Relación 3 Tema 3 y Tema 4

1-. Sea D = \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℤ\}.

(i) Demuestra que D es un dominio de integridad.

(ii) Calcula el cuerpo de fracciones de D, denotado por Q(D), y da el único monomorfismo f : Q(D) → ℝ que es la inclusión cuando restringimos a D.

(iii) Por si no te has dado cuenta, demuestra que Q(D) = \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℚ\}. Calcula el inverso de 2 + 3\sqrt{2} y dalo en la forma a + b\sqrt{2} con a, b ∈ ℚ.

2-. Sea D un dominio de integridad y D′ un subanillo unitario de D. Demuestra que D′ es también un dominio de integridad. ¿El cuerpo de fracciones de D y D′ coinciden?

3-. Calcula el menos subanillo unitario de ℝ que contiene a ^{3} \sqrt{5}.

4-. Sea D y D′ dos dominios de integridad y f : D → D′ un monomorfismo de anillos. ¿Puedes encontrar un homomorfismo de anillos f̄: Q(D) → Q(D′) tal que f̄(\frac{b}{1}) = \frac{f(b)}{1}? ¿Y si f no es un monomorfismo?

5-. Sean R y R′ dos anillos, I un ideal de R y f : R → R′ un homomorfismo de anillos. Demuestra que las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) I ⊂ Ker(f).

(ii) Existe un único homomorfismo de anillos f̄: R/I → R′ que hace conmutativo el siguiente diagrama:

6-. Demuestra que todo anillo unitario R posee ideales maximales. ((i) Demuestra, aplicando el lema de Zorn, que hay elementos maximales en la familia de los ideales de R que no contienen al 1. (ii) Demuestra que un ideal de esta familia es maximal en R).