TEMA 3.

1. INTRODUCCIÓN

El tema anterior ha tratado sobre los dominios de integridad, y muy particularmente sobre ℤ, el anillo de los enteros. Es por todos conocidos la construcción de ℚ a partir de ℤ:

– Definimos una relación de equivalencia en el conjunto de los pares (a, b) ∈ ℤ^{∗} × ℤ, en donde ℤ^{∗} denota los enteros menos el cero. Diremos que dos pares (a, b) y (a′, b′) están relacionados si y sólo si ab′ = a′b. La clase de equivalencia del elemento (a, b) se denota por \frac{b}{a}.

ℚ := \{\frac{a}{b} | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0\}

– Definimos la suma y el producto en este conjunto como:

La suma:  \frac{b}{a} + \frac{b′}{a′} := \frac{ba′+ab′}{aa′}.
El producto: \frac{b}{a} × \frac{b′}{a′} := \frac{bb′}{aa′}.

Nos encontramos con que (ℚ, +, .) es el cuerpo de los racionales. En este tema vamos a demostrar que esta construcción no es exclusiva de ℤ, sino que cualquier dominio de integridad se “sumerge ” de esta forma en un cuerpo.

2. CONSTRUCCIÓN DEL CUERPO DE FRACCIONES DE UN DOMINIO DE INTEGRIDAD

Sea D un dominio de integridad. Consideremos

D^{∗} × D := {(a, b) ∈ D × D | a ≠ 0}

2.1 Proposición. Sea D un dominio de integridad. Entonces, en D^{∗} × D la relación (a, b) ≅ (a′, b′) si y sólo si ab′ = a′b es de equivalencia.

Demo: Veamos que ≅ verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva:

⋆ Reflexiva: sea (a, b) ∈ D^{∗} × D. Entonces ab = ab, con lo que (a, b) ≅ (a, b).

⋆ Simétrica: Supongamos que (a, b) ≅ (a′, b′). Entonces, ab′ = a′b que directamente da (a′, b′) ≅ (a, b).

⋆ Transitiva: Supongamos que (a, b) ≅ (a′, b′) y (a′, b′) ≅ (a′′, b′′). Entonces:

ab′ = a′b y a′b′′ = a′′b′

si multiplicamos en la segunda igualdad por a y sustituimos ab′ por a′b (primera igualdad, obtenemos aa′b′′ = aa′′b′ = a′′a′b, por lo que simplificando a′, ya que es no nulo, ab′′ = a′′b, lo que nos demuestra que (a, b) ≅ (a′′, b′′).

Nota: El conjunto cociente D^{∗} × D/ ≅ se denotará por Q(D). La clase de equivalencia de un elemento (a, b) ∈ D^{∗} × D será denotada por \frac{b}{a}.

2.2 Teorema. Sea D un dominio de integridad. Entonces, en Q(D), las operaciones

La suma:  \frac{b}{a} + \frac{b′}{a′} := \frac{ab′+ba′}{aa′}.
El producto: \frac{b}{a} × \frac{b′}{a′} := \frac{bb′}{aa′}.

dotan a Q(D) de estructura de cuerpo (llamado el cuerpo de fracciones del dominio de integridad D). Es más, la aplicación i : D → Q(D) definida por i(d) = \frac{d}{1} es un monomorfismo de anillos unitarios.

Demo: Veamos que la suma anterior define una estructura de grupo abeliano en Q(D), para ello tendremos que demostrar:

(i) Que está bien definida (hace falta ver que el elemento (aa′, ab′ +ba′) ∈ D^{∗} ×D y que esta suma no depende del representante.

(ii) verifica las propiedades de grupo abeliano.

(i.1)Es claro que aa′ ≠ 0 ya que estamos en un dominio de integridad y a ≠ 0 ≠ a′.

(i.2) Veamos que esta suma no depende del representante. Supongamos que (b, a) ≅ (b_{1}, a_{1}) y que (b′, a′) ≅ (b′_{1}, a′_{1}). Tenemos entonces que:

ab_{1} = a_{1}b y a′b′_{1} = a′_{1}b′
y queremos demostrar que (aa′, ab′ + ba′) ≅ (a_{1}a′_{1}, a_{1}b′_{1} + b_{1}a′_{1}), es decir:
aa′(a_{1}b′_{1} + b_{1}a′_{1}) = a_{1}a′_{1}(ab′ + ba′)

\begin{aligned}aa′(a_{1}b′_{1} + b_{1}a′_{1}) & = aa′a_{1}b′_{1} + aa′b_{1}a′_{1} = aa_{1}(a′b′_{1}) + (ab_{1})a′a′_{1} \\ & = aa_{1}(a′_{1}b′) + (a_{1}b)a′a′_{1} = a_{1}a′_{1}(ab′ + ba′) \end{aligned}

2.3 Corolario. Un anillo R es un dominio de integridad si y sólo si es subanillo de un cuerpo.

2.4 Teorema. Sea D un dominio de integridad y Q(D) su cuerpo de fracciones. Entonces, para cada cuerpo F y cada monomorfismo de anillos f : D → F, existe un único monomorfismo de anillos g : Q(D) → F que hace conmutativo el diagrama.

Es más, si Q es un cuerpo tal que existe un monomorfismo de anillos i : D → Q y tal que para cada cuerpo F y cada monomorfismo de anillos f : D → F, existe un único monomorfismo de anillos g : Q → F que hace conmutativo el diagrama. Se tiene que Q es isomorfo al cuerpo de fracciones de D.

3. BIBLIOGRAFíA

⋆ J. B. Fraleigh, “A First Course in Abstract Algebra”. Addison-Wesley Publishing Company (1982).

4 Tema 1

⋆ W. Keith Nicholson, “Introduction to Abstract Algebra”. J. Wesley & Sons Publishing Company (1999).