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%%% el nombre
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\def\headimpar{\hskip 4truecm{\rm Curso de Introducci\'{o}n al µlgebra  (2005-2006)
\hfill \folio}}
\def\headpar{\folio \hskip 7truecm{\rm  Tema \number\Temacount }\hfill}
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\Tema{\cuatro}{TEMA 4} \vskip 1truecm

\parrafo{Introducci\'{o}n}

En este capitulo vamos a introducir la estructura cociente. En el cuatrimestre anterior se ha estudiado esta noci\'{o}n en el contexto de
grupos, apareciendo la noci\'{o}n de subgrupo normal: Dado un grupo $G$ y un subgrupo $N$, se podia construir la estructura cociente $Q/N$ si y
s\'{o}lo si $N$ era subgrupo normal de $G$.

Dado un anillo $R$ y una relaci\'{o}n de equivalencia $\cong$ en $R$ vamos a definir una estructura de anillo en el conjunto cociente
$R/\cong$, en donde la suma y el producto queden definidos por: $$\eqalign{\bar x+\bar y:&=\overline{x+y}\cr \bar x \bar y:&=\overline{x
y}}$$
 {\bf Nota:} Lo cual, al igual que en el caso de grupos, significa ``buscar" cuales son las relaciones de equivalencia compatibles con las
 operaciones del anillo.

Si consideramos $G$ un grupo con elemento neutro $e$ y $\cong$ una relaci\'{o}n en $G$ que de estructura de grupo al cociente, tenemos:

-- La clase del elemento neutro $[e]$, es cerrada para la suma: $[e]+[e]=[e]$.

-- Si $x\in [e]$, $x^{-1}\in [e]$: si $x\in [e]$, $[e]=[e][e]=[x][x^{-1}]=[e][x^{-1}]=[x^{-1}]$. Por lo que $[e]$ resulta ser un subgrupo.

-- $[e]$ es un subgrupo normal de $G$: dado $x\in [e]$ e $y\in G$, $[yxy^{-1}]=[y][x][y^{-1}]=[y][e][y^{-1}]=[y][y^{-1}]=[e]$. Por lo que
$yxy^{-1}\in [e]$.

Por \'{u}ltimo, si definimos la relaci\'{o}n: dados $x,y\in G$ diremos que $x\equiv y$  si y solo si $xy^{-1}\in [e]$. Resulta que la clases de
equivalencia de $\cong$ y $\equiv$ coinciden, por lo que son la misma relaci\'{o}n de equivalencia. As\'{\i},  se introduce la estructura cociente
de un grupo $G$ respecto de un cierto subgrupo normal $N$.

Veamos que sucede en teor\'{\i}a de anillos.

\parrafo{Ideales de un anillo}

Sea $R$ un anillo y  $\cong$ una relaci\'{o}n de equivalencia  en $R$. Queremos definir  una estructura de anillo en el conjunto cociente
$R/\cong$, en donde la suma y el producto queden definidos por: $$\eqalign{\bar x+\bar y:&=\overline{x+y}\cr \bar x \bar y:&=\overline{x
y}}$$

Tenemos que $(R/\cong,+)$ va a tener estructura de grupo, por lo que las \'{u}nicas posibles relaciones de equivalencia vienen dadas a partir
de subgrupos normales de $(R,+)$.

{\bf Nota:} Como $(R,+)$ es un grupo abeliano, cualquier subgrupo de $R$ es un subgrupo normal.

Sea $R$ un anillo,  $I$ un subgrupo de $R$ y $\cong$ la relaci\'{o}n $x\cong y$ si y solo si $x-y\in I$. Supongamos que $R/\cong$ tiene
estructura de anillo. entonces:

-- Dado $x\in R$, $y\in I$, $[x][y]=[0][y]=[0]$, $[y][x]=[y][0]=[0]$. Por lo que para todo $x\in R$, $y\in I$, $xy,yx\in I$.

Veamos que \'{e}sta es la condici\'{o}n que nos faltaba.

\re{\deideal}{Def} Sea $R$ un anillo. Se dice que $I\subset R$ es un {\bf ideal} de $R$ si $I$ es un subanillo de $R$ tal que para todo
$x\in R$, $y\in I$, $xy,yx\in I$.\endre

\re{\ejemideal}{Ejemplos} --- Sea $R$ un anillo, entonces $R$ y $\{0\}$ son siempre ideales de $R$ (llamados triviales).

--- Sea $\bbb Z$ el anillo de los enteros. Entonces para cada $n\in {\bbb N}$ el conjunto $n{\bbb Z}$ es un ideal de $\bbb Z$.


\re{\proi}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo e $I$ un ideal de $R$. Entonces si $I$ contiene un elemento inversible  de $R$, $I=R$. Por tanto
los \'{u}nicos ideales de un anillo de divisi\'{o}n son los triviales.\endre


\re{\prococi}{Teorema} Sea $R$ un anillo e $I$ un ideal de $R$. Entonces:
\item{(i)} La relaci\'{o}n $x\cong y$ si y solo si $x-y\in I$ es de equivalencia.
\item{(ii)} $(R/\cong,+,\ )$ con las operaciones $$\eqalign{\bar x+\bar y:&=\overline{x+y}\cr \bar x \bar y:&=\overline{x y}}$$ tiene estructura de
anillo.

El anillo anterior se denota por $R/I$ y se llama el {\bf anillo cociente de $R$ sobre $I$}. \endre

Asociado a cada estructura hay asociado un homomorfismo, en el caso de anillos de cocientes no iba a ser menos:



\re{\defproy}{Def} Sea $R$ un anillo y $I$ un ideal de $R$. Entonces la aplicaci\'{o}n $\pi: R\to R/I$ definida por $\pi(r)=[r]$ es un
epimorfismo de anillos (llamado el epimorfismo de {\bf proyecci\'{o}n} de $R$ en $R/I$).\endre

\re{\primerriso}{Teorema (Propiedad fundamental del cociente)} Sean $R$ y $R'$ dos anillos y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Sea
$I$ un ideal de $R$ tal que $I\subset \Ker(f)$. Entonces la aplicaci\'{o}n $\bar f:R/I\to R'$ definida por $\bar f(\bar x):=f(x)$ es un
homomorfismo de anillos. \endre


\re{\primeriso}{Teorema (primer teorema de Isomorf\'{\i}a)} Sean $R$ y $R'$ dos anillos y $f:R\to R'$ un homomorfismo de anillos. Entonces:
\item{(i)} $\Ker(f)\triangleleft R$.
\item{(ii)} $R/\Ker(f)\cong Im(f)$. Es m\'{a}s, la aplicaci\'{o}n $\bar f:R/\Ker(f)\to Im(f)$ definida por $\bar f([x]):=f(x)$ es un isomorfismo de
anillos.\endre


\re{\ejencociente}{Ejemplo} Sea $\bbb Z$ el anillo de los enteros y $n\in {\bbb N}$. Entonces ${\bbb Z}/n{\bbb Z}\equiv {\bbb Z}_n$.\endre

\re{\deflado}{def} Sea $R$ un anillo. Se dice que $I$ es un ideal por la izquierda de $R$ y se representa por $I\triangleleft_l R$ si $I$
es un subanillo de $R$ tal que para todo $x\in R$, $y\in I$, $xy\in I$. Se dice que $I$ es un ideal por la derecha de $R$ y se representa
por $I\triangleleft_r R$ si $I$ es un subanillo de $R$ tal que para todo $x\in R$, $y\in I$, $yx\in I$.

Nos va a interesar construir ideales a partir de elementos. El siguiente teorema nos dice como.

\re{\conside}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo y $x\in R$. Entonces:
\item{(i)} $Rx=\{ax\ \vert\ a\in R\}$ es un ideal por la izquierda de $R$. Si $R$ es unitario $x\in Rx$.
\item{(ii)} $Rx+{\bbb Z}x$ es un ideal por la izquierda de $R$ que contiene a $x$. Es m\'{a}s, \'{e}ste es es el ideal por la izquierda m\'{a}s peque\~{n}o de $R$
que contiene a $x$.
\item{(iii)} $xR=\{xa\ \vert\ a\in R\}$ es un ideal por la derecha de $R$. Si $R$ es unitario $x\in xR$.
\item{(iv)} $xR+{\bbb Z}x$ es un ideal por la derecha de $R$ que contiene a $x$. Es m\'{a}s, \'{e}ste es es el ideal por la derecha  m\'{a}s peque\~{n}o de $R$
que contiene a $x$.
\item{(v)} $RxR=\{\sum_{finita} a_ixb_i\ \vert\ a_i,b_i\in R\}$ es un ideal de $R$. Si $R$ es unitario, $x\in RxR$.
\item{(vi)} $RxR+Rx+xR+{\bbb Z}x$ es un ideal de $R$ que contiene a $x$. Es m\'{a}s, \'{e}ste es es el ideal m\'{a}s peque\~{n}o de $R$
que contiene a $x$.\endre

\re{\proidII}{Proposici\'{o}n} Sea $R$ un anillo y $I_1,I_2$ dos ideales (ideales por la izquierda, por la derecha) de $R$. Entonces:
\item{(i)} $I_1\cap I_2$ es un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de $R$.
\item{(ii)} $I_1+ I_2$ es un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de $R$.
\item{(iii)} $I_1 I_2:=\{\sum y_iy_i'\ \vert\ y_i\in I_1, y_i'\in I_2\}$ es un ideal (ideal por la izquierda, por la derecha) de $R$.

Es m\'{a}s, si $I_1,I_2$ son ideales de $R$, entonces $I_1I_2\subset I_1\cap I_2\subset I_1+I_2$.

\re{\segiso}{Teorema} Sea $R$ un anillo e $I_1,I_2$ dos ideales de $R$. Entonces:
\item{(i)} $I_1,I_2$ son ideales de $I_1+I_2$ y $I_1\cap I_2$ es ideal tanto de $I_1$ como de $I_2$.
\item{(ii)} $I_1+I_2/I_1\cong I_2/\cap (I_1\cap I_2)$.\endre

\re{\teriso}{Teorema} Sea $R$ un anillo e $I_1\subset I_2$ dos ideales de $R$. Entonces:
\item{(i)} $I_1/I_2$ es un ideal de $R/I_2$.
\item{(ii)} $(R/I_2)/(I_1/I_2)\cong R/I_1$.\endre


\parrafo{Subcuerpo primo}

En esta secci\'{o}n vamos a ver que todo anillo de divisi\'{o}n $\Delta$ contiene como subanillo a ${\bbb Z}_p$ o a $\bbb Q$. M\'{a}s precisamente:

\re{\teosubcuer}{Teorema} Sea $\bbb F$ un cuerpo. Entonces:
\item{(i)} Si $\bbb F$ tiene caracter\'{\i}stica cero, ${\bbb Q}\subset {\bbb F}$.
\item{(i)} Si $\bbb F$ tiene caracter\'{\i}stica $p$, ${\bbb Z}_p\subset {\bbb F}$.\endre
A $\bbb Q$ o ${\bbb Z}_p$, con $p$ un n\'{u}mero primo,  se les denomina los subcuerpos primos.

\Proof Sea la aplicaci\'{o}n $f:{\bbb Z}\to {\bbb F}$ definida por $f(n)=1+{\buildrel n \over \cdots}+1=n 1$. Claramente, $f$ es un
homomorfismo de anillos, es m\'{a}s:

$\star$  Si la caracter\'{\i}stica de $\Delta$ es $0$, $f$ es un monomorfismo de anillos, por  lo que aplicado la propiedad fundamental del
cuerpo de fracciones de un dominio de integridad, existe$\bar f:{\bbb Q}\to {\bbb F}$ un monomorfismo de anillos, por lo que se puede
considerar ${\bbb Q}$ contenido en ${\bbb F}$.

$\star$ Si la caracter\'{\i}stica de $\bbb F$ es un n\'{u}mero $p$, (que sabemos que es un n\'{u}mero primo), $\Ker(f)=p{\bbb Z}$ y por el primer
teorema de Isomorf\'{\i}a $${\bbb Z}_p\cong {\bbb Z}/\Ker(f)\cong \Im(f)\subset {\bbb F}.$$ lo que nos demuestra el teorema. \endproof


\parrafo{Ideales primos, ideales maximales}

 Los dos \'{u}ltimos resultados importantes de este tema se van a centrar en teor\'{\i}a de anillos unitarios. No obstante las definiciones se
har\'{a}n de forma general.

\re{\defmax}{Def} Sea $R$ un anillo. Se dice que un ideal  $I$ de $R$ es maximal si $I\ne R$ y dado cualquier ideal $J$ de $R$ tal que
$I\subset J\subset R$ se tiene que $J=I$ o $J=R$.

\re{\procomax}{Teorema} Un ideal $I$ de un anillo conmutativo y unitario $R$ es maximal si y solo si el anillo cociente $R/I$ es un cuerpo.
\endre
\Proof Supongamos que $R/I$ es un cuerpo y sea $J$ un ideal de $R$ distinto de $I$ con $I\subset J$. Entonces, dado $x\in J-I$, $\bar 0\ne
\bar x\in R/I$ y como $R/I$ es un cuerpo, existe $\bar z\in R/I$ tal que $\overline{xz}=\overline 1$. Por tanto, $xz-1=y\in I$ y as\'{\i},
$1=xz-y\in J$, ya que $xz\in J$ y $y\in I\subset J$. Luego $J=R$ al contener a $1$.

Supongamos que $I$ es un ideal maximal de $R$ y sea $\bar 0\ne \bar x\in R/I$. Tenemos entonces que $x\notin I$. Por otro lado, $Rx$ es un
ideal de $R$ que contiene a $x$ (ya que $R$ es conmutativo y unitario) y por tanto $I+Rx$ es un ideal de $R$ que contiene a $I$ y a $x$,
por lo que, por la maximalidad de $I$, $I+Rx=R$. As\'{\i}, existe $y\in I$ y $z\in R$ con $y+zx=1$ o lo que es lo mismo, $\bar x\bar z=\bar 1$
en $R/I$. Luego $R/I$ es un anillo conmutativo y unitario en donde todo elemento no nulo tiene inverso, $R/I$ es un cuerpo.\endproof


\re{\desimple}{Def:} Se dice que un anillo $R$ es simple si los \'{u}nicos ideales que posee son los triviales.\endre

Ya sabemos que los anillos de divisi\'{o}n y en particular los cuerpos son anillos simples. En el caso de anillos conmutativos y unitarios se
tiene el rec\'{\i}proco:


 \re{\cormax}{Corolario} Un anillo conmutativo y unitario $R$ es un cuerpo si y s\'{o}lo si s\'{o}lo posee los ideales
triviales.\endre

\Proof Si $R$ es un cuerpo, $R$ s\'{o}lo tiene los ideales triviales. Si $R$ es un anillo conmutativo y unitario que s\'{o}lo posee los ideales
triviales, $\{0\}$ es un ideal maximal de $R$ y por tanto, $R/\{0\}\cong R$ es un cuerpo.\endproof

Hay ejemplos de anillos simples que no son de divisi\'{o}n:

 \re{\teomatrix}{Teorema} Sea $R$ un anillo y $n\in {\bbb N}$. Entonces $\cal I$ es
un ideal de ${\cal M}_n(R)$ si y solo si ${\cal I}={\cal M}_n(I)$ para $I$ un ideal de $R$. \endre

\Proof Sea $I$ un ideal de $R$. Entonces ${\cal M}_n(I)$ es un ideal de ${\cal M}_n(R)$:

$\star$ $({\cal M}_n(I),+)$ es un grupo abeliano: dados $(y_{ij})_{ij=1}^n, (y'_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$,

\item{--} $(y_{ij})_{ij=1}^n+ (y'_{ij})_{ij=1}^n=(y_{ij}+y'_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$.

\item{--} $(0_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$

\item{--} El opuesto de $(y_{ij})_{ij=1}^n$ es $(-y_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$

$\star$ Veamos que es un ideal: dados $(y_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$ y $(x_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(R)$,

\item{--} $(x_{ij})_{ij=1}^n (y_{ij})_{ij=1}^n=(\sum_{k=1}^n x_{ik}y_{kj})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$, ya que $x_{ik}y_{kj}\in I$ para
cualesquiera  $i,j,k\in \{1,2,\cdots,n\}$.

\item{--} $(y_{ij})_{ij=1}^n (x_{ij})_{ij=1}^n=(\sum_{k=1}^n y_{ik}x_{kj})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(I)$, ya que $y_{ik}yx_{kj}\in I$ para
cualesquiera  $i,j,k\in \{1,2,\cdots,n\}$.

Sea ahora $\cal I$ un ideal de ${\cal M}_n(R)$. Veamos que existe un ideal $I$ de $R$ tal que ${\cal I}={\cal M}_n(I)$:  denotemos por
$e_{ij}$ la matriz de ${\cal M}_n(R)$ que tiene un uno en el lugar $ij$ y ceros en el resto.

$\star$ Dada una matriz $A=(a_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal M}_n(R)$, $A=\sum_{ij=1}^n e_{ii}Ae_{jj}$: s\'{o}lo hay que darse cuenta que
$e_{ii}Ae_{jj}$ es la matriz que tiene a $a_{ij}$ en el lugar $ij$ y ceros en el resto.

$\star$  Si $Y=(x_{ij})_{ij=1}^n\in {\cal I}$,  y considero $x_{rs}\in R$ la  coordenadas $rs$ de esta matriz, entonces la matriz $A$ que
tiene a $x_{rs}$ en el lugar $r's'$ y ceros en el resto pertenece a $\cal I$: solo hay que darse cuenta que $A=e_{r'r} (x_{rs})_{ij=1}^n
e_{ss'}$.



 Consideremos la
aplicaci\'{o}n
$$\pi_{11}: {\cal M}_n(R)\to R\quad \hbox{definida por}\quad \pi((x_{ij})_{ij=1}^n)=x_{11}.$$
 y sea $I=\pi_{11}({\cal I})$ (el conjunto de las coordenadas 11 de cada matriz de ${\cal I}$).

 Veamos que ${\cal I}\subset {\cal M}_n(I)$: dado $Y\in {\cal I}$, por la propiedad segunda, cada coordenada de $Y$ pertenece a $I$.

 Veamos que ${\cal M}_n(I)\subset {\cal I}$: dada una matriz   $A\in{\cal M}_n(I)$, por la propiedad primera, $A=\sum_{ij=1}^n
  e_{ii}Ae_{jj}$ y por la propiedad segunda cada matriz $e_{ii}Ae_{jj}\in {\cal I}$.\endproof

\re{\teobuen}{Corolario} Sea $R$ un anillo simple y unitario. Entonces para cada $n\in {\bbb N}$, ${\cal M}_n(R)$ es un anillo simple y
unitario. En particular ${\cal M}_n(\bbb F)$ es simple (y no es un cuerpo o un anillo de divisi\'{o}n) para cada cuerpo $\bbb F$.

  En particular ${\cal M}_n(\bbb F)$ es simple (y
no es un cuerpo o un anillo de divisi\'{o}n) para cada cuerpo $\bbb F$.



\re{\deprimo}{Def}  Sea $R$ un anillo. Se dice que un ideal  $I$ de $R$ es primo si $I\ne R$ y para todos $x,y\in R$ tales que  $xy\in I$
se tiene que $x\in I$ o $y\in I$.\endre


\re{\procoprimo}{Teorema} Un ideal $I$ de un anillo conmutativo y unitario $R$ es primo si y solo si el anillo cociente $R/I$ es un dominio
de integridad.\endre

\Proof Supongamos que el anillo cociente $R/I$ es un dominio de integridad y sean $x,y\in R$ con $xy\in I$. Tenemos entonces que $\overline
{xy}=\overline 0$ en el dominio de integridad $R/I$ por lo que o $\bar x=\bar 0$, y as\'{\i} $x\in I$ o $\bar y=\bar 0$, y as\'{\i} $y\in I$.

Supongamos que $I$ es un ideal primo de $R$. Veamos que el anillo cociente $R/I$ es un dominio de integridad. Sean $\bar x,\bar y\in R/I$,
con $\bar x\bar y=\bar 0$. Entonces $\overline{xy}=\bar 0$ y por tanto $xy\in I$. Luego $x\in I$, y as\'{\i} $\bar x=\bar 0$  o $y\in I$, y as\'{\i}
$\bar y=\bar 0$. As\'{\i}, $R/I$ es un anillo conmutativo y unitario sin divisores de cero.\endproof

\re{\corprimo}{Corolario} Sea $R$ un anillo conmutativo y unitario. Entonces todo ideal maximal de $R$ es primo.\endre

\Proof Si $I$ es un ideal maximal de $R$, $R/I$ es un cuerpo y por tanto un dominio de integridad, lo que implica que $I$ es un ideal
primo.\endproof


\parrafo{Bibliograf\'{\i}a}

$\star$ {\bf J. B. Fraleigh}, ``A First Course in Abstract Algebra". Addison-Wesley Publishing Company (1982).


$\star$ {\bf W. Keith Nicholson}, ``Introduction to Abstract Algebra". J. Wesley \& Sons Publishing Company (1999).

\end
