Examen: Introducción al Álgebra. 6 de junio de 2006. Segundo Cuatrimestre.

1-. Haz un cuadro en donde aparezcan los tipos de anillos que conozcas dando las relaciones existentes entre ellos (conmutativos, unitarios, DIP, etc). Define cada uno de estos anillos y pon un ejemplo. 1.25

2-. Sea R un anillo y a ∈ R. Demuestra que S = {x ∈ R |ax = 0} es un subanillo de R. Define ideal por la derecha ¿Es S un ideal por la derecha de R? 1

3-. Sea R un anillo conmutativo y unitario en donde todo ideal no trivial es maximal.

(i) Demuestra que R posee a lo sumo un ideal no trivial. 0.75 (ii) Demuestra que si a ∉ I (el ideal no trivial), entonces a es inversible. 0.75

4-. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

(i) Todo anillo unitario se puede ver como subanillo de un cuerpo. 0.5 (ii) Es posible encontrar dos anillos no nulos R, S tales que R × S sea un anillo

de división. 0.5 (iii) Sea D un dominio de integridad y Q(D) su cuerpo de fracciones. Entonces

[a, b] ∈ Q(D) es el elemento unidad de Q(D) si y sólo si a = b. 0.5 (iv) El conjunto de los endomorfismos de un anillo R es un anillo que contiene a

R como subanillo. 0.5 (v) Si x, y ∈ ℤ se pueden escribir como suma de dos cuadrados, entonces xy

también se puede escribir como suma de dos cuadrados. 0.75 5-. Sea R un anillo unitario y f : R → R un homomorfismo de anillos tal

que para cada a ∈ R existe n_{a} ∈ ℕ con f^{n_{a}}(a) = a. Demuestra que f es un isomorfismo de anillos. 1

6-. Sea ℤ[x] el anillo de polinomios sobre el anillo de los enteros.

(i) ¿Es ℤ[x] un DE, DIP, DFU, o dominio de integridad? 0.75 (ii) Demuestra que ℚ[x]/ < x^{3} − 3 > es un cuerpo, y calcula (\overline{1 + x})^{−1}. 1 (iii) Demuestra que el polinomio 18 + 9x^{2} + 15x^{4} ∈ ℚ[x] es irreducible. 0.75

Nota: El ejercicio “6-.” será hecho en un folio aparte. Nota: Cada ejercicio lleva a su derecha un número en negrita que corresponde

con su puntuación.

Nota: Duración estimada del examen 2 horas.