Relación 5 Sección semifinal

1-. Calcula las raíces de p(x) = 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} ∈ ℤ_{5}[X]. 2-. Demuestra que x^{3} + x + 1 es un polinomio irreducible de ℤ_{2}[X]. 3-. ¿Existe algún cuerpo con 8 elementos? Si la respuesta es afirmativa, da

las tablas de multiplicación.

4-. Sea 𝔽 un cuerpo. Sea p(x) = a_{0} +a_{1}x+⋯+a_{n}x^{n} ∈ 𝔽[X]. Demuestra que si 0 ≠ a ∈ 𝔽 es raíz p(x), entonces a^{−1} es raíz de a_{n} + a_{n−1}x + ⋯ + a_{1}x^{n−1} + a_{0}x^{n}

5-. Sea p(x) = 1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + 5x^{4} ∈ ℤ_{p}[X]. Calcula p para que 1 sea raíz de p(x).

6-. Sea p(x) = 1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + ax^{4} ∈ ℝ[X]. Calcula a para que p(x) sea divisible por x − 2.

7-. Sea 𝔽 un cuerpo. Demuestra que si p(x) ∈ 𝔽[X] es una unidad, p(x) = a_{0} (es decir deg(p(x)) = 0) con a_{0} ≠ 0.

8-. Demuestra que en ℤ_{4}[X] hay infinitos elementos inversibles. 9-. ¿Existe un cuerpo 𝔽 y un polinomio p(x) ∈ 𝔽[X] tal que p(a) = 0 para

todo a ∈ 𝔽?.

10-. Sea p(x) ∈ ℝ[X]. Demuestra que si c ∈ ℂ es raíz de p(x) entonces c̄, el conjugado de c también es raíz. Es mas, h(x) = (X − c)(X − c̄) ∈ ℝ[X] y p(x) es divisible por h(x).

11-. Si dos polinomios p(x), q(x) ∈ 𝔽[X] tienes las mismas raíces, ¿Son asociados?

12-. Determina si los siguientes polinomios son irreducibles en ℤ, ℚ, ℝ o ℤ_{2}: p_{1}(x) = X^{2} + 1, p_{2}(x) = x^{4} + x^{2} + 1, p_{3}(x) = 15 + 3X + 6X^{2} + 8X^{2}

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de p_{2}(x) y p_{1}(3) sobre ℝ.

13-. Encuentra un cuerpo con 81 elementos. 14-. Sea 𝔽 un cuerpo y sea p(x) ∈ 𝔽[X]. Encuentra un cuerpo 𝔽′ extensión

de 𝔽 tal que p(x) tenga una raíz. Concluir que dado un polinomio p(x) ∈ 𝔽[X] siempre existe un cuerpo en donde p(x) factoriza.

15-. ¿Un ideal I de 𝔽[X], con 𝔽 un cuerpo, es primo si y sólo si es maximal?