Relación 2 Tema 1 (de (1.4) a (1.9)) y Tema 2

1-. Sea R un anillo de característica n. Demuestra que R puede verse como subanillo de un anillo unitario de característica n. [∗]

2-. Sean R y R′ dos anillos y f : R → R′ un homomorfismo de anillos. Entonces:

(i) Si R es un anillo unitario, Im(f) es un anillo unitario con unidad f(1). (ii) Si a es un elemento inversible de R, f(a) es un elemento inversible de Im(f). (iii) Si f es sobreyectiva, entonces f(1) = 1′ y f(a) es inversible para todo elemento

inversible a ∈ R. (iv) Si R y R′ son unitarios y f(1) = 1′, f(a) es inversible para todo elemento

inversible a ∈ R. 3-. Sean R y R′ dos anillos y f : R → R′ un homomorfismo de anillos.

Demuestra que si R es un anillo de división, f es inyectiva o es la aplicación nula.

4-. Sea R un anillo sin divisores de cero y sean a, b ∈ R tales que ab = a. Demuestra que R es unitario con b el elemento unidad (si te sirve de ayuda, demuestra en primer lugar que b^{2} = b). [∗]

5-. Demuestra que si un anillo R sin divisores de cero posee un subanillo S unitario, entonces R es unitario.

6-. Sean R y R′ dos anillos con R unitario y R′ sin divisores de cero. Sea f : R → R′ un homomorfismo de anillos. Demuestra que R′ es unitario o f es la aplicación nula.

7-. Sea R un anillo finito sin divisores de cero. [∗]

(i) Demuestra que R es unitario. (ii) Demuestra que R es un anillo de división.

8-. Sean R y S dos anillos de características r y s respectivamente. Calcula la característica de R ⊕ S.

9-. Demuestra que la característica de un anillo de división es un número primo (¿que has demostrado?). ¿Puedes encontrar un anillo de característica prima que no sea dominio de integridad?

10-. Sea R un anillo conmutativo de característica n. Demuestra que la aplicación Φ : R → R definida por Φ(x) = x^{n} es un homomorfismo de anillos. Es más, Φ es inyectiva si y sólo si R no tiene elementos nilpotentes.

11-. Calcula el anillo de endomorfismos de ℤ × ℤ con su estructura de grupo abeliano. Demuestra que es un anillo unitario, no conmutativo. [∗]

12-. Demuestra que 1 + X es inversible en el anillo de series formales ℝ[[X]]. 13-. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas razonando la

respuesta: [∗]

(i) Todo anillo tiene elemento neutro para el producto. (ii) En un anillo conmutativo de característica n, (x + y)^{n} = x^{n} + y^{x} (iii) Todo anillo finito es unitario. iv) Un anillo R en donde los únicos subanillos son {0} y R es de división.

(v) Los endomorfismos de un anillo R con la suma y productos usuales de las aplicaciones son un anillo que tienen la misma característica que R.

(vi) Si R y S son dos anillos de división, R ⊕ S es un anillo de división. (vii) Si R y S no tienen elementos nilpotentes, R⊕S no tiene elementos nilpotentes.

14-. Todo anillo R puede verse como subanillo de M_{n}(R), el anillo de matrices de tamaño n ∈ ℕ sobre R. Si R es un anillo finito, R no es isomorfo a M_{n}(R) para n > 1.

15-. Demuestra que en un anillo finito R, los elementos, o son inversibles, o son divisores de cero. ¿Sabrías encontrar un anillo infinito en donde esto no ocurra? ¿y en donde esto ocurra?

16-. Sea n ∈ ℕ y denotemos por φ : ℕ → ℕ a la función de euler. Supongamos que n factoriza como p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}} ⋯ p_{k}^{n_{k}}. Demuestra que [∗]

φ(n) = n(1 − \frac{1}{p_{1}} )(1 − \frac{1}{p_{2}} ) ⋯ (1 − \frac{1}{p_{k}})

(i) Demuestra que si n, m son primos relativos, entonces φ(nm) = φ(n)φ(m) Ayuda: por el primer cuatrimestre, ℤ_{nm} ≅ ℤ_{n} × ℤ_{m}, luego sólo hace falta contar generadores. (ii) Demuestra que si p es un número primo, ϕ(p^{n}) = p^{n} − p^{n−1} = p^{n}(1 − \frac{1}{p}).

17-. Si n, m ∈ ℤ son primos relativos, los grupos abelianos ℤ_{nm} y ℤ_{n} × ℤ_{m} son isomorfos. ¿Son isomorfos también como anillos?

El símbolo [∗] significa dificultad moderada y [∗∗] dificultad media.