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%%% Cuando a consinnombre se le da la valor 1, entonces el nombre del
%%% resultado aparece
%%% al lado del mismo, si se le da otro valor numerico, commo 0, entonces
%%% el nombre
%%% desparece

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\vfill\eject \centerline{{ \ver #2}.}}


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\uppercase{#1}}\par\nobreak\vskip 3 pt  plus 3 pt\nobreak}



%%%%%%%%%%%%%% FUENTES %%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\headimpar{\hskip 4truecm{\rm Curso de Introducci\'{o}n al \'{A}lgebra  (2005-2006)
\hfill \folio}}
\def\headpar{\folio \hskip 7truecm{\rm  Tema \number\Temacount }\hfill}
\headline={\ifnum\pageno=1{\hfil {\rm\folio}}\else \ifodd\pageno\headimpar\else\headpar\fi\fi}
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%\folio}\hfil\else\hfil\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\Tema{\primero}{TEMA 2} \vskip 1truecm

\parrafo{Introducci\'{o}n}
En este tema vamos a estudiar m\'{a}s en profundidad los anillos de integridad: recordamos que dado un anillo $R$, un elemento no nulo $a\in R$ se dice
que es  un {\bf divisor de cero por la izquierda} si existe un elemento no nulo $b\in R$ tal que $a.b=0$. De manera an\'{a}loga se define {\bf divisor de
cero por la derecha}. Un {\bf dominio de integridad} es un anillo conmutativo y unitario sin divisores de cero.

Como primer resultado obtendremos que los dominios de integridad son precisamente los anillo $R$ en los que las ecuaciones $aX+b=0$ y $Xa+b=0$, con
$a,b\in R$, caso de tener soluci\'{o}n, est\'{a} es \'{u}nica (esto no es m\'{a}s que otra forma de expresar las leyes de cancelaci\'{o}n).

Observamos que los anillos de divisi\'{o}n son precisamente los anillos en los que  estas ecuaciones tienen soluci\'{o}n \'{u}nica.

Como \'{u}ltimo resultado de la secci\'{o}n demostraremos  que todo dominio de integridad finito es cuerpo. Para finalizar el tema, demostraremos el Teorema
(peque\~{n}o) de Fermat y una genera\-lizaci\'{o}n de este, el teorema de Euler.

Nos har\'{a}n falta los siguientes resultados (todos ellos visto en el primer cuatrimestre):

\item{$\star$} Toda aplicaci\'{o}n inyectiva de un conjunto finito en si mismo es biyectiva.
\item{$\star$} Algoritmo de la divisi\'{o}n.
\item{$\star$} Nociones de divisibilidad. Los n\'{u}meros primos.
\item{$\star$} Factorizaci\'{o}n de n\'{u}meros enteros.
\item{$\star$} El m\'{a}ximo com\'{u}n divisor. El teorema de Bezout.
\item{$\star$} El m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo.


\parrafo{Primeras propiedades}



\re{\leycanc}{Def} Diremos que un anillo $R$ verifica la ley de cancelaci\'{o}n por la izquierda si dados $a,b,c\in R$ con $c\ne 0$, $ca=cb$ entonces
$a=b$.  Diremos que un anillo $R$ verifica la ley de cancelaci\'{o}n por la derecha si dados $a,b,c\in R$ con $c\ne 0$, $ac=bc$ entonces $a=b$.
\endre


\re{\teocanc}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\item{(i)}  $R$ verifica la ley de cancelaci\'{o}n por la izquierda.
\item{(ii)}  $R$ no tiene divisores de cero por la derecha.
\item{(iii)}  $R$ no tiene divisores de cero por la izquierda.
\item{(iv)}  $R$ verifica la ley de cancelaci\'{o}n por la derecha.\endre

{\bf Nota:} A partir de ahora hablaremos de anillos que verifican la ley de cancelaci\'{o}n y anillos sin divisores de cero.

 {\bf Nota:} Todo dominio de integridad y todo anillo de divisi\'{o}n (en particular todo cuerpo) verifica la ley de cancelaci\'{o}n.

\re{\ecu}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo. Las siguientes condiciones son equivalentes: \item{(i)} $R$ no posee divisores de cero. \item{(ii)} Para
todo par de elementos $a,b\in R$ con $a\ne 0$, las ecuaciones $aX+b=0$ y $Xa+b=0$, si poseen soluci\'{o}n, \'{e}sta es \'{u}nica.\endre

\re{\ecu}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo. Las siguientes condiciones son equivalentes: \item{(i)} $R$ es un anillo de divisi\'{o}n. \item{(ii)} Para todo
par de elementos $a,b\in R$ con $a\ne 0$, las ecuaciones $aX+b=0$ y $Xa+b=0$, poseen soluci\'{o}n \'{u}nica.\endre


\re{\domfinitos}{Teorema} Todo dominio de integridad finito es cuerpo.\endre


{\bf Demo:} Sea $D$ un dominio de integridad finito y $0\ne a\in D$. Veamos que $a$ es un elemento inversible de $D$. Consideremos la aplicaci\'{o}n
$$\phi_a:D\to D\quad \hbox{ definida por }\quad \phi_a(x)=ax.$$ Como $D$ verifica la ley de cancelaci\'{o}n por la izquierda, $\phi_a$ es una aplicaci\'{o}n
 inyectiva y como $D$ es finito, $\phi_a$ es sobreyectiva. Por tanto,  existe $b\in D$ con $ab=1$. Por \'{u}ltimo, como $D$ es conmutativo $ab=ba=1$ y $a$ es inversible con inverso $b$.
\endproof




 {\bf Nota:} Hemos demostrado un poco m\'{a}s:

$\star$ Un anillo unitario y finito sin divisores de cero por la derecha (o por la izquierda) es un cuerpo: por la demostraci\'{o}n anterior dado $a\in
R$ existe $b\in R$ con $ab=1$. Si repetimos el proceso para $b$, existe $c\in R$ con $bc=1$. Pero entonces $a=a(bc)=(ab)c=c$ lo que demuestra que
$a=c$ es un inverso para $b$ en $D$, o lo que es lo mismo, que $a$ es inversible con inverso $b$.

$\star$ Si $R$ es un anillo finito y unitario y $a\in R$ es un elemento que no es divisor de cero por la izquierda, entonces existe $b\in R$ con
$ab=1$. Si adem\'{a}s $a$ no es divisor de cero por la derecha, $a$ es inversible (tomamos la aplicaci\'{o}n $\rho_a(b)=ba$ y repetimos el argumento.

\parrafo{recuerdo del primer cuatrimestre}

Vamos a trabajar con $\bbb Z$, el anillo de los enteros y su orden usual (recordamos que $({\bbb N}, \le )$  es un conjunto bien ordenado: todo
subconjunto no vacio  de $\bbb N$ posee un m\'{\i}nimo).

\re{\aldiv}{Algoritmo de la divisi\'{o}n} Dados $m,d\in {\bbb Z}$, con $d>0$, existen dos \'{u}nicos elementos $c,r\in {\bbb Z}$, con $0\le r<d$, tales que
$m=cd+r$.\endre

{\bf Nota:} Se considera el conjunto $\{m-td\ \vert\ t\in {\bbb Z}\ \hbox{ y }\ m-td>0\}$. Se demuestra que es no vacio y se toma como $r$ es m\'{\i}nimo
en este conjunto. Posteriormente se demuestra la unicidad.\endproof

\re{\dedivisor}{Def} Sean $n,m\in {\bbb Z}$. Diremos que $n$ divide a $m$ (o que $m$ es m\'{u}ltiplo de $n$) si existe $r\in {\bbb Z}$ tal que $m=nr$.
\endre

\re{\dedivisor}{Def} Sean $n,m\in {\bbb Z}$ no nulos. Se define el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor de $m$ y $n$ y se representa por $mcd(n,m)$ como un $d\in
{\bbb Z}$ tal que: \item{(i)} $d>0$.
\item{(ii)} $d$ divide a $n$ y a $m$.
\item{(iii)} Si $a$ divide a $n$ y a $m$, entonces $a$ divide a $d$.
\endre
{\bf Nota:} No hay que ser cr\'{e}dulo, hay que demostrar que este n\'{u}mero siempre existe.

\re{\dedivisor}{Def:} Sean $n,m\in {\bbb Z}$ no nulos. Se define el m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo de $m$ y $n$ y se representa por $MCM(n,m)$ como un $D\in
{\bbb Z}$ tal que: \item{(i)} $D>0$.
\item{(ii)} $n$ y $m$ dividen a $D$.
\item{(iii)} Si $n$ y $m$ dividen a $a$, entonces $D$ divide a $a$.
\endre
{\bf Nota:} Lo mismo de antes.


\re{\teoBezout}{Teorema de Bezout}  Sean $n,m\in {\bbb Z}$ no nulos. Entonces existen $x,y\in {\bbb Z}$ tales que $mcd(n,m)=xn+ym$.

\re{\deprimo}{Def} Se dice que $p\in {\bbb Z}$ es un n\'{u}mero primo si $p\ge 2$ y los \'{u}nicos divisores de $p$ son
$\pm1,\pm p$.

\re{\teo}{Teorema} Sea $p$ un n\'{u}mero primo de ${\bbb Z}$ y sean $n_1,n_2,\dots,n_k\in {\bbb Z}$, con $k\in {\bbb N}$. Entonces, si $p$ divide a
$\Pi_{i=1}^k n_i$, existe $s\in \{1,\dots,n\}$ tal que $p$ divide a $n_s$.

\re{\fact}{Teorema de factorizaci\'{o}n} Sea $n\in {\bbb Z}$ con $n>1$. Entonces $n$ se puede escribir de forma \'{u}nica (salvo permutaci\'{o}n) como producto
de primos.

\re{\mcdmcm}{Teorema}  Sean $n,m\in {\bbb Z}$ no nulos. Entonces $$mcd(n,m) MCM(n,m)=nm$$

\parrafo{Algunos resultados en Teor\'{\i}a de n\'{u}meros}

\re{\ejedom}{Proposici\'{o}n} Sea $n\in \bbb N$. Entonces $\bar a\in {\bbb Z}_n$ es divisor de cero si y s\'{o}lo si $m.c.d(a,n)\ne 1$ si y solo si $\bar a$
no es inversible. Por tanto, ${\bbb Z}_n$ es un cuerpo si y s\'{o}lo si $n$ es un n\'{u}mero primo.\endre

{\bf Demo:}  Sea $a\in {\bbb Z}$. Supongamos en primer lugar que $mcd(n,a)=1$. Entonces, por la igualdad de Bezout existen $x,y\in {\bbb Z}$ tales
que $xa+yn=1$. Si miramos esta igualdad en ${\bbb Z}_n$ lo que obtenemos es: $\bar 1=\overline {xa+yn}=\bar x\bar a+\bar y\bar n=\bar x\bar a$  y por
tanto $\bar a$ es un elemento inversible de ${\bbb Z}_n$, por lo que no es divisor de cero. Si $mcd(a,n)=d\ne 1$, entonces $a=da'$, $n=dn'$ con
$n'<n$. Por tanto $\bar 0\ne \bar n'\in {\bbb Z}_n$ y $\bar a \bar n'=\overline {da'n'}=\overline{a'n}=0$, con lo que $a$ es divisor de cero y no es
inversible.\endproof

\re{\fermat}{Teorema de Fermat} Sea $p$ un n\'{u}mero primo y $a\in {\bbb Z}$ tal que $p$ no divide a $a$. Entonces $a^{p-1}\equiv 1$ (mod p).

{\bf Demo:} Consideremos $({\cal U}({\bbb Z}_n), \ )$ el grupo de los elementos inversibles de ${\bbb Z}_n$. Tenemos entonces, por un lado,  que $\#
U=p-1$ y por otro que si $p$ no divide a $a$, $mcd(p,a)=1$ y $a\in {\cal U}({\bbb Z}_n)$. luego por el Teorema de Lagrange, $\bar a^{p-1}=\bar 1$ en
${\cal U}({\bbb Z}_n)$, o lo que es lo mismo, $a^{p-1}\equiv 1 (mod(p))$.\endproof

\re{\fermat}{Corolario} Sea $p\in {\bbb Z}$ primo y $a\in {\bbb Z}$. Entonces $a^{p}\equiv a$ (mod p).

\re{\deeuler}{Def} Se define la funci\'{o}n de Euler como la aplicaci\'{o}n $\phi:{\bbb N}\to {\bbb N}$ definida por
$$\phi(n):=\#\{a\in {\bbb N}\ \vert\ a<n \ \hbox{ y }\ m.c.d(a,n)=1\}$$

\re{\teoEuler}{Teorema de Euler} Sea $a, n\in {\bbb N}$ tales que $m.c.d(a,n)=1$. Entonces $a^{\phi(n)}\equiv 1$ (mod n).

{\bf Demo:} An\'{a}loga al teorema de Fermat.\endproof

\vskip 10truecm

\parrafo{Bibliograf\'{\i}a}

$\star$ {\bf J. B. Fraleigh}, ``A First Course in Abstract Algebra". Addison-Wesley Publishing Company (1982).


$\star$ {\bf W. Keith Nicholson}, ``Introduction to Abstract Algebra". J. Wesley \& Sons Publishing Company (1999).



\end
