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{\bf{Relaci\'{o}n 6 \hfill Secci\'{o}n Final}}\vskip 0.5truecm

\ejj Sea $D$ un dominio de integridad. Sabemos que la noci\'{o}n ``ser asociado" es de equivalencia. Demuestra que en el
conjunto cociente $Q/\sim$ la relaci\'{o}n $\bar a\vert \bar b$ si $a\vert b$ (est\'{a} bien definida) y es una relaci\'{o}n de
orden.

\ejj Sea $D$ un dominio de integridad. Demuestra que $D$ es un cuerpo si y s\'{o}lo si  para todo par de elementos no nulos
$a,b\in D$, $a\sim b$.

 \ejj Sea $D$ un dominio de integridad y sea $a\in D$ un elemento primo. Demuestra
que si $b$ es asociado a $a$, entonces $b$ es un elemento primo de $b$.


\ejj Sea $D$ un dominio de integridad y sean $a,b,c\in D$. Demuestra que si $a=bc$ y $a$ es asociado con $b$ entonces
$c$ es una unidad.

\ejj Demuestra que ${\bbb Z}[X]$ es un DFU que no es DIP.

{\bf Nota:} Puedes demostrar que $I=\{p(x)\in {\bbb Z}[x]\ \vert\ p(0) \ \hbox{es par}\}$ es un ideal de ${\bbb Z}[X]$
que no es principal.

\ejj Sea $D$ un DE y sea $0\ne a\in D$. Demuestra que $\delta (1)\le \delta(a)$. Es m\'{a}s,  $\delta(a)=\delta(1)$ si y
s\'{o}lo si $a$ es inversible.

\ejj ?`Todo subanillo unitario de un DFU, DIP o DE es un DFU, DIP o DE?

\ejj Sea $D$ un dominio eucl\'{\i}deo y sean $a,b\in D$ con $b\ne 0$. Demuestra que los elementos que aparecen $c,r\in D$
tales que $a=cb+r$ son \'{u}nicos.

\ejj Demuestra que un dominio de integridad verifica la condici\'{o}n de cadena descendente para ideales si y s\'{o}lo si $D$
es un cuerpo.

\ejj Sea $D$ un DFU y sean $a,b,c\in D$. Supongamos que $m.c.d(a,b)=1$ y que $a\vert bc$. Demuestra que $a\vert c$.

\ejj Sea $D$ un dominio de integridad. Demuestra que las siguientes condiciones son equivalentes:
\item{(i)} $D$ es un cuerpo.
\item{(ii)} $D[X]$ es un dominio eucl\'{\i}deo.
\item{(iii)} $D[X]$ es un dominio de ideales principales.

\ejj Sea $D$ un DE. Si $a\sim b$, entonces $\delta(a)=\delta(b)$. ?`Es cierto el rec\'{\i}proco?




\end
