Introducción al Álgebra. 20 de septiembre de 2006. Examen Final.

Alumnos que se examinan de TODO

1-.

(i) Encuentra las soluciones del sistema de ecuaciones 0.83

\{ \begin{matrix}3x + 2y & =1 \\ 5x − 10y & =1 \end{matrix} en ℤ_{11}

(ii) Descompón en productos de ciclos disjuntos y haya el orden y la signatura de

la permutación γ := (123)(2467)(1358). Calcula γ^{666}. 0.83 (iii) ¿Puede haber un epimorfismo de grupos σ : S_{3} → K^{4}? 0.84

2-. Los factores invariantes del grupo abeliano G son (2, 6, 24, 120). Determina sus componentes p-primarias y el número de elementos de orden 10 que posee. ¿Cuantos grupos abelianos no isomorfos hay del mismo orden que G? 2.5

3-. Sea (R, +, .) un anillo (no necesariamente unitario).

(i) Supongamos que 0 es el elemento neutro de +. Demuestra que 0.x = x.0 = 0 para todo x ∈ R. ¿Que propiedades del anillo has utilizado? ¿Cuales no? 1

(ii) Demuestra que R es un anillo de división si y sólo si para todo a, b ∈ R con a ≠ 0, la ecuación aX + b = 0 posee solución única. 1 4-. Sea R un anillo. Consideremos Δ := {x ∈ R | x + x = 0}.

(i) Demuestra que Δ es un ideal de R. 1 (ii) Supongamos que la característica de R es un número primo, p ≠ 2. Demuestra

entonces que Δ = 0. 0.5 5-. Verdadero o falso (contesta razonadamente):

(i) Sea D un dominio de integridad y p(X) ∈ D[X] un polinomio con coeficientes en D de grado n. Entonces p(X) tiene a lo sumo n soluciones en D. 0.5

(ii) Si un anillo R es conmutativo y unitario y no tiene ideales no triviales, en-

tonces R es un cuerpo. 0.5 (iii) Sea D un DE con función euclidiana δ y sea a ∈ D tal que δ(a) = δ(1).

Demuestra que a es inversible. 0.5

Los que se presenten SÓLO al segundo parcial

1-. Sea (R, +, .) un anillo (no necesariamente unitario).

(i) Supongamos que 0 es el elemento neutro de +. Demuestra que 0.x = x.0 = 0 para todo x ∈ R. ¿Que propiedades del anillo has utilizado? ¿Cuales no? 1.5

(ii) Demuestra que R es un anillo de división si y sólo si para todo a, b ∈ R con

a ≠ 0, la ecuación aX + b = 0 posee solución única. 1 (iii) Encuentra un anillo R y dos elementos a, b ∈ R tales que la ecuación aX+b = 0

posea exactamente dos soluciones. 0.5 2-. Sea R un anillo. Consideremos Δ := {x ∈ R | x + x = 0}.

(i) Demuestra que Δ es un ideal de R. 1.5 (ii) Supongamos que la característica de R es un número primo, p ≠ 2. Demuestra

entonces que el Δ = 0. 0.5 3-. Sea R un anillo conmutativo y unitario y a ∈ R. Da una condición

necesaria y suficiente (sobre a) para que la aplicación f : R → R definida por f(x) = ax sea un homomorfismo de anillos. ¿Y para que sea un isomorfismo? 1

4-. Verdadero o falso (contesta razonadamente):

(i) Sea D un dominio de integridad y p(X) ∈ D[X] un polinomio con coeficientes en D de grado n. Entonces p(X) tiene a lo sumo n soluciones en D. 0.5

(ii) Si un anillo R es conmutativo y unitario y no tiene ideales no triviales, en-

tonces R es un cuerpo. 0.5 (iii) Sea D un DE con función euclidiana δ y sea a ∈ D tal que δ(a) = δ(1).

Demuestra que a es inversible. 0.5 5-. Sea D = \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℤ\}.

(i) Demuestra que D es un dominio de integridad (demuestra que es un anillo primero). 1.5

(ii) Consideramos Q(D) = \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℚ\}. Calcula el inverso de 2 + 3\sqrt{2} y dalo en la forma a + b\sqrt{2} con a, b ∈ ℚ. 1