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%%% resultado aparece
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%%% el nombre
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\def\headimpar{\hskip 4truecm{\rm Curso de Introducci\'{o}n al \'{A}lgebra  (2005-2006)
\hfill \folio}}
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\Tema{\primero}{TEMA 1} \vskip 1truecm

\parrafo{Introducci\'{o}n}

En este cap\'{\i}tulo vamos a estudiar nociones b\'{a}sicas de teor\'{\i}a de anillos. Introduciremos las nociones de anillo, subanillo, anillo conmutativo, anillo
unitario, anillo de divisi\'{o}n y cuerpo. Estudiaremos las aplicaciones naturales entre anillos: los  homomorfismo de anillos.  Veremos algunas
propiedades fundamentales de la estructura de anillo e iremos introduciendo, tanto ejemplos: $\bbb Z, Q, R, C$ o ${\bbb Z}_n$ (el anillo de
congruencias m\'{o}dulo $n$), como construcciones de nuevos anillos a partir de otros conocidos: el anillo suma directa, el anillo producto cartesiano,
el anillo de endomorfismos de un grupo abeliano o los anillos de matrices.


\parrafo{Definici\'{o}n b\'{a}sicas.}

\re{\deanillo}{Def}Un {\bf anillo} es una terna $(R,+,.)$ en donde $R$ es un conjunto y ``$+$", ``$.$" son dos operaciones en $R$ tales que:
\item{(1).} $(R,+)$ es un grupo abeliano:
\itemitem{--} Propiedad asociativa: $(a+b)+c=a+(b+c)$ para todo $a,b,c\in R$.
\itemitem{--} Elemento neutro: existe $0\in R$ tal que $a+0=0+a$ para todo $a\in R$
\itemitem{--} Elemento opuesto: para todo $a\in R$ existe $-a\in R$ tal que $a+(-a)=(-a)+a=0$.
\itemitem{--} Propiedad conmutativa: $a+b=b+a$ para todo $a,b\in R$.
\item{(2).} $(R,.)$ verifica la propiedad asociativa: $(a.b).c=a.(b.c)$ para todo $a,b,c\in R$.
\item{(3).} Se verifican las propiedades distributivas: para todos $a,b,c\in R$,
$$(a+b).c=a.c+b.c\qquad c.(a+b)=c.a+c.b$$

\noindent $\star$ Diremos que un {\bf anillo} $(R,+,.)$ es {\bf conmutativo} si ``$.$" es conmutativa.

\noindent $\star$ Diremos que un {\bf anillo} $(R,+,.)$ es {\bf unitario} si ``$.$" es una operaci\'{o}n unitaria y $R$ tiene m\'{a}s de un elemento.

{\bf Nota:} La primera operaci\'{o}n se llamar\'{a} {\bf suma}. El neutro de la suma lo denotaremos por $0$. Al inverso de la suma lo llamaremos {\bf
opuesto}. La segunda operaci\'{o}n se llamar\'{a} {\bf producto} y la denotaremos por yuxtaposici\'{o}n.  Al neutro del producto lo denotaremos, si existe, por
$1$. Al inverso del producto, si existe, se llamara {\bf inverso}.
\endre

\re{\ejemanillo}{Ejemplos} (1). Si consideramos $(G, +)$ un grupo abeliano y definimos un producto en $G$ por: $a.b:=0$ para todo $a,b\in G$,
$(G,+,.)$ tiene estructura de anillo conmutativo.


(2). $\bbb Z, Q, R, C$  con las operaciones usuales (todos son anillos conmutativos y unitarios). ${\cal M}_n({\bbb R})$, el anillo de matrices sobre
los Reales, con las operaciones usuales (anillo unitario, no conmutativo para $n\ge 2$). $2{\bbb Z}$ con las operaciones usuales de $\bbb Z$ (anillo
conmutativo no unitario).

(3). Los anillos realmente no tienen que ser de ``n\'{u}meros": sea $X$ un conjunto no vac\'{\i}o y denotemos por ${\cal P}(X)$ el conjunto de partes de $X$.
Entonces $({\cal P}(X), \triangle, \cap)$ tiene estructura de anillo conmutativo y unitario.

{\bf Nota:}  $\triangle$ denota la diferencia sim\'{e}trica:  dados $A,B\subset X$, $$A\triangle B:=(A-B)\cup (B-A)=(A\cap B^c)\cup (B\cap A^c)$$

(4). Los anillos m\'{o}dulo n: Sea $n$ un n\'{u}mero natural y consideremos ${\bbb Z}_n:=\{0,1,2,\dots, n-1\}$. Observar que ${\bbb Z}_n$ tiene $n$
elementos. Dados $a,b\in {\bbb Z}_n$ definimos:

-- La suma de $a$ y $b$ como el resto de dividir $a+b$ por $n$.

\noindent $\star$ $({\bbb Z}_n,+)$ es el grupo abeliano ya estudiado en el primer cuatrimestre.

-- El producto de  $a$ y $b$ como el resto de dividir $a.b$ por $n$.

Entonces $({\bbb Z}_n, +, \ )$ tiene estructura de anillo conmutativo y unitario.\endre

\re{\propanillo}{Proposici\'{o}n} Sea $(R,+,.)$ un anillo. Entonces:
\item{(1)} $0.a=a.0=0$ para todo $a\in R$.
\item{(2)} $a.(-b)=(-a).b=-(a.b)$ para todo $a,b\in R$.

Si adem\'{a}s $R$ es unitario,
\item{(3)}  la unidad es \'{u}nica.
\item{(4)} Si  $a\in R$ es un elemento inversible, el inverso de $a$ es \'{u}nico (al que denotaremos por $a^{-1}$).
\endre


\re{\deunidad}{Def}A los elementos inversibles de un anillo $R$ se les denomina unidades. El conjunto de las unidades de un anillo $R$ se denota por
${\cal U}(R)$.
\endre

{\bf Nota:} $({\cal U}(R), .)$ tiene estructura de grupo. Es m\'{a}s, si $R$ es conmutativo, ${\cal U}(R)$ es un grupo abeliano.


\re{\decuerpo}{Def} Se dice que un anillo $(R,+,.)$ es un {\bf anillo de divisi\'{o}n} si es unitario  y todo elemento no nulo de $R$ tiene inverso. Si
adem\'{a}s  es conmutativo, se dice que es un {\bf cuerpo}. \endre

{\bf Nota:} $\bbb Q,R,C$ son cuerpos.


 Podr\'{\i}amos  pensar que la propiedad que poseen $\bbb Z,Q,R,$ o $\bbb C$:  si  $a.b=0$, entonces
$a=0$ o $b=0$ es cierta para todo anillo. Veamos un contraejemplo: en ${\bbb Z}_{12}$, $\bar 6.\bar 4=\bar 0$ y ni $\bar 6$ ni $\bar 4$ son nulos.

\re{\dedivcero}{Def} Sea $R$ un anillo. Se dice que un elemento no nulo $a\in R$ es un {\bf divisor de cero por la izquierda} si existe un elemento
no nulo $b\in R$ tal que $a.b=0$. de manera an\'{a}loga se define {\bf divisor de cero por la derecha}. Un anillo conmutativo y unitario sin divisores de
cero por la izquierda y por la derecha se denomina un {\bf dominio de integridad}.

{\bf Nota:} Todo cuerpo es un dominio de integridad. $\bbb Z$ es un dominio de integridad que no es cuerpo.

 \re{\desubanillo}{Def} Sea $(R,+,.)$ un anillo. Se dice que $A\subset R$ es un subanillo de $R$, y se representa $A\le R$, si:
\item{--} La suma de $R$ es una operaci\'{o}n interna en $A$: $a+b\in A$ para todos $a,b\in A$
\item{--} El producto de $R$ es una operaci\'{o}n interna en $A$: $ab\in A$ para todos $a,b\in A$
\item{--} $(A,+,.)$ tiene estructura de anillo.
\endre



 {\bf Nota:} Por tanto, para demostrar que un subconjunto $A$ de un
anillo $R$ es un subanillo tenemos que demostrar $9$ propiedades. No obstante algunas son triviales:

$\star$ Si demostramos que la suma y el producto son operaciones internas, el car\'{a}cter asociativo y conmutativo de la suma, el car\'{a}cter asociativo
del producto y las propiedades distributivas son validas para todo $R$, por tanto son validas para elementos de $A$.

$\star$ hay que comprobar que $0\in A$ y que $A$ contiene todos sus opuestos.

Luego para demostrar que $A$ es un subanillo de un anillo $R$ s\'{o}lo tenemos que demostrar que $(A,+)$ es subgrupo y que el producto es cerrado en $A$.

 \re{\ejemsuba}{Ejemplo} $2{\bbb Z}\le {\bbb Z}\le \bbb Q\le \bbb R\le \bbb C$.\endre

 {\bf Nota:} Un subanillo de un anillo unitario no tiene que ser
unitario. Es m\'{a}s, aunque sea unitario la unidad del anillo y del subanillo no tiene que coincidir. (Por resultados del primer cuatrimestre, el neutro
de la suma si que coincide)

{\bf Nota:} Todo subanillo de un dominio de integridad es un dominio de integridad. En particular, todo subanillo de un cuerpo es un dominio de
integridad.

\parrafo{Homomorfismos de anillos}

 \re{\dehom}{Def} Sean $(R,+,.)$ y
$(R',+',.')$ dos anillos. Se define un {\bf homomorfismo} de $R$ en $R'$ como una aplicaci\'{o}n $f:R\to R'$ tal que:
$$\eqalign{f(a+b)&=f(a)+'f(b)\quad \hbox{para todo $a,b\in R$},\cr f(a.b)&=f(a).'f(b)\quad \hbox{para todo $a,b\in R$}.}$$


\item{--} Si $f$ es  inyectiva, se dice que $f$ es un {\bf monomorfismo}.
\item{--} Si $f$ es  sobreyectiva, se dice que $f$ es un {\bf epimorfismo}.
\item{--} Si $f$ es biyectiva, se dice que $f$ es un {\bf isomorfismo}. En este caso se dice que los anillos $R$ y $R'$ son {\bf isomorfos}.
\item{--} Si $R=R'$, se dice que $f$ es un {\bf endomorfismo}.
\item{--} Un endomorfismo biyectivo se le denomina un {\bf automorfismo}.

\item{--} Si $R$ y $R'$ son dos anillos unitarios, diremos que $f:R\to R'$ es un {\bf homomorfismos de anillos unitarios} si $f(1_R)=1_{R'}$.\endre



 \re{\deimker}{Proposici\'{o}n} Sean $R$ y $R'$ dos anillos, $S$ un subanillo de $R$, $S'$ un subanillo de $R'$ y $f:R \to R'$ un homomorfismo
 de anillos. Entonces
 \item{(i)} $f(S)$ es un subanillo de $R'$.
 \item{(ii)}  $f^{-1}(S'):=\{r\in R\vert \ f(r)=\in S'\}$ es un subanillo de $R$.

En particular:  $\Ker(f):=f^{-1}(0)$, llamado el {\bf  n\'{u}cleo o Ker} de $f$,  es un subanillo de $R$ e $\Im(f):=f(R)$, llamada la {\bf imagen} de
$f$, es un subanillo de $R'$ (cuando lleguemos a la estructura cociente en anillo veremos que $\Ker(f)$ tiene propiedades muy interesantes).

Es m\'{a}s:

\item{--} $f$ es un monomorfismo si y s\'{o}lo si $\Ker(f)=0$.

\item{--} $f$ es un epimorfismo si y s\'{o}lo si $\Im(f)=R'$.\endre


{\bf Nota:} Si $R$ y $R'$ son dos anillos y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos,  $f(0)=0$ y $f(-a)=-f(a)$. ?`Ser\'{a}
cierto que $f(1)=1'$? ?`Que ocurre entonces con los elementos inversibles de $R$?

 \re{\prohom}{Proposici\'{o}n} Sean $R$ y
$R'$ dos anillos y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Entonces:

\item{(i)} Si $R$ es un anillo unitario, $\Im(f)$ es un anillo unitario con unidad $f(1)$.

\item{(ii)} Si $a$ es un elemento inversible de $R$, $f(a)$ es un elemento inversible de $\Im(f)$.

\item{(iii)} Si $f$ es sobreyectiva, entonces  $f(1)=1'$ y $f(a)$ es inversible para todo elemento inversible $a\in R$.

\item{(iv)} Si $R$ y $R'$ son unitarios y $f(1)=1'$, $f(a)$ es inversible para todo elemento inversible $a\in R$.\endre






{\bf Nota:} Cada estructura que demos en algebra tendr\'{a} su homomorfismo asociado. Por ejemplo:  si $R$ es un subanillo de $R'$,  la inclusi\'{o}n de $R$
en $R'$  es un monomorfismo de anillos. Es m\'{a}s: si $f: R\to R'$ es un monomorfismo de anillos, entonces $R$ es isomorfo a $\Im(f)\le R'$, por lo que
se puede considerar que $R$ es un subanillo de $R'$.


\re{\ejemanilloII}{Ejemplo}  La aplicaci\'{o}n nula y la identidad siempre son homomorfismos de anillos. Sea $R$ un anillo y $a\in R$ una unidad.
Entonces $f_a:R\to R$ definido por $f_a(x)=a^{-1}xa$ es un automorfismo de $R$.
\endre





 En la siguiente proposici\'{o}n vamos a demostrar que
todo anillo se puede ``sumergir" en un anillo unitario:

 \re{\unit}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo. Entonces ${\bbb Z}\times R$ con suma  y producto:
 $$\eqalign{(\lambda,r)+(\mu,r'):&=(\lambda+\mu, r+r')\cr (\lambda,r).(\mu,r'):&=(\lambda\mu, \lambda r'+\mu r+ r.r') }$$
 Tiene estructura de anillo unitario. Es m\'{a}s, la aplicaci\'{o}n $\psi:R\to {\bbb Z}\times R$ dada por $\psi(r)=(1,r)$ es un monomorfismo de anillos.\endre

\re{\deunit}{Def} Sea $R$ un anillo. Se define la unitizaci\'{o}n de $R$, y se representa por $R^1$ como $R$, si \'{e}ste ya es un anillo unitario o ${\bbb
Z}\times R$ caso de que $R$ no sea unitario.\endre

{\bf Nota:} El conjunto de los homomorfismos entre dos anillos $R$ y $R'$ no tiene muy buenas propiedades, ya que ni la suma natural de aplicaciones
es un homomorfismo: si consideramos la identidad en $\bbb Z$, el anillo de los enteros, se tiene que $Id+Id$ no es un homomorfismo. ?`Cuales son los
endomorfismos de $\bbb Z$?

 \re{\dehom}{} No obstante, dados dos grupos $G$ y $G'$ definimos $\Hom(G,G')$ como el conjunto de todos los homomorfismos de $G$ en $G'$. Se tiene entonces
 que $\Hom(G,G')$ es un grupo con la suma usual: dados $f,g\in \Hom(G,G')$, $$f+g:G\to G'\quad\hbox{definida por}\quad  f+g(a)=f(a)+g(a).$$ Es mas, si $G'$ es conmutativo, $\Hom(G,G')$
 es un grupo abeliano y, si denotamos por $\End(G)$ al conjunto de todos los endomorfismos de un grupo abeliano $G$, $\End(G)$ con la
 suma usual  y la composici\'{o}n de aplicaciones, $(\End(G), +,\circ)$ es un anillo unitario.


\re{\proimp}{Teorema} Todo anillo es isomorfo a un subanillo de un anillo de endomorfismos de un cierto grupo abeliano. \endre

\Proof Consideremos $R^1$ con su estructura de grupo abeliano. Veamos que la aplicaci\'{o}n $$\matrix{\Phi:& R&\to &\End(R^1)\cr  &r&\mapsto& \Phi_r}
\quad\hbox{ definido por}\quad  \Phi_r (r')=rr'$$ es un monomorfismos de anillos: dados $r_1$ y $r_2$ elementos de $R$,

-- $\Phi_{r_1+r_2}(r')=(r_1+r_2)r'=r_1r'+r_2r'=\Phi_{r_1}(r')+\Phi_{r_2}(r')$

-- $\Phi_{r_1}\Phi_{r_2}(r')=r_1(r_2 r')=(r_1r_2)r'=\Phi_{r_1r_2}(r')$

Lo que demuestra que es un homomorfismo de anillos.  Por \'{u}ltimo, si $\Phi_r=0$, $0=\Phi_r(1)=r$, lo que demuestra que es inyectiva.\endproof

{\bf Nota:} Este teorema nos dice como son todos los anillos. Al igual que el teorema de Cayley este resultado es poco \'{u}til.

\re{\prohom}{Proposici\'{o}n} Sean $(R,+,.)$ y $(R',+',.')$ dos anillos y $f:R\to R'$ un isomorfismo de anillos. Entonces $f^{-1}:R'\to R$ tambi\'{e}n es un
isomorfismo de anillos.\endre

{\bf Nota:} La aplicaci\'{o}n inversa de un automorfismo $f:R\to R$ es precisamente el inverso de $f$ en $\End(R)$ (considerado $R$ \'{u}nicamente como grupo
abeliano).

\parrafo{La caracter\'{\i}stica de un anillo}

\re{\decarac}{Def} Sea $R$ un anillo. Si existe  el menor natural $n\in {\bbb N}$ tal que $a+\cdots^n+a=0$ para todo $a\in R$ se dice que la
caracter\'{\i}stica de $R$ es $n$. En caso contrario  se dice que la caracter\'{\i}stica de $R$ es cero. \endre

\re{\ejemcarac} {Ejemplo} Para cada $n\in \bbb N$, la caracter\'{\i}stica de ${\bbb Z}_n$ es $n$. La caracter\'{\i}stica de $\bbb Z$ es cero.\endre

\re{\procaracI}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo unitario. Entonces la caracter\'{\i}stica de $R$ o es cero o el  menor natural tal que $1+{\buildrel n\over
\cdots}+1=0$ (o excluyente).\endre

{\bf Nota:} La caracter\'{\i}stica de un anillo y de su unitizaci\'{o}n no tienen que coincidir. Es m\'{a}s, si $R$ no es unitario la caracter\'{\i}stica de $R^1$ es
cero.
\endre

{\bf Nota:} ?`Se te ocurre una nueva construcci\'{o}n para ``sumergir" un anillo no unitario en un anillo unitario manteniendo la caracter\'{\i}stica?


\re{\procarac}{Proposici\'{o}n} La caracter\'{\i}stica de un dominio de integridad es cero o un n\'{u}mero primo. \endre



\parrafo{El producto directo de anillos.}

\re{\deprodirect}{proposici\'{o}n} Sea $I$ un conjunto de indices y $R_i$, $i\in I$ una familia de anillos. Entonces $\Pi_{i\in I} R_i$ con su estructura
habitual de grupo abeliano:
$$\Pi_{i\in I} R_i:=\{(r_i)_{i\in I}\quad \hbox{con}\quad r_i\in R_i,\ \ i\in I\}$$
$\star$ Con suma: $(r_i)_{i\in I}+(r'_i)_{i\in I}=(r_i+r'_i)_{i\in I}$

\noindent$\star$ y producto dado  por componentes, $(r_i)_{i\in I}.(r'_i)_{i\in I}=(r_i.r'_i)_{i\in I}$

\noindent  tiene estructura de anillo, llamado el {\bf producto directo} de los $R_i$.\endre

\re{\defproy}{Def:} Sean $R_i,\ {i\in I}$ una familia de anillos y sea $R=\Pi_{i\in I} R_i$ el producto directo de los $R_i$. Se define la {\bf
proyecci\'{o}n ``can\'{o}nica"} de $R$ en $R_k$, con $k\in I$, como: $$\matrix{\pi_k: &R&\to &R_k\cr &(r_i)_{i\in I}&\mapsto &r_k.}$$ Es f\'{a}cil ver que para
cada $k\in I$, $\pi_k$ es un epimorfismo de anillos.

\re{\propfund}{Propiedad fundamental del producto directo de anillos.} Sean $R_i,\ {i\in I}$ una familia de anillos y sea $R=\Pi_{i\in I} R_i$ el
producto directo de los  $R_i$. Entonces para cada anillo $R'$ y cada familia de homomorfismos de anillos $f_i:R'\to R_i$ existe un \'{u}nico
homomorfismo de anillos  $f:R'\to R$ tal que para cada $k\in I$ el siguiente diagrama es conmutativo:

\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProdFundProd.png}}

Es m\'{a}s, Si $\hat R$ es un anillo y $\rho_i:\hat R\to R_i$ son una familia de epimorfismos de anillos tales que para cada anillo $R'$ y cada familia
de homomorfismos de anillos $f_i:R'\to R_i$ existe un \'{u}nico homomorfismo de anillos $f:R'\to \hat R$ tal que para cada $k\in I$ el diagrama anterior
es conmutativo, entonces $\hat R$ es isomorfo a $\Pi_{i\in I} R_i$.

{\bf Demo:} Vamos a suponer en principio que existe este homomorfismo de anillos y demostremos que entonces s\'{o}lo se puede definir de una manera, por
lo que demostraremos que, caso de existir, es \'{u}nico. Luego veremos que esta soluci\'{o}n verifica lo que queremos.

1-. Supongamos que existe $f: R'\to \Pi_{i\in I} R_i$ tales que $\pi_k \circ f=f_k$ tenemos entonces que dado $r'\in R'$, $f_k(r')=\pi_k(f(r'))$, por
lo que la coordenada k-esima de $f(r')$ es $f_k(r')$. As\'{\i}, $f(r')=(f_i(r'))_{i\in I}$.

2-. Comprobemos entonces que la aplicaci\'{o}n $f:R'\to \Pi_{i\in I} R_i$ definido por $f(r')=(f_i(r'))_{i\in I}$ es un homomorfismo de anillos que
verifica el enunciado:

$\star$ ?`Es homomorfismo de grupos? $$ \eqalign{f( r'_1+r'_2)&=(f_i( r'_1+r'_2))_{i\in I}=( f_i(r'_1)+f_i(r'_2))_{i\in I}=( f_i(r'_1))_{i\in I}+(
f_i(r'_2))_{i\in I}\cr &=f( r'_1)+f( r'_2)}$$

$\star$ ?`Es homomorfismo de anillos? $$\eqalign{ f( r'_1.r'_2)&=(f_i( r'_1.r'_2))_{i\in I}=( f_i(r'_1).f_i(r'_2))_{i\in I}=( f_i(r'_1))_{i\in I}.(
f_i(r'_2))_{i\in I}\cr &=f( r'_1)f(r'_2)}$$


$\star$ ?`Hace conmutativo los diagramas?  Pues claro $$\pi_k\circ f(r')=\pi_k((f_i(r'))_{i\in I}))=f_k(r').$$

Veamos ahora que todo anillo con estas propiedades es isomorfo al producto cartesiano de los $\{R_i\}_{i\in I}$. Sea $\hat R$  un anillo y $g_i:\hat
R\to R_i$  una familia de epimorfismos de anillos tales que para cada anillo $R'$ y cada familia de homomorfismos de anillos $f_i:R'\to R_i$ existe
un \'{u}nico homomorfismo de anillos $f:R'\to \hat R$ tal que para cada $k\in I$ el diagrama

\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProdFundProd1.png}}

 es conmutativo.

Si consideramos ahora $R'=\Pi_{i\in I} R_i$ y $f_i=\Pi_i$ las proyecciones can\'{o}nicas tenemos, aplicando varias veces esta propiedad fundamental, que:

\centerline{\epsfxsize=8cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProdFundProd2.png}}

En donde $f\circ g=Id _{\hat R}$ y $g\circ f=Id_{\Pi R_i}$ lo que demuestra que tanto $f$ como $g$ son isomorfismos, y por tanto $\hat R$ y
$\Pi_{i\in I} R_{i}$ son anillos isomorfos.



\parrafo{La suma directa de anillos.}

\re{\desumdirect}{proposici\'{o}n} Sea $I$ un conjunto de indices y $R_i$, $i\in I$ una familia de anillos. Entonces $\bigoplus_{i\in I} R_i$, con su
estructura habitual de grupo abeliano:
$$\bigoplus_{i\in I} R_i=\{(r_i)_{i\in I}\in \Pi_{i\in I} R_i\ \vert \ r_i=0 \quad \hbox{para casi todo $i$}\}$$

\noindent $\star$ Con suma: $(r_i)_{i\in I}+(r'_i)_{i\in I}=(r_i+r'_i)_{i\in I}$

\noindent $\star$ y producto dado  por componentes, $(r_i)_{i\in I}.(r'_i)_{i\in I}=(r_i.r'_i)_{i\in I}$

\noindent  tiene estructura de anillo, llamado la {\bf suma directa externa} de los $R_i$.\endre


{\bf Demo:} Es claro que si sumo o multiplico dos elementos del producto con un n\'{u}mero finito de coordenadas no nulas, obtengo un elemento con un
n\'{u}mero finito de coordenadas no nulas, ver [\propanillo, (2)] para el producto. Es decir, $\bigoplus_{i\in I} R_i$ es un subanillo  del producto
directo de anillos (ya que sabemos que es un subgrupo).

{\bf Nota:} Si $\# I<\infty$ se tiene que la suma directa   y el producto directo son isomorfos.


\re{\propfund}{Def:} Sean $\{R_i\}_{i\in I}$ una familia de anillos y sea  $\bigoplus _{i\in I} R_i$ la suma directa de \'{e}stos. Entonces para cada
$k\in I$ se define la {\bf inclusi\'{o}n can\'{o}nica} de $R_k$ en $\bigoplus _{i\in I} R_i$ y se representa por
$$\rho_k: R_k\to \bigoplus _{i\in I} R_i$$ como $\rho_k(r_k)=(x_i)_{i\in I}$ en donde $x_i=0$ si $i\ne k$ y $x_k=r_k$. Es decir, el vector de $\Pi _{i\in
I} R_i$ que tiene todas las coordenadas cero, salvo la $k$ que vale $r_k$. Es claro que $\rho_k$ es un monomorfismo de anillos.




\re{\propfund}{Propiedad fundamental de la suma directa  de anillos.} Sean $\{R_i\}_{i\in I}$ una familia de anillos y sea $\bigoplus _{i\in I} R_i$
la suma directa de \'{e}stos. Entonces para cada anillo $R'$ y cada familia de homomorfismos de anillos $\{f_i\}_{i\in I}$ tales que  $f_i: R_i\to R'$
verificando
 $f_s(x_s).f_r(x_r)=0$ para todos $ x_r\in R_r, x_s\in R_s$ con $r,s$ dos elementos distintos de $I$, existe un \'{u}nico homomorfismo de anillos
$f:\bigoplus _{i\in I} R_i\to R'$ tal que para cada $k\in I$ el siguiente diagrama es conmutativo:

  \centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProdFundSum.png}}

Es m\'{a}s, Si $\hat R$ es un anillo y $g_i: R_i\to \hat R$ son una familia de monomorfismos de anillos tales que para cada anillo $R'$ y cada familia de
homomorfismos de anillos $f_i: R_i\to R'$ tales que  $f_i: R_i\to R'$ verificando
 $f_s(x_s).f_r(x_r)=0$ para todos $ x_r\in R_r, x_s\in R_s$ con $r,s$ dos elementos distintos de $I$, existe un \'{u}nico homomorfismo de anillos $f:\hat R\to R'$ tal que para cada $k\in I$ el diagrama anterior es
conmutativo, entonces $\hat R$ es isomorfo a $\bigoplus_{i\in I} R_i$.

{\bf Demo:} Vamos a suponer en principio que existe este homomorfismo de anillos y demostremos que entonces s\'{o}lo se puede definir de una manera, por
lo que demostraremos que, caso de existir, es \'{u}nico. Luego veremos que \'{e}ste verifica lo que queremos.

1-. Supongamos que existe $f: \bigoplus_{i\in I} R_i\to R'$ tal que $f\circ \rho_k =f_k$ tenemos entonces que dado $r_k\in R_k$,
$f_k(r_k)=f(\rho_k(r_k))$, por lo que  $f((r_i)_{i\in I})=f(\sum_{i\in I}(\rho_i(r_i)))=\sum_{i\in I}f_i(r_i)$. Observar que, aunque no lo parezca,
por definici\'{o}n de suma directa est\'{a} es una suma finita (en grupos  no podemos sumar un n\'{u}mero infinito de elementos).

2-. Comprobemos entonces que la aplicaci\'{o}n $f:\bigoplus_{i\in I} R_i\to R'$ definido por $f((r_i)_{i\in I})=\sum_{i\in I}f_i(r_i)$ es un homomorfismo
de anillos que verifica el enunciado:

$\star$ ?`Es homomorfismo de grupos? $$\eqalign{f( (r_i)_{i\in I}+(r'_i)_{i\in I})&=f( ( r_i +r'_i)_{i\in I})=\sum _{i\in I} f_i( r_i+r'_i)\cr&=
\sum_{i\in I} f_i(r_i)+\sum_{i\in I} f_i(r'_i)= f((r_i)_{i\in I})+f((r'_i)_{i\in I})}$$

$\star$ ?`va bien con el producto? $$\eqalign{f( (r_i)_{i\in I}.(r'_i)_{i\in I})&=f( ( r_i .r'_i)_{i\in I})=\sum _{i\in I} f_i( r_i.r'_i)=\sum _{i\in
I} f_i( r_i).f_i(r'_i)\cr&{\buildrel (*)\over =} \sum_{i\in I} f_i(r_i).\sum_{i\in I} f_i(r'_i)= f((r_i)_{i\in I}).f((r'_i)_{i\in I})}$$


 {\bf Nota:} Observar que la igualdad $(*)$ es cierta ya que $f_i(r_i).f_j(r_j)=0$ para todo $i,j\in I$ con $i\ne j$.

$\star$ ?`Hace conmutativo los diagramas?  Pues claro $$f\circ \rho_k(r_k)=f_k(r_k).$$

Veamos ahora que todo anillo con estas propiedades es isomorfo al producto cartesiano de los $\{R_i\}_{i\in I}$. Sea $\hat R$  un anillo y
$g_i:R_i\to \hat R$ una familia de monomorfismos de anillos tales que para cada anillo $R'$ y cada familia de homomorfismos de anillos $f_i:R_i\to
R'$ existe un \'{u}nico homomorfismo de anillos  $f: \hat R\to R'$ tal que para cada $k\in I$ el siguiente  diagrama es conmutativo:

\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{ProdFundProd1.png}}



Si consideramos ahora $R'=\bigoplus_{i\in I} R_i$ y $f_i=\rho_i$ las inclusiones can\'{o}nicas te\-ne\-mos, aplicando varias veces esta propiedad
fundamental:



\centerline{\epsfxsize=8cm \epsfysize=4cm \epsfbox{ProdFundSum2.png}}

En donde $g\circ f=Id _{\hat R}$ y $f\circ g=Id_{\bigoplus R_i}$ lo que demuestra que tanto $f$ como $g$ son isomorfismos, y por tanto $\hat R$ y
$\bigoplus_{i\in I} R_{i}$ son anillos isomorfos.





\parrafo{El anillo de matrices}

\re{\dematrices}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo y $n\in {\bbb N}$. Entonces ${\cal M}_n(R)$ con su suma y producto habitual tiene estructura de
anillo. Es m\'{a}s,

\item{--} ${\cal M}_n(R)$ es conmutativo si y s\'{o}lo si $R$ es conmutativo y $n=1$.
\item{--} ${\cal M}_n(R)$ es un anillo de divisi\'{o}n si y s\'{o}lo si $R$ es un anillo de divisi\'{o}n  y $n=1$.
\item{--} ${\cal M}_n(R)$ es un cuerpo si y s\'{o}lo si $R$ es un cuerpo  y $n=1$.
\endre

\parrafo{El anillo de polinomios y el anillo de series formales}

\re{\deserie} {Def} Sea $R$ un anillo. Se define el anillo de series formales sobre $R$ y se representa por $R[[X]]$ como:
$$R[X]:=\{f:{\bbb N}\to R\}\quad \hbox{supondremos en este caso que } 0\in {\bbb N}$$
con suma y producto dado por:
$$\eqalign{(f+g)(k):&=f(k)+g(k)\cr (f.g)(k):&=\sum_{i=0}^k f(i)g(k-i)}$$


$$R[X]:=\{f:{\bbb N}\to R\ \vert\ f(i)=0\hbox{ casi para todo } i\}$$


\parrafo{Hechos destacables:}

\item{$\star$} Se han dado los anillos $\bbb Z, Q, R, C$, el anillo de congruencias m\'{o}dulo $n$ (para $n$ cualquier natural) y como ejemplo m\'{a}s abstracto
$({\cal P}(X), \triangle, \cap)$ para cualquier conjunto $X$.

\item{$\star$} Tenemos los subanillos de cualquier anillo dado.

\item{$\star$} Dado cualquier grupo abeliano $G$ tenemos el anillo $\End(G)$.

\item{$\star$} Podemos construir el producto directo, as\'{\i} como la suma directa de una familia arbitraria de anillos.

\item{$\star$} Podemos construir el anillo de matrices de un anillo dado.

\vskip 2truecm

\centerline{\bf Bibliograf\'{\i}a.}

\vskip 1truecm

$\star$ {\bf J. B. Fraleigh}, ``A First Course in Abstract Algebra". Addison-Wesley Publishing Company (1982).

$\star$ {\bf W. Keith Nicholson}, ``Introduction to Abstract Algebra". J. Wesley \& Sons Publishing Company (1999).




\end
