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%%Blackboardbold
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%%% Cuando a consinnombre se le da la valor 1, entonces el nombre del
%%% resultado aparece
%%% al lado del mismo, si se le da otro valor numerico, commo 0, entonces
%%% el nombre
%%% desparece

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%%%%%%%%%%%%%% FUENTES %%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\headimpar{\hskip 4truecm{\rm Curso de Introducci\'{o}n al \'{A}lgebra  (2005-2006)
\hfill \folio}}
\def\headpar{\folio \hskip 7truecm{\rm  Tema \number\Temacount }\hfill}
\headline={\ifnum\pageno=1{\hfil {\rm\folio}}\else \ifodd\pageno\headimpar\else\headpar\fi\fi}
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%\folio}\hfil\else\hfil\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\Tema{\primero}{TEMA 3} \vskip 1truecm

\parrafo{Introducci\'{o}n}

El tema anterior ha tratado sobre los dominios de integridad, y muy particularmente sobre $\bbb Z$, el anillo de los
enteros. Es por todos conocidos la construcci\'{o}n de $\QQ$ a partir de $\ZZ$:

\item{--} Definimos una relaci\'{o}n de equivalencia en el conjunto de los pares $(a,b)\in {\bbb Z}^*\times
{\bbb Z}$, en donde ${\bbb Z}^*$ denota los enteros menos el cero. Diremos que dos pares $(a,b)$ y $(a',b')$ est\'{a}n relacionados  si y s\'{o}lo si
$ab'=a'b$. La clase de equivalencia del elemento $(a,b)$ se denota por $b\over a$.
$${\bbb Q}:=\{ {b\over a}\ \vert \ a,b\in {\bbb Z},\ a\ne 0\}$$
\item{--} Definimos la suma y el producto en este conjunto como:
$$\vbox{
\+ La suma:&\qquad\quad  &${b\over a}+{b'\over a'}:={ba'+ab'\over aa'}$.\cr \+\ & \ & \cr \+ El producto:& &${b\over a}\ \, \times\ \, {b'\over a'
}:={bb'\over aa'}$.\cr}$$ Nos encontramos con que $(\QQ, +,.)$ es el cuerpo de los racionales.

En este tema vamos a demostrar que esta construcci\'{o}n no es exclusiva de  $\ZZ$, sino que cualquier dominio de integridad se ``sumerge" de
forma similar en un cuerpo.

\parrafo{Construcci\'{o}n del cuerpo de fracciones de un dominio de integridad}

Sea $D$ un dominio de integridad. Consideremos $$D^*\times D:=\{(a,b)\in D\times D\ \vert\ a\ne 0\}$$

\re{\pasouno}{Proposici\'{o}n} Sea $D$ un dominio de integridad. Entonces, en  $D^*\times D$ la relaci\'{o}n, $(a,b)\cong (a',b')$ si y s\'{o}lo si
$ab'=a'b$, es de equivalencia.
\endre

\Proof Veamos que $\cong$ verifica las propiedades reflexiva, sim\'{e}trica y transitiva:

$\star$ Reflexiva: sea $(a,b)\in D^*\times D$. Entonces $ab=ab$, con lo que $(a,b)\cong (a,b)$.

 $\star$ Sim\'{e}trica: Supongamos que $(a,b)\cong (a',b')$. Entonces, $ab'=a'b$ que directamente da $(a',b')\cong (a,b)$.

 $\star$ Transitiva: Supongamos que $(a,b)\cong (a',b')$ y $(a',b')\cong (a'',b'')$. Entonces:
 $$ab'=a'b\quad \hbox{y}\quad a'b''=a''b'$$
 si multiplicamos en la segunda igualdad por $a$ y sustituimos $ab'$ por $a'b$ (primera igualdad) obtenemos
$ aa'b''=aa''b'=a''a'b$ (por lo que simplificando $0\ne a'$,  al  verificar $D$ la leyes de simplificaci\'{o}n) $ab''=a''b$, lo que nos
demuestra que $(a,b)\cong (a'',b'')$.\endproof

 {\bf Nota:}  El conjunto cociente
$D^*\times D/\cong$ se denotar\'{a} por ${\cal Q}(D)$. La clase de
equivalencia de un elemento $(a,b)\in D^*\times D$ ser\'{a} denotada
por $b\over a$.


 \re{\prod}{Teorema} Sea $D$ un dominio de integridad.
Entonces, en ${\cal Q}(D)$, las operaciones
$$\vbox{
\+ La suma:&\qquad\quad  &${b\over a}+{b'\over a'}:={ab'+ba'\over aa'}$.\cr \+\ & \ & \cr \+ El producto:& &${b\over
a}\ \, \times\ \, {b'\over a'}:={bb'\over aa'}$.\cr}$$ dotan a ${\cal Q}(D)$ de estructura de cuerpo (llamado el {\bf
cuerpo de fracciones} del dominio de integridad $D$). Es m\'{a}s, la aplicaci\'{o}n $i:D\to {\cal Q}(D)$ definida por
$i(d)={d\over 1}$ es un monomorfismo de anillos unitarios.\endre

\Proof Veamos que la suma anterior define una estructura de grupo abeliano en ${\cal Q}(D)$, para ello tendremos que
demostrar:
\item{(i)} Que est\'{a} bien definida (hace falta ver que el elemento $(aa',ab'+ba')\in D^*\times D$ y que esta suma no
depende de los representantes.
\item{(ii)} Verifica las propiedades de grupo abeliano.

(i.1) Es claro que $aa'\ne 0$ ya que $D$ es un dominio de integridad y $a\ne 0\ne a'$.

(i.2) Veamos que esta suma no depende de los representantes. Supongamos que $(b,a)\cong (b_1,a_1)$ y que $(b',a')\cong (b'_1,a'_1)$.
Tenemos entonces que:$$ab_1=a_1b\quad \hbox{y}\quad a'b_1'=a_1'b'\eqno{(H)}$$

y queremos demostrar que $(aa',ab'+ba')\cong(a_1a_1',a_1b_1'+b_1a_1')$, es decir:$$
aa'(a_1b_1'+b_1a_1')=a_1a_1'(ab'+ba')$$
$$\eqalign{aa'(a_1b_1'+b_1a_1')& ={*^1}aa'a_1b_1'+aa'b_1a_1'={*^2}aa_1(a'b_1')+(ab_1)a'a_1'\cr &={*^3}aa_1(a_1'b')+(a_1b)a'a_1'={*^4}a_1a_1'(ab'+ba')}$$

$*^1$ aplicando la propiedad asociativa y la distributiva.

$*^2$ aplicando la propiedad asociativa y la conmutativa.

$*^3$ aplicando las identidades de (H).

$*^4$ aplicando la propiedad asociativa, la conmutativa y la distributiva.

Luego la suma est\'{a} bien definida en ${\cal Q}(D)$. Veamos ahora que $({\cal Q}(D), +)$ tiene estructura de grupo abeliano. Antes veamos
algunas propiedades \'{u}tiles:

($P_1$) Dado un elemento no nulo $c\in D$, para todo ${b\over a}\in {\cal Q}(D)$,  ${b\over a}={cb\over ca}$.

($P_2$) Dos elementos $b\over a$, $b'\over a'$ de ${\cal Q}(D)$ tienen representantes con el mismo denominador: ${b\over a}={ba'\over aa'}$
y ${b'\over a'}={ab'\over aa'}$.

($P_3$) La suma de dos elementos $b\over a$ y $c\over a$ con el mismo ``denominador" consiste en  sumar ``numeradores": $${b\over
a}+{c\over a}={ba+ca\over a^2}={b+c\over a}$$
 con estas tres propiedades, ya podemos demostrar f\'{a}cilmente que  $({\cal Q}(D), +)$ tiene estructura de grupo abeliano. Por $P_3$ voy a
 tomar, cuando me sea de inter\'{e}s, ``fracciones" con el mismo denominador"

 (ii.1) Asociativa: sean ${b_1\over a}, {b_2\over a}, {b_3\over a}\in {\cal Q}(D)$. Entonces:
 $$\left({b_1\over a}+ {b_2\over a}\right)+ {b_3\over a}={b_1+b_2\over a}+{b_3\over a}={b_1+b_2+b_3\over a}={b_1\over a}
 +{b_2+b_3\over a}={b_1\over a}+\left( {b_2\over a}+ {b_3\over a}\right)$$

 (ii.2) Conmutativa: sean ${b_1\over a}, {b_2\over a}\in {\cal Q}(D)$. Entonces:
 $${b_1\over a}+ {b_2\over a}={b_1+b_2\over a}={b_2+b_1\over a}={b_2\over a}
 + {b_1\over a}$$

 (ii.3) Neutro: $0={0\over 1}\in {\cal Q}(D)$.

 (ii.4) Opuesto: dado ${b\over a}\in {\cal Q}(D)$,  ${-b\over a}$ es su opuesto, ya que ${b\over a}+{-b\over a}={0\over a}=0$.

 {\bf Nota:} El neutro de la suma es cualquier elemento de la forma ${0\over a}$ con $a\in D^*$.

 Veamos ahora la propiedad asociativa del producto y las distributivas:

 (iii.1) Asociativa: sean ${b_1\over a_1}, {b_2\over a_2}, {b_3\over a_3}\in {\cal Q}(D)$. Entonces:
$$\left({b_1\over a_1} {b_2\over a_2}\right) {b_3\over a_3}={b_1b_2\over a_1a_2} {b_3\over a_3}={b_1b_2b_3\over a_1a_2a_3}={b_1\over a_1}
 {b_2b_3\over a_2a_3}={b_1\over a_1} \left({b_2\over a_2} {b_3\over a_3}\right)$$

 (iii.2) Conmutativa: sean ${b_1\over a_1}, {b_2\over a_2}\in {\cal Q}(D)$. Entonces:
 $${b_1\over a_1} {b_2\over a_2}={b_1b_2\over a_1a_2}= {b_2 b_1\over a_1a_2}= {b_2\over a_2} {b_1\over a_1}$$



  (iv) Distributiva: demostramos s\'{o}lo la distributiva por un lado, ya que hemos demostrado que el producto es  conmutativo.
   Sean ${b_1\over a}, {b_2\over a}, {b_3\over a}\in {\cal Q}(D)$. Entonces:

   $$\eqalign{\left({b_1\over a}+ {b_2\over a}\right) {b_3\over a}&={b_1+b_2\over a}{b_3\over a}={(b_1+b_2)b_3\over a^2}={b_1b_3+b_2b_3\over a^2}\cr &=
   {b_1b_3\over a^2}+{b_2b_3\over a^2}={b_1\over a} {b_3\over a}+ {b_2\over a} {b_3\over a}}$$

Por \'{u}ltimo demostremos que ${\cal Q}(D)$ es un cuerpo, es decir, que es un anillo unitario y que todo elemento no nulo tiene inverso.

  (v.1) Elemento neutro: el elemento ${1\over 1}$ es el elemento neutro de la suma.

 {\bf Nota:} por la propiedad $P_1$, ${1\over 1}={a\over a}$ para todo $a\in D^*$.

 (v.2) Sea ${b\over a}$ un elemento no nulo de ${\cal Q}(D)$. Por lo anterior, $b\ne 0$ y por tanto, ${b\over a}$ es el inverso:
$${b\over a}{a\over b}={ba\over ab}={1\over 1}$$
 Veamos que la aplicaci\'{o}n $i:D\to {\cal Q}(D)$, definida por $i(d):={d\over 1}$, es un monomorfismo de anillos.

$$\eqalign{i(b_1+b_2)&={b_1+b_2\over 1}={b_1\over 1}+{b_2\over 1}=i(b_1)+i(b_2)\cr
i(b_1 b_2)&={b_1b_2\over 1}={b_1\over 1}{b_2\over 1}=i(b_1) i(b_2)} $$

Por \'{u}ltimo si $i(b)=0$, entonces ${b\over 1}={0\over 1}$ por lo que $b 1=0.1 =0$ y $b=0$, es decir, $i$ es una aplicaci\'{o}n inyectiva.
 \endproof


 \re{\coroprod}{Corolario} Un anillo $R$ es un dominio de integridad si y s\'{o}lo si es subanillo de un cuerpo.
\endre

La segunda parte importante del cuerpo de fracciones ${\cal Q}(D)$ de un dominio de integridad $D$ es que  es el cuerpo ``m\'{a}s peque\~{n}o" que
contiene a $D$. Naturalmente la noci\'{o}n de ``ser m\'{a}s peque\~{n}o que" es:


\re{\caraccuerpofrac}{Teorema} Sea $D$ un dominio de integridad, $F$ un cuerpo y $f:D\to F$ un monomorfismo de anillos.
Entonces  existe un \'{u}nico monomorfismo de anillos $g:{\cal Q}(D)\to F$ que hace conmutativo el diagrama.


\centerline{\epsfxsize=4cm \epsfysize=3cm \epsfbox{CuerpoFrac.png}}


 Es m\'{a}s, si $Q$ es un cuerpo tal que existe un monomorfismo de anillos $i:D\to
Q$ y tal que para cada cuerpo $F$ y cada monomorfismo de anillos $f:D\to F$, existe un \'{u}nico monomorfismo de anillos $g:Q\to F$ que hace conmutativo
el diagrama. Se tiene que $Q$ es isomorfo al cuerpo de fracciones de $D$. \vskip .2truecm \centerline{\epsfxsize=8cm \epsfysize=3cm
\epsfbox{CuerpoFracII.png}}



\parrafo{Generalizaciones}

En todo este tema hemos partido de $D$, un dominio de integridad, pero ?`nos hacia falta tanto?

\re{\uni}{Unidad} Si nos fijamos bien en la demostraciones que hemos hecho, ?`donde se usa que $D$ sea unitario?

En la proposici\'{o}n (\pasouno) no se usa el car\'{a}cter unitario: la relaci\'{o}n $(a,b)\cong (a',b')$ si y s\'{o}lo si $ab'=a'b$ es
de equivalencia, sea $D$ unitario o no.

 El Teorema (\prod) demuestra que el conjunto cociente, ${\cal Q}(D)$ con las operaciones definidas tiene estructura de anillo
 (aqu\'{\i} no hace falta la unidad. Para demostrar que ${\cal Q}(D)$ es un cuerpo (luego unitario), parece ser que s\'{\i}. No obstante,
 dado $0\ne a\in D$, $a\over a$ es la unidad de ${\cal Q}(D)$ y el inverso de un elemento no nulo $b\over a$ sigue siendo $a\over b$.
 Por lo que la unidad de $D$, en realidad, no ha hecho falta.

 Si nos damos cuenta, los \'{u}ltimos teoremas tampoco hacen uso de que $D$ tiene un elemento unitario.

 \re{\divi}{Divisores de cero} Aqu\'{\i} la cosa se complica algo m\'{a}s. Pero en realidad dado un anillo $R$, si definimos el conjunto $Z(R)$
 como:
 $$Z(R)=\{a\in R\ \vert\ ax=xa \quad \hbox{para todo}\quad x\in R \}$$
y no hay divisores de cero  $R$ contenidos en $Z(R)$. Se puede dar una construcci\'{o}n id\'{e}ntica en la anterior, en la que se obtiene un anillo
 denotado por $Z^{-1}R$ y que tiene la propiedad que todo elemento no nulo de $Z(R)$ es inversible en $Z^{-1}R$.

Observar que si $D$ es un dominio de integridad $Z(D)=D$.

\parrafo{ Bibliograf\'{\i}a.}



$\star$ {\bf J. B. Fraleigh}, ``A First Course in Abstract Algebra". Addison-Wesley Publishing Company (1982).

$\star$ {\bf W. Keith Nicholson}, ``Introduction to Abstract Algebra". J. Wesley \& Sons Publishing Company (1999).





\end
