Programa de Introducción al Álgebra.

Dpto. de Álgebra, Geometría y Topología Curso 2005/2006

PROGRAMA DE INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (15 ctos.) CURSO 2005/06

0 Preliminares

0.1 Demostraciones 0.2 Conjuntos 0.3 Aplicaciones 0.4 Equivalencias

1 Enteros y Permutaciones

1.1 Inducción 1.2 Divisibilidad y Factorización Prima 1.3 Enteros módulo n. Congruencias 1.4 Permutaciones

2 Grupos

2.1 Operaciones Binarias 2.2 Grupos 2.3 Subgrupos 2.4 Grupos Cíclicos. Orden de un elemento 2.5 Homomorfismos e Isomorfismos 2.6 Clases Laterales y Teorema de Lagrange 2.7 Grupos de Movimientos y Simetrías 2.8 Subgrupos Normales 2.9 Grupo Cociente 2.10 Los Teoremas de Isomorfía

3 Anillos

3.1 Ejemplos y Propiedades Básicas 3.2 Subanillos 3.3 Dominios de Integridad y Cuerpos 3.4 Anillos de División. Cuterniones de Hamilton 3.5 Homomorfismos e Isomorfismos 3.6 Cuerpo de Cocientes de un Dominio de Integridad 3.7 Ideales y Anillos Cocientes 3.8 Anillos Simples 3.9 Ideales Primos y Maximales 3.10 Teoremas de Isomorfía 3.11 Subcuerpo Primo 4 Polinomios

4.1 Polinomios con Coeficientes en un Anillo Conmutativo 4.2 El Algoritmo de la División 4.3 Homomorfismos de Evaluación. Teorema del Resto 4.4 Raices de Polinomios 4.5 Factorización de Polinomios sobre un Cuerpo 4.6 Polinomios Irreducibles sobre ℚ 4.7 Irreducibilidad sobre ℂ y ℝ 4.8 Anillos Cocientes de Polinomios sobre un Cuerpo 4.9 Teorema de Kronecker

5 Factorización en Dominios de Integridad

5.1 Irreducibilidad en Dominios de Integridad (DI) 5.2 Codicion de Cadena Ascendente en Ideales Principales 5.3 Dominios de Factorización Única (DFU) 5.4 Factorización Única en R[x]. Polinomios Primitivos. Lema de Gauss 5.5 Dominios de Ideales Principales (DIP) 5.6 Dominios Euclidianos (DE) 5.7 DE ⇒ DIP ⇒ DF U 5.8 Anillos de Enteros Cuadráticos 5.9 El anillo ℤ[i] de los Enteros de Gauss

Este programa sigue casi literalmente los contenidos del libro de W.K. Nicholson ”Introduction to Abstract Algebra” de la Editorial Wiley-Interscience el cual será usado como texto principal de la asignatura por su alto contenido en ejemplos y problemas, por tanto su manejo es muy recomendable. Existe algún ejemplar en la Biblioteca del Centro. Además de éste, se pueden consultar también los siguientes libros de texto:

BIBLIOGRAFÍA

- Allenby, R.B.J.T.: “Rings, Field and Groups” Arnold.

- Anzola, M. y Caruncho, J.: “Problemas de Álgebra” (Tomos I y II).

- Cohn, P.M.: “Algebra (Vol. 1)” Wiley.

- Dorronsoro, J. y Hernández, E.: “Números, grupos y anillos” Addison-Wesley.

- Fraleigh, J.B.: “Algebra abstracta” Addison-Wesley.

- Herstein, I.N.: “Algebra abstracta” Grupo editorial Iberoamericano.

- Herstein, I.N.: “Topics in Algebra” Wiley.

- Jacobson, N: “Basic Algebra I” Freeman.

- Kostrikin, A.I.: “Introducción al álgebra” McGraw-Hill.

- Lang, S.: “Algebra” Aguilar.

- MacLane, S. y Birkhoff, G.: “algèbre (1| structures fondamentales)” Gauthier-Villars.

- Nicholson, W.K.: “Introduction to Abstract Algebra”Wiley 1999.

- Vera López, A. y Vera López, J.: “Problemas de álgebra” (Tomo I).

Primer Cuatrimestre: Capítulos 1 y 2 Segundo Cuatrimestre: Capítulos 3, 4 y 5

Exámenes.- Habrá dos exámenes parciales (Febrero y Junio) y dos finales (Julio y Septiembre). Los dos exámenes parciales, correspondientes a las materias impartidas en cada cuatrimestre, se podrán aprobar con independencia uno del otro pero la validez del aprobado prescribe el 30 de septiembre de 2006. La nota final será la que se obtenga al hacer la media aritmética de los dos parciales o, en su caso, la obtenida en alguno de los dos finales.

A lo largo del curso los alumnos deberán resolver y exponer en las clases de tutorías hasta un máximo de seis ejercicios en cada cuatrimestre de entre los propuestos durante las clases o de los incluidos en los listados. A tal efecto se le entregará a cada alumno un listado con ejercicios y exámenes de convocatorias anteriores (obviamente, no resueltos).

Cada ejercicio bien resuelto y correctamente expuesto en tutorías tendrá una puntuación de un cuarto de punto, pudiéndose acumular hasta un máximo de un punto y medio por cada cuatrimestre. La puntuación así obtenida se sumará a la conseguida en el examen parcial correspondiente dando un total que será la nota definitiva del cuatrimestre.

La calificación final se calculará haciendo la media aritmética de las dos calificaciones cuatrimestrales, si bien, para la obtención de una Matrícula de Honor será necesario resolver algún problema especial.