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{\bf{Relaci\'{o}n 2 \hfill Tema 1 (de  (1.4) a (1.9)) y Tema 2}}\vskip 0.5truecm


\ejj Sea $R$ un anillo de caracter\'{\i}stica $n$. Demuestra que $R$ puede verse como subanillo de un anillo unitario de caracter\'{\i}stica $n$.\hfill $[*]$

\ejj  Sean $R$ y $R'$ dos anillos y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Entonces:

\item{(i)} Si $R$ es un anillo unitario, $\Im(f)$ es un anillo unitario con unidad $f(1)$.

\item{(ii)} Si $a$ es un elemento inversible de $R$, $f(a)$ es un elemento inversible de $\Im(f)$.

\item{(iii)} Si $f$ es sobreyectiva, entonces  $f(1)=1'$ y $f(a)$ es inversible para todo elemento inversible $a\in R$.

\item{(iv)} Si $R$ y $R'$ son unitarios y $f(1)=1'$, $f(a)$ es inversible para todo elemento inversible $a\in R$.

\ejj Sean $R$ y $R'$ dos anillos y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Demuestra que si $R$ es un anillo de
divisi\'{o}n, $f$ es inyectiva o es la aplicaci\'{o}n nula.


 \ejj Sea $R$ un anillo sin divisores de cero y sean $a,b\in R$ tales que $ab=a$. Demuestra que $R$ es unitario con
$b$ el elemento unidad (si te sirve de ayuda,  demuestra en primer lugar que $b^2=b$). \hfill $[*]$


\ejj Demuestra que si un anillo $R$ sin divisores de cero posee un subanillo $S$ unitario, entonces $R$ es unitario.

\ejj Sean $R$ y $R'$ dos anillos con $R$ unitario y $R'$ sin divisores de cero. Sea $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Demuestra que
$R'$ es unitario o $f$  es la aplicaci\'{o}n nula.



 \ejj Sea $R$ un anillo finito sin divisores de cero. \hfill $[*]$

\item{(i)} Demuestra que $R$ es unitario.\item{(ii)} Demuestra que $R$ es un anillo
de divisi\'{o}n.

\ejj Sean $R$ y $S$ dos anillos de caracter\'{\i}sticas $r$ y $s$ respectivamente. Calcula la caracter\'{\i}stica de $R\oplus S$.

\ejj Demuestra que la caracter\'{\i}stica de un anillo de divisi\'{o}n es un n\'{u}mero primo (?`que has demostrado?). ?`Puedes encontrar un anillo de
caracter\'{\i}stica prima que no sea dominio de integridad?

\ejj Sea $R$ un anillo conmutativo  de caracter\'{\i}stica $n$.  Demuestra que la aplicaci\'{o}n $\Phi:R\to R$ definida por $\Phi(x)=x^n$ es un
homomorfismo de anillos. Es m\'{a}s, $\Phi$  es inyectiva si y s\'{o}lo si $R$ no tiene elementos nilpotentes.

\ejj Calcula el anillo de endomorfismos de ${\bbb Z}\times{\bbb Z}$ con su estructura de grupo abeliano. Demuestra que es un anillo unitario, no
conmutativo. \hfill $[*]$

\ejj Demuestra que $1+X$ es inversible en el anillo de series formales ${\bbb R}[[X]]$.

\ejj Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas razonando la respuesta: \hfill $[*]$
\item{(i)} Todo anillo tiene elemento neutro para el producto.
\item{(ii)} En un anillo conmutativo de caracter\'{\i}stica $n$, $(x+y)^n=x^n+y^x$
\item{(iii)} Todo anillo finito es unitario.
\item{iv)} Un anillo $R$ en donde los \'{u}nicos subanillos son $\{0\}$ y $R$ es de divisi\'{o}n.
\item{(v)} Los endomorfismos de un anillo $R$ con la suma y productos usuales de las aplicaciones son un anillo que tienen la misma caracter\'{\i}stica
que $R$.
\item{(vi)} Si $R$ y $S$ son dos anillos de divisi\'{o}n, $R\oplus S$ es un anillo de divisi\'{o}n.
\item{(vii)} Si $R$ y $S$ no tienen elementos nilpotentes, $R\oplus S$ no tiene elementos nilpotentes.

\ejj Todo anillo $R$ puede verse como subanillo de ${\cal M}_n(R)$, el anillo de matrices de tama\~{n}o $n\in {\bbb N}$ sobre $R$. Si $R$ es un anillo
finito, $R$ no es isomorfo a ${\cal M}_n(R)$ para  $n>1$.

\ejj Demuestra que en un anillo finito $R$, los elementos, o son inversibles, o son divisores de cero. ?`Sabr\'{\i}as encontrar un anillo
infinito en donde esto no ocurra? ?`y en donde esto ocurra?


\ejj Sea $n\in {\bbb N}$ y denotemos por $\varphi:{\bbb N}\to {\bbb N}$ a la funci\'{o}n de euler. Supongamos que $n$
factoriza como $p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}$. Demuestra que\hfill[$*$] $$\varphi(n)=n(1-{1\over p_1})(1-{1\over
p_2})\cdots(1-{1\over p_k})$$
\item{(i)} Demuestra que si $n,m$ son primos relativos, entonces $\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)$

\noindent {\bf Ayuda:}  por el primer cuatrimestre, ${\bbb Z}_{nm}\cong {\bbb Z}_n\times {\bbb Z}_m$, luego s\'{o}lo hace
falta contar generadores.

\item{(ii)} Demuestra que si $p$ es un n\'{u}mero primo, $\phi(p^n)=p^n-p^{n-1}=p^n(1-{1\over p})$.


 \ejj Si $n,m\in {\bbb Z}$ son primos relativos, los grupos abelianos ${\bbb Z}_{nm}$ y ${\bbb Z}_n\times {\bbb Z}_m$ son isomorfos.
 ?`Son isomorfos tambi\'{e}n como anillos?

 \vfill {\bf  El s\'{\i}mbolo [$*$] significa dificultad moderada y [$**$]  dificultad media. }\eject


\end
