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{\bf{Introducci\'{o}n al \'{A}lgebra.  \hfill 20 de septiembre de 2006.}}\vskip 0.3truecm \centerline{\bf Examen Final.}

 \vskip 0.5truecm \centerline{\bf Alumnos que se examinan de TODO}\vskip 0.5truecm

\ejj \item{(i)} Encuentra las soluciones del sistema de ecuaciones \hfill {\bf 0.83}

$$\cases{3x+2y&=1 \cr 5x-10y&=1}\quad  \hbox{en ${\bbb Z}_{11}$}$$

\item{(ii)} Descomp\'{o}n en productos de ciclos disjuntos y haya el orden y la signatura de la permutaci\'{o}n
$\gamma:=(123)(2467)(1358)$. Calcula $\gamma^{666}$. \hfill {\bf 0.83}

\item{(iii)} ?`Puede haber un epimorfismo de grupos $\sigma: S_3\to K^4$?  \hfill {\bf 0.84}

\ejj Los factores invariantes del grupo abeliano $G$ son $(2,6,24,120)$. Determina sus componentes p-primarias y el
n\'{u}mero de elementos de orden 10 que posee. ?`Cuantos grupos abelianos no isomorfos hay del mismo orden que $G$?  \hfill
{\bf 2.5}

 \ejj Sea $(R,+,.)$ un anillo (no necesariamente unitario).
 \item{(i)} Supongamos que $0$ es el elemento neutro de $+$. Demuestra que $0.x=x.0=0$ para
todo $x\in R$. ?`Que propiedades del anillo has utilizado? ?`Cuales no? \hfill {\bf 1}
\item{(ii)} Demuestra que $R$ es un anillo de divisi\'{o}n si y s\'{o}lo si para todo $a,b\in R$ con $a\ne 0$, la ecuaci\'{o}n
$aX+b=0$ posee soluci\'{o}n \'{u}nica. \hfill {\bf 1}

\ejj Sea $R$ un anillo. Consideremos $\Delta:=\{x\in R\ \vert\  x+x=0\}$.
\item{(i)} Demuestra que $\Delta$ es un ideal de $R$. \hfill {\bf 1}
\item{(ii)} Supongamos que la caracter\'{\i}stica de $R$ es un n\'{u}mero primo, $p\ne 2$. Demuestra entonces que
  $\Delta=0$. \hfill {\bf 0.5}

\ejj Verdadero o falso (contesta razonadamente):
\item{(i)} Sea $D$ un dominio de integridad y $p(X)\in D[X]$ un polinomio con coeficientes en $D$ de grado $n$.
Entonces $p(X)$ tiene a lo sumo $n$ soluciones en $D$.\hfill {\bf 0.5}
\item{(ii)} Si un anillo $R$ es conmutativo y unitario y no tiene ideales no triviales, entonces $R$ es un cuerpo. \hfill {\bf 0.5}
\item{(iii)} Sea $D$ un DE con funci\'{o}n euclidiana  $\delta$ y sea $a\in D$ tal que  $\delta(a)=\delta(1)$. Demuestra que  $a$ es inversible. \hfill {\bf 0.5}
\vfill \eject

 \vskip 0.5truecm \centerline{\bf Los que se presenten S\'{O}LO al segundo parcial} \vskip 0.5truecm

\recount=0

 \ejj Sea $(R,+,.)$ un anillo (no necesariamente unitario).
 \item{(i)} Supongamos que $0$ es el elemento neutro de $+$. Demuestra que $0.x=x.0=0$ para
todo $x\in R$. ?`Que propiedades del anillo has utilizado? ?`Cuales no? \hfill {\bf 1.5}
\item{(ii)} Demuestra que $R$ es un anillo de divisi\'{o}n si y s\'{o}lo si para todo $a,b\in R$ con $a\ne 0$, la ecuaci\'{o}n
$aX+b=0$ posee soluci\'{o}n \'{u}nica. \hfill {\bf 1}
\item{(iii)} Encuentra un anillo $R$ y dos elementos $a,b\in R$ tales que la ecuaci\'{o}n $aX+b=0$ posea exactamente dos
soluciones. \hfill {\bf 0.5}

\ejj Sea $R$ un anillo. Consideremos $\Delta:=\{x\in R\ \vert\  x+x=0\}$.
\item{(i)} Demuestra que $\Delta$ es un ideal de $R$. \hfill {\bf 1.5}
\item{(ii)} Supongamos que la caracter\'{\i}stica de $R$ es un n\'{u}mero primo, $p\ne 2$. Demuestra entonces que
 el $\Delta=0$. \hfill {\bf 0.5}

\ejj Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario y $a\in R$. Da una condici\'{o}n necesaria y suficiente (sobre $a$) para que
la aplicaci\'{o}n $f:R\to R$ definida por $f(x)=ax$ sea un homomorfismo de anillos. ?`Y para que sea un isomorfismo? \hfill
{\bf 1}



\ejj Verdadero o falso (contesta razonadamente):
\item{(i)} Sea $D$ un dominio de integridad y $p(X)\in D[X]$ un polinomio con coeficientes en $D$ de grado $n$.
Entonces $p(X)$ tiene a lo sumo $n$ soluciones en $D$.\hfill {\bf 0.5}
\item{(ii)} Si un anillo $R$ es conmutativo y unitario y no tiene ideales no triviales, entonces $R$ es un cuerpo. \hfill {\bf 0.5}
\item{(iii)}  Sea $D$ un DE con funci\'{o}n euclidiana  $\delta$ y sea $a\in D$ tal que  $\delta(a)=\delta(1)$. Demuestra que  $a$ es inversible.
 \hfill {\bf 0.5}

\ejj Sea $D=\{a+b\sqrt{2}\ \vert \ a,b\in {\bbb Z}\}$.
\item{(i)} Demuestra que $D$ es un dominio de integridad (demuestra que es un anillo primero). \hfill {\bf 1.5}
\item{(ii)}Consideramos ${\cal Q}(D)= \{a+b\sqrt{2}\ \vert \ a,b\in {\bbb Q}\}$. Calcula el inverso de
$2+3\sqrt2$ y dalo en la forma $a+b\sqrt{2}$ con $a,b\in {\bbb Q}$. \hfill {\bf 1}



\end
