TEMA 3.

1. INTRODUCCIÓN

El tema anterior ha tratado sobre los dominios de integridad, y muy particularmente sobre ℤ, el anillo de los enteros. Es por todos conocidos la construcción de ℚ a partir de ℤ:

– Definimos una relación de equivalencia en el conjunto de los pares (a, b) ∈ ℤ^{∗} × ℤ, en donde ℤ^{∗} denota los enteros menos el cero. Diremos que dos pares (a, b) y (a′, b′) están relacionados si y sólo si ab′ = a′b. La clase de equivalencia del elemento (a, b) se denota por \frac{b}{a}.

ℚ := \{\frac{b}{a} | a, b ∈ ℤ, a ≠ 0\}

– Definimos la suma y el producto en este conjunto como:

La suma:  \frac{b}{a} + \frac{b′}{a′} := \frac{ba′+ab′}{aa′}.
El producto: \frac{b}{a} × \frac{b′}{a′} := \frac{bb′}{aa′}.

Nos encontramos con que (ℚ, +, .) es el cuerpo de los racionales.

En este tema vamos a demostrar que esta construcción no es exclusiva de ℤ, sino que cualquier dominio de integridad se “sumerge” de forma similar en un cuerpo.

2. CONSTRUCCIÓN DEL CUERPO DE FRACCIONES DE UN DOMINIO DE INTEGRIDAD

Sea D un dominio de integridad. Consideremos

D^{∗} × D := {(a, b) ∈ D × D | a ≠ 0}

2.1 Proposición. Sea D un dominio de integridad. Entonces, en D^{∗} × D la relación, (a, b) ≅ (a′, b′) si y sólo si ab′ = a′b, es de equivalencia.

Demo: Veamos que ≅ verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva:

⋆ Reflexiva: sea (a, b) ∈ D^{∗} × D. Entonces ab = ab, con lo que (a, b) ≅ (a, b).

⋆ Simétrica: Supongamos que (a, b) ≅ (a′, b′). Entonces, ab′ = a′b que directamente da (a′, b′) ≅ (a, b).

⋆ Transitiva: Supongamos que (a, b) ≅ (a′, b′) y (a′, b′) ≅ (a′′, b′′). Entonces:

ab′ = a′b y a′b′′ = a′′b′

si multiplicamos en la segunda igualdad por a y sustituimos ab′ por a′b (primera igualdad) obtenemos aa′b′′ = aa′′b′ = a′′a′b (por lo que simplificando 0 ≠ a′, al verificar D la leyes de simplificación) ab′′ = a′′b, lo que nos demuestra que (a, b) ≅ (a′′, b′′).

Nota: El conjunto cociente D^{∗} × D/ ≅ se denotará por Q(D). La clase de equivalencia de un elemento (a, b) ∈ D^{∗} × D será denotada por \frac{b}{a}.

2.2 Teorema. Sea D un dominio de integridad. Entonces, en Q(D), las operaciones

La suma:  \frac{b}{a} + \frac{b′}{a′} := \frac{ab′+ba′}{aa′}.
El producto: \frac{b}{a} × \frac{b′}{a′} := \frac{bb′}{aa′}.

dotan a Q(D) de estructura de cuerpo (llamado el cuerpo de fracciones del dominio de integridad D). Es más, la aplicación i : D → Q(D) definida por i(d) = \frac{d}{1} es un monomorfismo de anillos unitarios.

Demo: Veamos que la suma anterior define una estructura de grupo abeliano en Q(D), para ello tendremos que demostrar:

(i) Que está bien definida (hace falta ver que el elemento (aa′, ab′ +ba′) ∈ D^{∗} ×D y que esta suma no depende de los representantes.

(ii) Verifica las propiedades de grupo abeliano.

(i.1) Es claro que aa′ ≠ 0 ya que D es un dominio de integridad y a ≠ 0 ≠ a′.

(i.2) Veamos que esta suma no depende de los representantes. Supongamos que (b, a) ≅ (b_{1}, a_{1}) y que (b′, a′) ≅ (b′_{1}, a′_{1}). Tenemos entonces que:

ab_{1} = a_{1}b y a′b′_{1} = a′_{1}b′  (H)

y queremos demostrar que (aa′, ab′ + ba′) ≅ (a_{1}a′_{1}, a_{1}b′_{1} + b_{1}a′_{1}), es decir:

aa′(a_{1}b′_{1} + b_{1}a′_{1}) = a_{1}a′_{1}(ab′ + ba′)

\begin{aligned}aa′(a_{1}b′_{1} + b_{1}a′_{1}) & = ∗^{1}aa′a_{1}b′_{1} + aa′b_{1}a′_{1} = ∗^{2}aa_{1}(a′b′_{1}) + (ab_{1})a′a′_{1} \\ & = ∗^{3}aa_{1}(a′_{1}b′) + (a_{1}b)a′a′_{1} = ∗^{4}a_{1}a′_{1}(ab′ + ba′) \end{aligned}

∗^{1} aplicando la propiedad asociativa y la distributiva. ∗^{2} aplicando la propiedad asociativa y la conmutativa. ∗^{3} aplicando las identidades de (H). ∗^{4} aplicando la propiedad asociativa, la conmutativa y la distributiva. Luego la suma está bien definida en Q(D). Veamos ahora que (Q(D), +) tiene

estructura de grupo abeliano. Antes veamos algunas propiedades útiles: (P_{1}) Dado un elemento no nulo c ∈ D, para todo \frac{b}{a} ∈ Q(D), \frac{b}{a} = \frac{cb}{ca}. (P_{2}) Dos elementos \frac{b}{a}, \frac{b′}{a′} de Q(D) tienen representantes con el mismo de-

nominador: \frac{b}{a} = \frac{ba′}{aa′} y \frac{b′}{a′} = \frac{ab′}{aa′}.

(P_{3}) La suma de dos elementos \frac{b}{a} y \frac{c}{a} con el mismo “denominador” consiste en sumar “numeradores”:

\frac{b}{a} + \frac{c}{a} = \frac{ba + ca}{a^{2}} = \frac{b + c}{a}

con estas tres propiedades, ya podemos demostrar fácilmente que (Q(D), +) tiene estructura de grupo abeliano. Por P_{3} voy a tomar, cuando me sea de interés, “fracciones” con el mismo denominador”

(ii.1) Asociativa: sean \frac{b_{1}}{a} , \frac{b_{2}}{a} , \frac{b_{3}}{a} ∈ Q(D). Entonces:

(\frac{b_{1}}{a} + \frac{b_{2}}{a} )+ \frac{b_{3}}{a} = \frac{b_{1} + b_{2}}{a} + \frac{b_{3}}{a} = \frac{b_{1} + b_{2} + b_{3}}{a} = \frac{b_{1}}{a} + \frac{b_{2} + b_{3}}{a} = \frac{b_{1}}{a} +(\frac{b_{2}}{a} + \frac{b_{3}}{a} )

(ii.2) Conmutativa: sean \frac{b_{1}}{a} , \frac{b_{2}}{a} ∈ Q(D). Entonces:

\frac{b_{1}}{a} + \frac{b_{2}}{a} = \frac{b_{1} + b_{2}}{a} = \frac{b_{2} + b_{1}}{a} = \frac{b_{2}}{a} + \frac{b_{1}}{a}

(ii.3) Neutro: 0 = \frac{0}{1} ∈ Q(D).

(ii.4) Opuesto: dado \frac{b}{a} ∈ Q(D), \frac{−b}{a} es su opuesto, ya que \frac{b}{a} + \frac{−b}{a} = \frac{0}{a} = 0. Nota: El neutro de la suma es cualquier elemento de la forma \frac{0}{a} con a ∈ D^{∗}. Veamos ahora la propiedad asociativa del producto y las distributivas: (iii.1) Asociativa: sean \frac{b_{1}}{a_{1}} , \frac{b_{2}}{a_{2}} , \frac{b_{3}}{a_{3}} ∈ Q(D). Entonces:

(\frac{b_{1}}{a_{1}} \frac{b_{2}}{a_{2}} ) \frac{b_{3}}{a_{3}} = \frac{b_{1}b_{2}}{a_{1}a_{2}} \frac{b_{3}}{a_{3}} = \frac{b_{1}b_{2}b_{3}}{a_{1}a_{2}a_{3}} = \frac{b_{1}}{a_{1}} \frac{b_{2}b_{3}}{a_{2}a_{3}} = \frac{b_{1}}{a_{1}} (\frac{b_{2}}{a_{2}} \frac{b_{3}}{a_{3}} )

(iii.2) Conmutativa: sean \frac{b_{1}}{a_{1}} , \frac{b_{2}}{a_{2}} ∈ Q(D). Entonces:

\frac{b_{1}}{a_{1}} \frac{b_{2}}{a_{2}} = \frac{b_{1}b_{2}}{a_{1}a_{2}} = \frac{b_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}} = \frac{b_{2}}{a_{2}} \frac{b_{1}}{a_{1}}

(iv) Distributiva: demostramos sólo la distributiva por un lado, ya que hemos demostrado que el producto es conmutativo. Sean \frac{b_{1}}{a} , \frac{b_{2}}{a} , \frac{b_{3}}{a} ∈ Q(D). Entonces:

\begin{aligned}(\frac{b_{1}}{a} + \frac{b_{2}}{a} ) \frac{b_{3}}{a} & = \frac{b_{1} + b_{2}}{a} \frac{b_{3}}{a} = \frac{(b_{1} + b_{2})b_{3}}{a^{2}} = \frac{b_{1}b_{3} + b_{2}b_{3}}{a^{2}} \\ & = \frac{b_{1}b_{3}}{a^{2}} + \frac{b_{2}b_{3}}{a^{2}} = \frac{b_{1}}{a} \frac{b_{3}}{a} + \frac{b_{2}}{a} \frac{b_{3}}{a} \end{aligned}

Por último demostremos que Q(D) es un cuerpo, es decir, que es un anillo unitario y que todo elemento no nulo tiene inverso.

(v.1) Elemento neutro: el elemento \frac{1}{1} es el elemento neutro de la suma. Nota: por la propiedad P_{1}, \frac{1}{1} = \frac{a}{a} para todo a ∈ D^{∗}. (v.2) Sea \frac{b}{a} un elemento no nulo de Q(D). Por lo anterior, b ≠ 0 y por tanto,

\frac{b}{a} es el inverso:

\frac{b}{a} \frac{a}{b} = \frac{ba}{ab} = \frac{1}{1}

Veamos que la aplicación i : D → Q(D), definida por i(d) := \frac{d}{1}, es un monomorfismo de anillos.

\begin{aligned}i(b_{1} + b_{2}) & = \frac{b_{1} + b_{2}}{1} = \frac{b_{1}}{1} + \frac{b_{2}}{1} = i(b_{1}) + i(b_{2}) \\ i(b_{1}b_{2}) & = \frac{b_{1}b_{2}}{1} = \frac{b_{1}}{1} \frac{b_{2}}{1} = i(b_{1})i(b_{2}) \end{aligned}

Por último si i(b) = 0, entonces \frac{b}{1} = \frac{0}{1} por lo que b1 = 0.1 = 0 y b = 0, es decir, i es una aplicación inyectiva.

2.3 Corolario. Un anillo R es un dominio de integridad si y sólo si es subanillo de un cuerpo.

La segunda parte importante del cuerpo de fracciones Q(D) de un dominio de integridad D es que es el cuerpo “más pequeño” que contiene a D. Naturalmente la noción de “ser más pequeño que” es:

2.4 Teorema. Sea D un dominio de integridad, F un cuerpo y f : D → F un monomorfismo de anillos. Entonces existe un único monomorfismo de anillos g : Q(D) → F que hace conmutativo el diagrama.

Es más, si Q es un cuerpo tal que existe un monomorfismo de anillos i : D → Q y tal que para cada cuerpo F y cada monomorfismo de anillos f : D → F, existe un único monomorfismo de anillos g : Q → F que hace conmutativo el diagrama. Se tiene que Q es isomorfo al cuerpo de fracciones de D.

3. GENERALIZACIONES

En todo este tema hemos partido de D, un dominio de integridad, pero ¿nos hacia falta tanto?

3.1 Unidad. Si nos fijamos bien en la demostraciones que hemos hecho, ¿donde se usa que D sea unitario?

En la proposición (2.1) no se usa el carácter unitario: la relación (a, b) ≅ (a′, b′) si y sólo si ab′ = a′b es de equivalencia, sea D unitario o no.

El Teorema (2.2) demuestra que el conjunto cociente, Q(D) con las operaciones definidas tiene estructura de anillo (aquí no hace falta la unidad. Para demostrar que Q(D) es un cuerpo (luego unitario), parece ser que sí. No obstante, dado 0 ≠ a ∈ D, \frac{a}{a} es la unidad de Q(D) y el inverso de un elemento no nulo \frac{b}{a} sigue siendo \frac{a}{b}. Por lo que la unidad de D, en realidad, no ha hecho falta.

Si nos damos cuenta, los últimos teoremas tampoco hacen uso de que D tiene un elemento unitario.

3.2 Divisores de cero. Aquí la cosa se complica algo más. Pero en realidad dado un anillo R, si definimos el conjunto Z(R) como:

Z(R) = {a ∈ R | ax = xa para todo x ∈ R}

y no hay divisores de cero R contenidos en Z(R). Se puede dar una construcción idéntica en la anterior, en la que se obtiene un anillo denotado por Z^{−1}R y que tiene la propiedad que todo elemento no nulo de Z(R) es inversible en Z^{−1}R.

Observar que si D es un dominio de integridad Z(D) = D.

4. BIBLIOGRAFíA.

⋆ J. B. Fraleigh, “A First Course in Abstract Algebra”. Addison-Wesley Publishing Company (1982).

⋆ W. Keith Nicholson, “Introduction to Abstract Algebra”. J. Wesley & Sons Publishing Company (1999).