Relación 1 Secciones (1.1), (1.2) y (1.3)

1-. Decir si los siguientes conjuntos, con las operaciones indicadas, tienen estructura de anillo. En caso afirmativo: ¿son conmutativos?, ¿unitarios?, ¿de división?... ¿cuáles son sus elementos inversibles?

(i) ℤ^{+} con la suma y producto usual.

(ii) \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℚ\}.

(iii) ℕ con primera operación: el producto y segunda operación la potencia, es decir: “a + b igual a ab” y “a por b igual a a^{b}”.

(iv) {x ∈ ℚ | 3x ∈ ℤ} con las operaciones usuales.

2-. ¿Es posible dar una estructura de anillo en el conjunto ℤ en donde la primera operación sea el producto? ¿Y en la que la segunda operación sea la suma? Demuestra que no es posible o construye dicha operación. [∗]

3-. Sea X un conjunto no vacío, P el conjunto de partes de X y △ la operación diferencia simétrica. Demuestra que (P(X), △, ∩) es un anillo conmutativo y unitario. Da una condición necesaria y suficiente para que sea dominio de integridad.

4-. Sea R un anillo. Demuestra que si a ∈ R es un divisor de cero, entonces a no es inversible.

5-. Demuestra que todo subanillo unitario de un dominio de integridad es un dominio de integridad. ¿Has demostrado algo más general?

6-. Demuestra que si R es un anillo unitario y S es un subanillo suyo, S no tiene por qué ser unitario. Es más, si S es unitario las unidades de R y S pueden no coincidir.

7-. Sea R un anillo sin divisores de cero y S un subanillo de R. Entonces, si S es unitario, R es unitario con la misma unidad.

8-. Demuestra que en ℤ_{12} la ecuación X^{2} −1 = 0 tiene más de dos soluciones. Demuestra que en un dominio de integridad la ecuación anterior sólo posee, a lo sumo, dos soluciones. ¿Sabrías encontrar un anillo en donde sólo posea una?

9-. Se dice que un elemento x en un anillo R es nilpotente si existe n ∈ ℕ, con n > 1, tal que x^{n} = 0. Encuentra una condición necesaria y suficiente para que ℤ_{n} no tenga elementos nilpotentes. Calcula los nilpotentes de ℤ_{120}. [∗]

10-. Demuestra que un anillo R no posee elementos nilpotentes si y sólo si el único elemento x ∈ R tal que x^{2} = 0 es x = 0.

11-. Sea R un anillo. Un elemento x ∈ R que verifica que x = x^{2} se dice que es un idempotente. Demuestra que un anillo en donde todo elemento es idempotente es conmutativo. [∗]

12-. Sea R un anillo y e ∈ R un idempotente. Demuestra que

eRe := {exe | x ∈ R} = {x ∈ R | xe = ex = x}

es un subanillo unitario de R (que no se te olvide comprobar la igualdad de los conjuntos anteriores). Demuestra que si eRe = R, entonces e = 1.

13-. Demuestra que en un anillo sin divisores de cero los únicos (posibles) idempotentes son 0 y 1 (llamados idempotentes triviales). Encuentra algún idempotente no trivial en M_{n}(ℝ).

14-. ¿Cuales son los endomorfismos de ℤ? ¿Cuáles son los endomorfismos de ℤ, considerado éste como grupo abeliano?

15-. Da un ejemplo de un anillo R no conmutativo tal que U(R) sea un grupo abeliano. [∗]

16-. Sea R un anillo unitario y a ∈ R tal que existe b ∈ R con ab = 1. Demuestra que son equivalentes:

- a no es inversible.

- existe b′ ∈ R con b′ ≠ b y ab′ = 1.

- a es divisor de cero.

Demuestra que en las condiciones anteriores, R contiene un idempotente no trivial (distinto de 0 y 1). [∗]

17-. Demuestra que en un anillo sin idempotentes no triviales, si ab = 1 entonces ba = 1.

18-. Sea R un anillo con al menos dos elementos. Supongamos que para cada 0 ≠ x ∈ R existe un único y ∈ R con x = xyx. Demuestra que: R no tiene divisores de cero. Si xyx = x, entonces yxy = y. R es unitario. R es un anillo de división. [∗∗]

19-. Encuentra un anillo R que no sea de división y tal que para cada x ∈ R exista y ∈ R con x = xyx. [∗]

El símbolo [∗] significa dificultad moderada y [∗∗] dificultad media.