TEMA 4.

1. INTRODUCCIÓN

En este capitulo vamos a introducir la estructura cociente. En el cuatrimestre anterior se ha estudiado esta noción en el contexto de grupos, apareciendo la noción de subgrupo normal: Dado un grupo G y un subgrupo N, se podia construir la estructura cociente Q/N si y sólo si N era subgrupo normal de G.

Dado un anillo R y una relación de equivalencia ≅ en R vamos a definir una estructura de anillo en el conjunto cociente R/ ≅, en donde la suma y el producto queden definidos por:

\begin{aligned}x̄ + ȳ: & = \overline{x + y} \\ x̄ȳ: & = \overline{xy} \end{aligned}

Nota: Lo cual, al igual que en el caso de grupos, significa “buscar” cuales son las relaciones de equivalencia compatibles con las operaciones del anillo.

Si consideramos G un grupo con elemento neutro e y ≅ una relación en G que de estructura de grupo al cociente, tenemos:

– La clase del elemento neutro [e], es cerrada para la suma: [e] + [e] = [e].

– Si x ∈ [e], x^{−1} ∈ [e]: si x ∈ [e], [e] = [e][e] = [x][x^{−1}] = [e][x^{−1}] = [x^{−1}]. Por lo que [e] resulta ser un subgrupo.

– [e] es un subgrupo normal de G: dado x ∈ [e] e y ∈ G, [yxy^{−1}] = [y][x][y^{−1}] = [y][e][y^{−1}] = [y][y^{−1}] = [e]. Por lo que yxy^{−1} ∈ [e].

Por último, si definimos la relación: dados x, y ∈ G diremos que x ≡ y si y solo si xy^{−1} ∈ [e]. Resulta que la clases de equivalencia de ≅ y ≡ coinciden, por lo que son la misma relación de equivalencia. Así, se introduce la estructura cociente de un grupo G respecto de un cierto subgrupo normal N.

Veamos que sucede en teoría de anillos.

2. IDEALES DE UN ANILLO

Sea R un anillo y ≅ una relación de equivalencia en R. Queremos definir una estructura de anillo en el conjunto cociente R/ ≅, en donde la suma y el producto queden definidos por:

\begin{aligned}x̄ + ȳ: & = \overline{x + y} \\ x̄ȳ: & = \overline{xy} \end{aligned}

Tenemos que (R/ ≅, +) va a tener estructura de grupo, por lo que las únicas posibles relaciones de equivalencia vienen dadas a partir de subgrupos normales de (R, +).

Nota: Como (R, +) es un grupo abeliano, cualquier subgrupo de R es un subgrupo normal.

Sea R un anillo, I un subgrupo de R y ≅ la relación x ≅ y si y solo si x−y ∈ I. Supongamos que R/ ≅ tiene estructura de anillo. entonces:

– Dado x ∈ R, y ∈ I, [x][y] = [0][y] = [0], [y][x] = [y][0] = [0]. Por lo que para todo x ∈ R, y ∈ I, xy, yx ∈ I.

Veamos que ésta es la condición que nos faltaba.

2.1 Def. Sea R un anillo. Se dice que I ⊂ R es un ideal de R si I es un subanillo de R tal que para todo x ∈ R, y ∈ I, xy, yx ∈ I.

2.2 Ejemplos. — Sea R un anillo, entonces R y {0} son siempre ideales de R (llamados triviales).

— Sea ℤ el anillo de los enteros. Entonces para cada n ∈ ℕ el conjunto nℤ es un ideal de ℤ.

2.3 Proposición. Sea R un anillo e I un ideal de R. Entonces si I contiene un elemento inversible de R, I = R. Por tanto los únicos ideales de un anillo de división son los triviales.

2.4 Teorema. Sea R un anillo e I un ideal de R. Entonces:

(i) La relación x ≅ y si y solo si x − y ∈ I es de equivalencia.

(ii) (R/ ≅, +, ) con las operaciones

\begin{aligned}x̄ + ȳ: & = \overline{x + y} \\ x̄ȳ: & = \overline{xy} \end{aligned}

tiene estructura de anillo.

El anillo anterior se denota por R/I y se llama el anillo cociente de R sobre I.

Asociado a cada estructura hay asociado un homomorfismo, en el caso de anillos de cocientes no iba a ser menos:

2.5 Def. Sea R un anillo y I un ideal de R. Entonces la aplicación π : R → R/I definida por π(r) = [r] es un epimorfismo de anillos (llamado el epimorfismo de proyección de R en R/I).

2.6 Teorema (Propiedad fundamental del cociente). Sean R y R′ dos anillos y f : R → R′ un homomorfismo de anillos. Sea I un ideal de R tal que I ⊂ Ker(f). Entonces la aplicación f̄: R/I → R′ definida por f̄(x̄) := f(x) es un homomorfismo de anillos.

2.7 Teorema (primer teorema de Isomorfía). Sean R y R′ dos anillos y f : R → R′ un homomorfismo de anillos. Entonces:

(i) Ker(f) ◁ R.

(ii) R/ Ker(f) ≅ Im(f). Es más, la aplicación f̄: R/ Ker(f) → Im(f) definida por f̄([x]) := f(x) es un isomorfismo de anillos.

2.8 Ejemplo. Sea ℤ el anillo de los enteros y n ∈ ℕ. Entonces ℤ/nℤ ≡ ℤ_{n}.

2.9 def. Sea R un anillo. Se dice que I es un ideal por la izquierda de R y se representa por I ◁_{l} R si I es un subanillo de R tal que para todo x ∈ R, y ∈ I, xy ∈ I. Se dice que I es un ideal por la derecha de R y se representa por I ◁_{r} R si I es un subanillo de R tal que para todo x ∈ R, y ∈ I, yx ∈ I.

Nos va a interesar construir ideales a partir de elementos. El siguiente teorema nos dice como.

2.10 Proposición. Sea R un anillo y x ∈ R. Entonces:

(i) Rx = {ax | a ∈ R} es un ideal por la izquierda de R. Si R es unitario x ∈ Rx.

(ii) Rx + ℤx es un ideal por la izquierda de R que contiene a x. Es más, éste es es el ideal por la izquierda más pequeño de R que contiene a x.

(iii) xR = {xa | a ∈ R} es un ideal por la derecha de R. Si R es unitario x ∈ xR.

(iv) xR + ℤx es un ideal por la derecha de R que contiene a x. Es más, éste es es el ideal por la derecha más pequeño de R que contiene a x.

(v) RxR = {∑_{finita} a_{i}xb_{i} | a_{i}, b_{i} ∈ R} es un ideal de R. Si R es unitario, x ∈ RxR.

(vi) RxR + Rx + xR + ℤx es un ideal de R que contiene a x. Es más, éste es es el ideal más pequeño de R que contiene a x. 2.11 Proposición. Sea R un anillo y I_{1}, I_{2} dos ideales (ideales por la

izquierda, por la derecha) de R. Entonces:

(i) I_{1} ∩ I_{2} es un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de R. (ii) I_{1} + I_{2} es un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de R. (iii) I_{1}I_{2} := {∑ y_{i}y′_{i} | y_{i} ∈ I_{1}, y′_{i} ∈ I_{2}} es un ideal (ideal por la izquierda, por la

derecha) de R. Es más, si I_{1}, I_{2} son ideales de R, entonces I_{1}I_{2} ⊂ I_{1} ∩ I_{2} ⊂ I_{1} + I_{2}. 2.12 Teorema. Sea R un anillo e I_{1}, I_{2} dos ideales de R. Entonces:

(i) I_{1}, I_{2} son ideales de I_{1} + I_{2} y I_{1} ∩ I_{2} es ideal tanto de I_{1} como de I_{2}. (ii) I_{1} + I_{2}/I_{1} ≅ I_{2}/ ∩ (I_{1} ∩ I_{2}).

2.13 Teorema. Sea R un anillo e I_{1} ⊂ I_{2} dos ideales de R. Entonces:

(i) I_{1}/I_{2} es un ideal de R/I_{2}. (ii) (R/I_{2})/(I_{1}/I_{2}) ≅ R/I_{1}.

3. SUBCUERPO PRIMO En esta sección vamos a ver que todo anillo de división Δ contiene como

subanillo a ℤ_{p} o a ℚ. Más precisamente:

3.1 Teorema. Sea 𝔽 un cuerpo. Entonces:

(i) Si 𝔽 tiene característica cero, ℚ ⊂ 𝔽.

(i) Si 𝔽 tiene característica p, ℤ_{p} ⊂ 𝔽.

A ℚ o ℤ_{p}, con p un número primo, se les denomina los subcuerpos primos. Proof: Sea la aplicación f : ℤ → 𝔽 definida por f(n) = 1 + ⋯^{n} + 1 = n1.

Claramente, f es un homomorfismo de anillos, es más:

⋆ Si la característica de Δ es 0, f es un monomorfismo de anillos, por lo que aplicado la propiedad fundamental del cuerpo de fracciones de un dominio de integridad, existef̄: ℚ → 𝔽 un monomorfismo de anillos, por lo que se puede considerar ℚ contenido en 𝔽.

⋆ Si la característica de 𝔽 es un número p, (que sabemos que es un número primo), Ker(f) = pℤ y por el primer teorema de Isomorfía

ℤ_{p} ≅ ℤ/ Ker(f) ≅ Im(f) ⊂ 𝔽.

lo que nos demuestra el teorema.

4. IDEALES PRIMOS, IDEALES MAXIMALES

Los dos últimos resultados importantes de este tema se van a centrar en teoría de anillos unitarios. No obstante las definiciones se harán de forma general.

4.1 Def. Sea R un anillo. Se dice que un ideal I de R es maximal si I ≠ R y dado cualquier ideal J de R tal que I ⊂ J ⊂ R se tiene que J = I o J = R.

4.2 Teorema. Un ideal I de un anillo conmutativo y unitario R es maximal si y solo si el anillo cociente R/I es un cuerpo.

Proof: Supongamos que R/I es un cuerpo y sea J un ideal de R distinto de I con I ⊂ J. Entonces, dado x ∈ J − I, ¯0 ≠ x̄ ∈ R/I y como R/I es un cuerpo, existe z̄ ∈ R/I tal que \overline{xz} = \overline{1}. Por tanto, xz − 1 = y ∈ I y así, 1 = xz − y ∈ J, ya que xz ∈ J y y ∈ I ⊂ J. Luego J = R al contener a 1.

Supongamos que I es un ideal maximal de R y sea ¯0 ≠ x̄ ∈ R/I. Tenemos entonces que x ∉ I. Por otro lado, Rx es un ideal de R que contiene a x (ya que R es conmutativo y unitario) y por tanto I + Rx es un ideal de R que contiene a I y a x, por lo que, por la maximalidad de I, I + Rx = R. Así, existe y ∈ I y z ∈ R con y + zx = 1 o lo que es lo mismo, x̄z̄ = ¯1 en R/I. Luego R/I es un anillo conmutativo y unitario en donde todo elemento no nulo tiene inverso, R/I es un cuerpo.

4.3 Def:. Se dice que un anillo R es simple si los únicos ideales que posee son los triviales.

Ya sabemos que los anillos de división y en particular los cuerpos son anillos simples. En el caso de anillos conmutativos y unitarios se tiene el recíproco:

4.4 Corolario. Un anillo conmutativo y unitario R es un cuerpo si y sólo si sólo posee los ideales triviales.

Proof: Si R es un cuerpo, R sólo tiene los ideales triviales. Si R es un anillo conmutativo y unitario que sólo posee los ideales triviales, {0} es un ideal maximal de R y por tanto, R/{0} ≅ R es un cuerpo.

Hay ejemplos de anillos simples que no son de división: 4.5 Teorema. Sea R un anillo y n ∈ ℕ. Entonces I es un ideal de M_{n}(R)

si y solo si I = M_{n}(I) para I un ideal de R.

Proof: Sea I un ideal de R. Entonces M_{n}(I) es un ideal de M_{n}(R): ⋆ (M_{n}(I), +) es un grupo abeliano: dados (y_{ij})_{ij=1}^{n}, (y′_{ij})_{ij=1}^{n} ∈ M_{n}(I),

– (y_{ij})_{ij=1}^{n} + (y′_{ij})_{ij=1}^{n} = (y_{ij} + y′_{ij})_{ij=1}^{n} ∈ M_{n}(I).

– (0_{ij})_{ij=1}^{n} ∈ M_{n}(I)

– El opuesto de (y_{ij})_{ij=1}^{n} es (−y_{ij})_{ij=1}^{n} ∈ M_{n}(I)

⋆ Veamos que es un ideal: dados (y_{ij})_{ij=1}^{n} ∈ M_{n}(I) y (x_{ij})_{ij=1}^{n} ∈ M_{n}(R),

– (x_{ij})_{ij=1}^{n}(y_{ij})_{ij=1}^{n} = (∑_{k=1}^{n} x_{ik}y_{kj})_{ij=1}^{n} ∈ M_{n}(I), ya que x_{ik}y_{kj} ∈ I para cualesquiera i, j, k ∈ {1, 2, ⋯, n}.

– (y_{ij})_{ij=1}^{n}(x_{ij})_{ij=1}^{n} = (∑_{k=1}^{n} y_{ik}x_{kj})_{ij=1}^{n} ∈ M_{n}(I), ya que y_{ik}yx_{kj} ∈ I para cualesquiera i, j, k ∈ {1, 2, ⋯, n}. Sea ahora I un ideal de M_{n}(R). Veamos que existe un ideal I de R tal que

I = M_{n}(I): denotemos por e_{ij} la matriz de M_{n}(R) que tiene un uno en el lugar ij y ceros en el resto.

⋆ Dada una matriz A = (a_{ij})_{ij=1}^{n} ∈ M_{n}(R), A = ∑_{ij=1}^{n} e_{ii}Ae_{jj}: sólo hay que darse cuenta que e_{ii}Ae_{jj} es la matriz que tiene a a_{ij} en el lugar ij y ceros en el resto.

⋆ Si Y = (x_{ij})_{ij=1}^{n} ∈ I, y considero x_{rs} ∈ R la coordenadas rs de esta matriz, entonces la matriz A que tiene a x_{rs} en el lugar r′s′ y ceros en el resto pertenece a I: solo hay que darse cuenta que A = e_{r′r}(x_{rs})_{ij=1}^{n}e_{ss′}.

Consideremos la aplicación

π_{11} : M_{n}(R) → R definida por π((x_{ij})_{ij=1}^{n}) = x_{11}.

y sea I = π_{11}(I) (el conjunto de las coordenadas 11 de cada matriz de I).

Veamos que I ⊂ M_{n}(I): dado Y ∈ I, por la propiedad segunda, cada coordenada de Y pertenece a I.

Veamos que M_{n}(I) ⊂ I: dada una matriz A ∈ M_{n}(I), por la propiedad primera, A = ∑_{ij=1}^{n} e_{ii}Ae_{jj} y por la propiedad segunda cada matriz e_{ii}Ae_{jj} ∈ I.

4.6 Corolario. Sea R un anillo simple y unitario. Entonces para cada n ∈ ℕ, M_{n}(R) es un anillo simple y unitario. En particular M_{n}(𝔽) es simple (y no es un cuerpo o un anillo de división) para cada cuerpo 𝔽.

En particular M_{n}(𝔽) es simple (y no es un cuerpo o un anillo de división) para cada cuerpo 𝔽.

4.7 Def. Sea R un anillo. Se dice que un ideal I de R es primo si I ≠ R y para todos x, y ∈ R tales que xy ∈ I se tiene que x ∈ I o y ∈ I.

4.8 Teorema. Un ideal I de un anillo conmutativo y unitario R es primo si y solo si el anillo cociente R/I es un dominio de integridad.

Proof: Supongamos que el anillo cociente R/I es un dominio de integridad y sean x, y ∈ R con xy ∈ I. Tenemos entonces que \overline{xy} = \overline{0} en el dominio de integridad R/I por lo que o x̄ = ¯0, y así x ∈ I o ȳ = ¯0, y así y ∈ I.

Supongamos que I es un ideal primo de R. Veamos que el anillo cociente R/I es un dominio de integridad. Sean x̄, ȳ ∈ R/I, con x̄ȳ = ¯0. Entonces \overline{xy} = ¯0 y por tanto xy ∈ I. Luego x ∈ I, y así x̄ = ¯0 o y ∈ I, y así ȳ = ¯0. Así, R/I es un anillo conmutativo y unitario sin divisores de cero.

4.9 Corolario. Sea R un anillo conmutativo y unitario. Entonces todo ideal maximal de R es primo.

Proof: Si I es un ideal maximal de R, R/I es un cuerpo y por tanto un dominio de integridad, lo que implica que I es un ideal primo.

5. BIBLIOGRAFíA

⋆ J. B. Fraleigh, “A First Course in Abstract Algebra”. Addison-Wesley Publishing Company (1982).

⋆ W. Keith Nicholson, “Introduction to Abstract Algebra”. J. Wesley & Sons Publishing Company (1999).