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{\bf{Relaci\'{o}n 1 \hfill Secciones (1.1), (1.2) y (1.3)}}\vskip 0.5truecm


\ejj Decir si los siguientes conjuntos, con las operaciones indicadas, tienen estructura de anillo. En caso afirmativo: ?`son conmutativos?,
?`unitarios?, ?`de divisi\'{o}n?... ?`cu\'{a}les son  sus elementos inversibles?

\item{(i)} ${\bbb Z}^+$ con la suma y producto usual.
\item{(ii)} $\{a+b\sqrt{2}\ \vert \ a,b\in {\bbb Q}\}$.
\item{(iii)} $\bbb N$ con primera operaci\'{o}n: el producto y  segunda operaci\'{o}n la potencia, es decir: ``$a$ + $b$ igual a $ab$" y ``$a$ por $b$ igual a $a^b$".
\item{(iv)} $\{x\in {\bbb Q} \ \vert\ 3x\in {\bbb Z}\}$ con las operaciones usuales.

 \ejj ?`Es posible dar una estructura de anillo en el conjunto $\bbb Z$ en donde la primera operaci\'{o}n sea el producto? ?`Y en la que la segunda
operaci\'{o}n sea la suma? Demuestra que no es posible o construye dicha operaci\'{o}n. \hfill{[$*$]}

\ejj Sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o, $\cal P$ el conjunto de partes de $X$ y $\triangle$ la operaci\'{o}n diferencia sim\'{e}trica. Demuestra que $({\cal
P}(X), \triangle, \cap)$ es un anillo conmutativo y unitario. Da una condici\'{o}n necesaria y suficiente para que sea dominio de integridad.

\ejj Sea $R$ un anillo. Demuestra que si $a\in R$ es un  divisor de cero, entonces $a$ no es inversible.

\ejj Demuestra que todo subanillo unitario de un dominio de integridad es un dominio de integridad. ?`Has demostrado algo m\'{a}s general?

\ejj Demuestra que si $R$ es un anillo unitario y $S$ es un subanillo suyo, $S$ no tiene por qu\'{e} ser unitario. Es m\'{a}s, si $S$ es unitario las
unidades de $R$ y $S$ pueden no coincidir.

\ejj Sea $R$ un anillo sin divisores de cero y $S$ un subanillo de $R$. Entonces, si $S$ es unitario, $R$ es unitario con la misma unidad.

\ejj Demuestra que en ${\bbb Z}_{12}$ la ecuaci\'{o}n $X^2-1=0$ tiene m\'{a}s de dos soluciones. Demuestra que en un dominio de integridad la ecuaci\'{o}n
anterior s\'{o}lo posee, a lo sumo, dos soluciones. ?`Sabr\'{\i}as encontrar un anillo en donde s\'{o}lo posea una?

\ejj Se dice que un elemento $x$ en un anillo $R$ es nilpotente si existe $n\in {\bbb N}$, con $n>1$,  tal que $x^n=0$. Encuentra una condici\'{o}n
necesaria y suficiente para que  ${\bbb Z}_n$ no tenga elementos nilpotentes. Calcula los  nilpotentes de ${\bbb Z}_{120}$. \hfill{[$*$]}

\ejj Demuestra que un anillo $R$ no posee elementos nilpotentes si y s\'{o}lo si el \'{u}nico elemento $x\in R$ tal que  $x^2=0$ es $x=0$.


 \ejj Sea $R$ un anillo. Un elemento $x\in R$ que verifica
que $x=x^2$ se dice que es un idempotente. Demuestra que un anillo en donde todo elemento es idempotente es conmutativo.\hfill{[$*$]}

\ejj Sea $R$ un anillo y $e\in R$ un idempotente. Demuestra que $$eRe:=\{exe \ \vert\  x\in R\}=\{x\in R\ \vert \ xe=ex=x\}$$ es un subanillo
unitario de $R$ (que no se te olvide comprobar la igualdad de los conjuntos anteriores). Demuestra que si $eRe=R$, entonces $e=1$.

\ejj Demuestra que en un anillo sin divisores de cero los \'{u}nicos (posibles) idempotentes son $0$ y $1$ (llamados idempotentes triviales). Encuentra
alg\'{u}n idempotente no trivial en ${\cal M}_n({\bbb R})$.

\ejj ?`Cuales son los endomorfismos de ${\bbb Z}$? ?`Cu\'{a}les son los endomorfismos de ${\bbb Z}$, considerado \'{e}ste como grupo abeliano?

\ejj Da un ejemplo de un anillo $R$ no conmutativo tal que ${\cal U}(R)$ sea un grupo abeliano. \hfill{[$*$]}

\ejj Sea $R$ un anillo unitario y $a\in R$ tal que existe $b\in R$ con $ab=1$.  Demuestra que son equivalentes:
\item{-} $a$ no es inversible.
\item{-} existe $b'\in R$ con $b'\ne b$ y $ab'=1$.
\item{-} $a$ es divisor de cero.

Demuestra que en las condiciones anteriores, $R$ contiene un idempotente no trivial (distinto de $0$ y $1$). \hfill{[$*$]}

\ejj Demuestra que en un anillo sin idempotentes no triviales, si $ab=1$ entonces $ba=1$.

\ejj Sea $R$ un anillo con al menos dos elementos. Supongamos que para cada $0\ne x\in R$ existe un {\bf \'{u}nico} $y\in R$ con $x=xyx$. Demuestra que:
$R$ no tiene divisores de cero. Si $xyx=x$, entonces $yxy=y$.  $R$ es unitario.  $R$ es un anillo de divisi\'{o}n.\hfill[$**$]

\ejj Encuentra un anillo $R$ que no sea de divisi\'{o}n y  tal que para cada $x\in R$ exista $y\in R$ con $x=xyx$.\hfill{[$*$]}

 \vfill{\bf  El s\'{\i}mbolo [$*$] significa dificultad moderada y [$**$]  dificultad media. } \eject

\end
