Introducción al Álgebra. 16 de junio de 2006. Examen Final.

1-. (i) Determina el retículo de los subgrupos de ℤ_{24} dando un generador para cada uno de los subgrupo. 0.75 (ii) Completa el isomorfismo 2ℤ_{24}/? ≅ ℤ_{3} y justifícalo. 0.75 (iii) Demuestra que el grupo de las unidades ℤ_{24}^{∗} del monoide multiplicativo ℤ_{24} es isomorfo al

grupo ℤ_{2} × ℤ_{2} × ℤ_{2}. 0.5 2-. (i) Halla, salvo isomorfismos, todos los grupos abelianos de orden p^{2}q^{2} (p y q primos) y

calcula sus respectivos factores invariantes. 0.75 (ii) ¿Son todos ellos cíclicos? ¿sólo algunos? ¿ninguno? 0.75 (iii) Determina el número de elementos de orden p que contiene cada uno de ellos. 0.75 (iv) Pon un ejemplo de un grupo de orden p^{2}q^{2} que no sea abeliano. 0.75

3-. Sea R un anillo y a ∈ R. Demuestra que S = {x ∈ R |xa = x} es un subanillo de R. ¿Es S un ideal por la izquierda de R? 1

Si R es dominio de integridad, ¿Quien puede ser S? 1 4-. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

(i) Sea D un Dominio de integridad y Q(D) su cuerpo de fracciones. Dado dos fracciones a/b, c/d ∈ Q(D), por el principio del buen orden siempre podemos encontrar un denominador común que sea el M.C.M(b, d). 0.75

(ii) Sea R un anillo e I ⊂ R. Entonces I es un ideal de R si y sólo si existe un anillo S y un

epimorfismo de anillos f : R → S tal que Ker(f) = I. 0.75 (iii) Sea {R_{α}} una familia de anillos. Entonces ΠR_{α}, el producto cartesianos, es subanillo de ⊕R_{α},

la suma directa. 0.75 (iv) Los polinomios x^{4} + x^{2} + 1 ∈ ℝ[x] y x^{3} + 1 ∈ ℝ[x] son primos relativos. 0.75

5-. Sea ℚ[x] el anillo de polinomios sobre el cuerpo de los racionales.

(i) Demuestra que ℚ[x]/ < 5x^{2} − 10 > es un cuerpo y calcula (\overline{1 + x})^{−1}. 1 (ii) Demuestra que el polinomio 12 + 24x^{2} + 14x^{4} ∈ ℚ[x] es irreducible. 1

6-. Sea D un dominio de integridad.

(i) Define la relación “ser asociado” y demuestra que es de equivalencia. 1 (ii) Demuestra que si p ∈ D es primo y q ∼ p, entonces q es irreducible. Define elemento primo y

elemento irreducible. 1 (iii) Da un ejemplo de elemento irreducible en ℤ[i], el anillo de los enteros de Gauss, que este

contenido en ℤ y sea mayor de 30 y otro que no lo esté (demuestra que son irreducibles). 1

Nota: Los que se examinen de todo, harán sólo los cuatro primeros ejercicios. Los que se examinen del segundo cuatrimestre harán sólo los cuatro últimos ejercicios.

Nota: Los dos primeros ejercicios se realizarán en folios separados (los corrige A. García). El resto los corrige M. Gómez.