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{\bf{Relaci\'{o}n 3 \hfill Tema 3 y Tema 4}}\vskip 0.5truecm


\ejj Sea $D=\{a+b\sqrt{2}\ \vert \ a,b\in {\bbb Z}\}$.
\item{(i)} Demuestra que $D$ es un dominio de integridad.
\item{(ii)} Calcula el cuerpo de fracciones de $D$, denotado por ${\cal Q}(D)$, y da el \'{u}nico monomorfismo $f: {\cal Q}(D)\to {\bbb R}$ que es la inclusi\'{o}n cuando
restringimos a $D$.

\item{(iii)} Por si no te has dado cuenta, demuestra que ${\cal Q}(D)= \{a+b\sqrt{2}\ \vert \ a,b\in {\bbb Q}\}$. Calcula el inverso de
$2+3\sqrt2$ y dalo en la forma $a+b\sqrt{2}$ con $a,b\in {\bbb Q}$.

\ejj Sea $D$ un dominio de integridad y $D'$ un subanillo unitario de $D$. Demuestra que $D'$ es tambi\'{e}n un dominio de integridad. ?`El
cuerpo de fracciones de $D$ y $D'$ coinciden?

\ejj Calcula el menos subanillo unitario de $\bbb R$ que contiene a $\root 3 \of 5$.

\ejj Sea $D$ y $D'$ dos dominios de integridad y $f:D\to D'$ un monomorfismo de anillos. ?`Puedes encontrar un homomorfismo de anillos $\bar
f:{\cal Q}(D)\to {\cal Q}(D')$ tal que $\bar f({b\over 1})={f(b)\over 1}$? ?`Y si $f$ no es un monomorfismo?


\ejj  Sean $R$ y $R'$ dos anillos, $I$ un ideal de $R$ y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Demuestra que las siguientes condiciones
son equivalentes:
\item{(i)} $I\subset \Ker(f)$.
\item{(ii)} Existe un \'{u}nico homomorfismo de anillos $\bar f:R/I\to R'$ que hace conmutativo el siguiente diagrama:

\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{profunco.png}}


\ejj Demuestra que todo anillo unitario $R$ posee ideales maximales. ((i) Demuestra, aplicando el lema de Zorn, que hay elementos maximales
en la familia de los ideales de $R$ que no contienen al $1$. (ii) Demuestra que un ideal de esta familia es maximal en $R$).

\end
