Relación 6 Sección Final

1-. Sea D un dominio de integridad. Sabemos que la noción “ser asociado” es de equivalencia. Demuestra que en el conjunto cociente Q/ ∼ la relación ā|b̄ si a|b (está bien definida) y es una relación de orden.

2-. Sea D un dominio de integridad. Demuestra que D es un cuerpo si y sólo si para todo par de elementos no nulos a, b ∈ D, a ∼ b.

3-. Sea D un dominio de integridad y sea a ∈ D un elemento primo. Demuestra que si b es asociado a a, entonces b es un elemento primo de b.

4-. Sea D un dominio de integridad y sean a, b, c ∈ D. Demuestra que si a = bc y a es asociado con b entonces c es una unidad.

5-. Demuestra que ℤ[X] es un DFU que no es DIP. Nota: Puedes demostrar que I = {p(x) ∈ ℤ[x] | p(0) es par} es un ideal de

ℤ[X] que no es principal.

6-. Sea D un DE y sea 0 ≠ a ∈ D. Demuestra que δ(1) ≤ δ(a). Es más, δ(a) = δ(1) si y sólo si a es inversible.

7-. ¿Todo subanillo unitario de un DFU, DIP o DE es un DFU, DIP o DE? 8-. Sea D un dominio euclídeo y sean a, b ∈ D con b ≠ 0. Demuestra que los

elementos que aparecen c, r ∈ D tales que a = cb + r son únicos.

9-. Demuestra que un dominio de integridad verifica la condición de cadena descendente para ideales si y sólo si D es un cuerpo.

10-. Sea D un DFU y sean a, b, c ∈ D. Supongamos que m.c.d(a, b) = 1 y que a|bc. Demuestra que a|c.

11-. Sea D un dominio de integridad. Demuestra que las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) D es un cuerpo. (ii) D[X] es un dominio euclídeo. (iii) D[X] es un dominio de ideales principales.

12-. Sea D un DE. Si a ∼ b, entonces δ(a) = δ(b). ¿Es cierto el recíproco?