C}$,
$$z^{-1}={\overline z\over \vert z\vert} ={a\over a^2+b^2}+{-b\over a^2+b^2}i$$ es el inverso de $z$.

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad conmutativa.


$\star$ Propiedades conjuntas:

\itemitemitem{$\bullet$} Propiedad distributiva.

\noindent {\bf Nota:} Los n\'{u}meros Complejos tambi\'{e}n son un {\bf Cuerpo}.

\noindent {\bf Nota:} En los n\'{u}meros Complejos no hemos dado una noci\'{o}n de orden, por lo que no podremos decir si un n\'{u}mero Complejo es mayor o menor
que otro.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  grupo de la tarde (9-10-2003)    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


 \re{\polar}{La forma polar de un n\'{u}mero Complejo} Vamos a usar el hecho de que todo n\'{u}mero Complejo,
$z=a+bi\in {\bbb C}$, se puede representar como un vector de $R^2$, el plano Real, en donde $a$ es la coordenada en el eje de coordenadas y $b$ es la
coordenada en el eje de abscisa.

\centerline{\epsfxsize=5cm \epsfysize=3cm \epsfbox{Dibujo.png}}

As\'{\i}, $z$ queda determinado por el m\'{o}dulo de este vector y el \'{a}ngulo respecto del eje de coordenadas, al que llamaremos el argumento de $z$.



 \re{\polar}{Def:} Cuando un n\'{u}mero Complejo lo demos a partir de su modulo $M$ y argumento $\alpha$,
diremos que $z$ est\'{a} en {\bf forma polar}, y lo notaremos por $Z=M_\alpha$. En caso contrario, cuando demos un n\'{u}mero Complejo en la forma $z=a+bi$
diremos que $z$ est\'{a} en {\bf forma cartesiana}.\endre

\noindent {\bf Nota:} Es f\'{a}cil, usando nociones b\'{a}sicas de trigonometr\'{\i}a, pasar de la forma polar de un n\'{u}mero Complejo a su forma cartesiana  y
viceversa.

$$\eqalign{z=a+bi, \quad  &\Rightarrow \quad z=\vert z\vert_{{\rm ArcTan}{b\over a}}
\cr z=M_\alpha \quad &\Rightarrow\quad z=M {\rm Cos} \alpha+M {\rm Sen} \alpha\  i\cr}$$

\noindent {\bf Nota:} Cuando nos encontramos con n\'{u}meros polares puros, es decir, cuando la parte Real del n\'{u}mero Complejo sea cero, tenemos que
calcular la arcotangente de ``infinito" (${\rm ArcTan} {b\over 0}$) lo que ser\'{a} interpretado como el \'{a}ngulo de 90 o de 180 grados.

\noindent {\bf Nota:} Un n\'{u}mero Complejo en forma polar tiene m\'{a}s de una representaci\'{o}n, ya que para todo $z=M_\alpha$, se tiene que
$Z=M_{\alpha+360}=M_{\alpha+360 k}$, con $k\in \Bbb Z$. Ya que en su representaci\'{o}n en el plano Real una o m\'{a}s vueltas (sumar o restar un n\'{u}mero de
veces 360 grados  al argumento) no afecta a su representaci\'{o}n. Por otro lado, por definici\'{o}n, $M$ es un n\'{u}mero Real positivo.


Nos encontramos con que va a ser m\'{a}s f\'{a}cil multiplicar n\'{u}meros en forma polar que en forma cartesiana. As\'{\i}, dados $z=M_\alpha$ y $z'=M'_{\alpha'}$
tenemos que:

$$\eqalign {z.z'&=(M {\rm Cos} \alpha+ M {\rm Sen} \alpha\ i) (M' {\rm Cos} \alpha'+ M' {\rm Sen} \alpha'\ i)\cr &=
(MM'{\rm Cos} \alpha\  {\rm Cos} \alpha'-MM' {\rm Sen} \alpha\  {\rm Sen} \alpha') \cr & +(MM'{\rm Cos} \alpha\  {\rm Sen} \alpha'-MM' {\rm Cos}
\alpha' \ {\rm Sen} \alpha) i \cr &= MM' {\rm Cos}(\alpha+\alpha')+MM' {\rm Sen} (\alpha+\alpha') i= MM'_{(\alpha+\alpha')}}$$

\noindent {\bf Nota:} es decir, si queremos multiplicar n\'{u}meros Complejos en forma polar se multiplican sus m\'{o}dulos y se suman sus argumentos.

\re{\raicesnesimas}{Soluciones de ecuaciones polin\'{o}micas en $\Bbb C$} Dada una ecuaci\'{o}n polin\'{o}mica de segundo grado $ax^2+bx+c=0$ con $a,b,c\in {\Bbb
R}$, $a\ne 0$, tenemos que sus soluciones son:
$$x={-b\pm \root \of{b^2-4ac}\over 2a}$$
Cuando s\'{o}lo dispon\'{\i}amos de los n\'{u}meros Reales nos encontr\'{a}bamos que cuando  $b^2-4ac<0$ la ecuaci\'{o}n ``no ten\'{\i}a soluci\'{o}n". Ahora, ya podemos trabajar
con los n\'{u}meros Complejos, por lo que:

$\star$ Caso Real con dos ra\'{\i}ces distintas: Si $b^2-4ac>0$ $$x={-b\pm \root \of{b^2-4ac}\over 2a}.$$

$\star$ Caso Real con una ra\'{\i}z doble:
 Si $b^2-4ac=0$  $$x={-b\over 2a}.$$

$\star$ Caso Complejo con dos ra\'{\i}ces conjugadas: Si $b^2-4ac<0$ $$x={-b\pm \root \of{b^2-4ac}\over 2a}={-b\over 2a} \pm { \root \of{-(b^2-4ac)}\
\over 2a }i.$$

Las ecuaciones de grado superior son algo m\'{a}s dif\'{\i}ciles, no obstante todav\'{\i}a podemos resolver algunas m\'{a}s.

Vamos a calcular las soluciones de la ecuaci\'{o}n $X^n=1$. Sabemos que una primera soluci\'{o}n es $x=1$. Es m\'{a}s, si suponemos que las soluciones son
complejas, $x=M_\alpha$ nos encontramos con las ecuaciones: $$1=1_{360 k}=(M_\alpha)^n=M^n_{n\alpha}$$ por lo que $M=1$ (s\'{o}lo existe un n\'{u}mero Real
positivo que verifique que $M^n=1$) y $\alpha={360 \over n}k$ para $k=1,2,\dots,n$. Podr\'{\i}amos poner $k$ mayores, pero entonces se empezar\'{\i}an a
repetir las ra\'{\i}ces. Por tanto el conjunto de soluciones de la ecuaci\'{o}n $X^n=1$ es:
$$\{ 1_{360\over n}, 1_{2{360\over n}},\dots,1_{(n-1){360\over n}}\}$$ Este conjunto de n\'{u}meros es importante en
matem\'{a}ticas, cada uno de sus elementos se  denomina una {\bf ra\'{\i}z n-sima de la unidad}.

\noindent {\bf Nota:} Si denoto por $\gamma=1_{360\over n}$, tenemos que $\gamma^k=1_{k{360\over n}}$, por lo que el conjunto de las ra\'{\i}ces  n-esimas
de la unidad es $\{\gamma, \gamma^2,\dots,\gamma^n=1\}$.

\noindent {\bf Nota:} Las ra\'{\i}ces cuadradas de la unidad no son m\'{a}s que $\{1_{180}, 1_{360}\}=\{-1,1\}$.


Vamos a calcular las soluciones de la ecuaci\'{o}n $X^n=a$, con $0<a\in {\Bbb R}$. Sabemos que una primera soluci\'{o}n es $x=\root n\of a$. Es m\'{a}s, si
$\gamma=1_{360\over n}$, el conjunto de las $n$ soluciones es:
$$\{\root n\of a \gamma, \root n\of a \gamma^2,\dots,\root n\of a \gamma^n=\root n\of a\}.$$



\end
