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{\bf{ Examen: Introducci\'{o}n al \'{A}lgebra.  \hfill 6 de junio de 2006.}}\vskip 0.3truecm \centerline{\bf Segundo
Cuatrimestre.}\vskip 0.5truecm


 \ejj Haz un cuadro en donde aparezcan los tipos de anillos que
conozcas dando las relaciones existentes entre ellos (conmutativos, unitarios, DIP, etc). Define cada uno de estos
anillos  y pon un ejemplo.\hfill {\bf 1.25}


 \ejj Sea $R$ un anillo y $a\in R$.
Demuestra que  $S=\{x\in R\ \vert ax=0\}$ es un subanillo de $R$.  Define ideal por la derecha ?`Es $S$   un ideal por
la derecha de $R$? \hfill {\bf 1}






\ejj Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario en donde todo ideal no trivial es maximal.
\item{(i)} Demuestra que $R$ posee a lo sumo un ideal no trivial. \hfill {\bf 0.75}
\item{(ii)} Demuestra que si $a\notin I$ (el ideal no trivial), entonces $a$ es inversible.\hfill {\bf 0.75}


 \ejj Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
\item{(i)} Todo anillo unitario se puede ver como subanillo de un cuerpo. \hfill {\bf 0.5}

\item{(ii)} Es posible encontrar dos anillos no nulos $R$, $S$ tales que $R\times S$ sea un anillo de divisi\'{o}n.\hfill {\bf 0.5}


\item{(iii)} Sea $D$ un dominio de integridad y ${\cal Q}(D)$ su cuerpo de fracciones. Entonces $[a,b]\in {\cal Q}(D)$ es el elemento
unidad de ${\cal Q}(D)$ si y s\'{o}lo si $a=b$.\hfill {\bf 0.5}

\item{(iv)} El conjunto de los endomorfismos de un anillo $R$ es un anillo que contiene a $R$ como subanillo.\hfill {\bf 0.5}
\item{(v)} Si $x,y\in \ZZ$  se pueden escribir como suma de dos cuadrados, entonces $xy$
tambi\'{e}n se puede escribir como suma de dos cuadrados. \hfill {\bf 0.75}



\ejj Sea $R$ un anillo unitario y $f:R\to R$  un homomorfismo de anillos tal que para cada $a\in R$ existe $n_a\in
{\bbb N}$ con $f^{n_a}(a)=a$. Demuestra que $f$ es un isomorfismo de anillos. \hfill {\bf 1}

\ejj Sea $\ZZ[x]$ el anillo de polinomios sobre el anillo de los enteros.

\item{(i)} ?`Es $\ZZ[x]$ un DE, DIP, DFU, o dominio de integridad? \hfill {\bf 0.75}

\item{(ii)} Demuestra que $\QQ[x]/<x^3-3>$ es un cuerpo, y calcula   $(\overline{1+x})^{-1}$.
 \hfill {\bf 1}

\item{(iii)} Demuestra que el polinomio $18+9x^2+15x^4\in \QQ[x]$ es irreducible.  \hfill {\bf 0.75}


\vfill

{\bf Nota:} El ejercicio ``{\bf 6-.}" ser\'{a} hecho en un folio aparte.

{\bf Nota:} Cada ejercicio lleva a su derecha un n\'{u}mero en negrita que corresponde con su puntuaci\'{o}n.

{\bf Nota:} Duraci\'{o}n estimada del examen 2 horas.
\end
