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{\bf{ Introducci\'{o}n al \'{A}lgebra.  \hfill 16 de junio de 2006.}}\vskip 0.3truecm \centerline{\bf Examen Final.}\vskip
0.5truecm


 \ejj {(i)} Determina el ret\'{\i}culo de los subgrupos de $\ZZ_{24}$ dando un generador para cada uno de los subgrupo. \hfill {\bf 0.75}
\item{(ii)} Completa el isomorfismo $2\ZZ_{24}/?\cong \ZZ_3$ y justif\'{\i}calo. \hfill {\bf 0.75}
\item{(iii)} Demuestra que el grupo de las unidades $\ZZ^*_{24}$ del monoide multiplicativo $\ZZ_{24}$ es isomorfo al
grupo $\ZZ_2\times\ZZ_2\times\ZZ_2$. \hfill {\bf 0.5}

\ejj {(i)} Halla, salvo isomorfismos, todos los grupos abelianos de orden $p^2q^2$ ($p$ y $q$ primos) y calcula sus
respectivos factores invariantes. \hfill {\bf 0.75}
\item{(ii)} ?`Son todos ellos c\'{\i}clicos? ?`s\'{o}lo algunos? ?`ninguno? \hfill {\bf 0.75}
\item{(iii)} Determina el n\'{u}mero de elementos de orden $p$ que contiene cada uno de ellos. \hfill {\bf 0.75}
\item{(iv)} Pon un ejemplo de un grupo de orden $p^2q^2$ que no sea abeliano. \hfill {\bf 0.75}





 \ejj Sea $R$ un anillo y $a\in R$.
Demuestra que  $S=\{x\in R\ \vert xa=x\}$ es un subanillo de $R$.   ?`Es $S$   un ideal por la izquierda de $R$? \hfill
{\bf 1}

Si $R$ es dominio de integridad, ?`Quien puede ser $S$? \hfill {\bf 1}

 \ejj Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
\item{(i)} Sea $D$ un Dominio de integridad y $Q(D)$ su cuerpo de fracciones. Dado dos fracciones  $a/b,c/d\in Q(D)$,
por el principio del buen orden siempre podemos encontrar un denominador com\'{u}n que sea el $M.C.M(b,d)$. \hfill {\bf
0.75}



\item{(ii)} Sea $R$ un anillo e $I\subset R$. Entonces $I$ es un ideal de $R$ si y s\'{o}lo si existe un anillo $S$ y un
epimorfismo de anillos $f:R\to S$ tal que $Ker(f)=I$. \hfill {\bf 0.75}


\item{(iii)} Sea $\{R_\alpha\}$ una familia de anillos. Entonces $\Pi R_\alpha$, el producto cartesianos, es subanillo de $\oplus R_\alpha$,
la suma directa. \hfill {\bf 0.75}

\item{(iv)} Los polinomios $x^4+x^2+1\in {\bbb R}[x]$ y $x^3+1\in {\bbb R}[x]$ son primos relativos. \hfill {\bf 0.75}

\ejj Sea $\QQ[x]$ el anillo de polinomios sobre el cuerpo de los racionales.

\item{(i)} Demuestra que $\QQ[x]/<5x^2-10>$ es un cuerpo y calcula   $(\overline{1+x})^{-1}$.
 \hfill {\bf 1}

\item{(ii)} Demuestra que el polinomio $12+24x^2+14x^4\in \QQ[x]$ es irreducible.  \hfill {\bf 1}

\ejj Sea $D$ un dominio de integridad.

\item{(i)} Define la relaci\'{o}n ``ser asociado" y demuestra que es de equivalencia.\hfill {\bf 1}

\item{(ii)} Demuestra que si $p\in D$ es primo y $q\sim p$, entonces $q$ es irreducible. Define elemento primo y
elemento irreducible. \hfill {\bf 1}

\item{(iii)} Da un ejemplo  de elemento irreducible en $\ZZ[i]$, el anillo de los enteros de Gauss, que este contenido
en $\ZZ$ y sea mayor de 30 y otro que no lo est\'{e} (demuestra que son irreducibles). \hfill {\bf 1}




\vfill  {\bf Nota:}  Los que se examinen de todo, har\'{a}n s\'{o}lo los cuatro primeros ejercicios. Los que se examinen del
segundo cuatrimestre har\'{a}n s\'{o}lo los cuatro \'{u}ltimos  ejercicios.

 {\bf Nota:} Los dos primeros ejercicios se realizar\'{a}n en folios separados (los corrige A. Garc\'{\i}a). El resto los corrige
 M. G\'{o}mez.
 \end
