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{\bf{Relaci\'{o}n 5 \hfill Secci\'{o}n semifinal}}\vskip 0.5truecm

\ejj Calcula las ra\'{\i}ces de $p(x)=1+x+x^2+x^3+x^4\in \ZZ_5[X]$.

\ejj Demuestra que $x^3+x+1$ es un polinomio irreducible de $\ZZ_2[X]$.

\ejj ?`Existe alg\'{u}n cuerpo con 8 elementos? Si la respuesta es afirmativa, da las tablas de multiplicaci\'{o}n.

\ejj Sea $\bbb F$ un cuerpo. Sea $p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in {\bbb F}[X]$. Demuestra que si $0\ne a\in {\bbb F}$ es
ra\'{\i}z $p(x)$, entonces $a^{-1}$ es ra\'{\i}z de $a_n+a_{n-1}x+\cdots+a_1x^{n-1}+a_0x^n$

\ejj Sea $p(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4\in \ZZ_p[X]$. Calcula $p$ para que $1$ sea ra\'{\i}z de $p(x)$.

\ejj Sea $p(x)=1+2x+3x^2+4x^3+ax^4\in \RR[X]$. Calcula $a$ para que $p(x)$ sea divisible por $x-2$.

\ejj Sea ${\bbb F}$ un cuerpo. Demuestra que si $p(x)\in {\bbb F}[X]$ es una unidad, $p(x)=a_0$ (es decir
$deg(p(x))=0$) con $a_0\ne 0$.

\ejj Demuestra que en $\ZZ_4[X]$ hay infinitos elementos inversibles.

\ejj ?`Existe un cuerpo $\bbb F$ y un polinomio $p(x)\in {\bbb F}[X]$ tal que $p(a)=0$ para todo $a\in {\bbb F}$?.

\ejj Sea $p(x)\in \RR[X]$. Demuestra que si $c\in \CC$ es ra\'{\i}z de $p(x)$ entonces $\bar c$, el conjugado de $c$ tambi\'{e}n
es ra\'{\i}z. Es mas, $h(x)=(X-c)(X-\bar c)\in \RR[X]$ y  $p(x)$ es divisible por $h(x)$.

\ejj Si dos polinomios $p(x),q(x)\in {\bbb F}[X]$ tienes las mismas ra\'{\i}ces, ?`Son asociados?

\ejj Determina si los siguientes polinomios son irreducibles en $\ZZ,\QQ,\RR$ o $\ZZ_{2}$: $p_1(x)=X^2+1$,
$p_2(x)=x^4+x^2+1$, $p_3(x)=15+3X+6X^2+8X^2$

Calcula el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor y el m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo de $p_2(x)$ y $p_1(3)$ sobre $\RR$.

\ejj Encuentra un cuerpo con $81$ elementos.

\ejj Sea $\bbb F$ un cuerpo y sea $p(x)\in {\bbb F}[X]$. Encuentra un cuerpo ${\bbb F}'$ extensi\'{o}n de $\bbb F$ tal que
$p(x)$ tenga una ra\'{\i}z. Concluir que dado un polinomio $p(x)\in {\bbb F}[X]$ siempre existe un cuerpo en donde $p(x)$
factoriza.

\ejj ?`Un ideal $I$ de ${\bbb F}[X]$, con $\bbb F$ un cuerpo,  es primo si y s\'{o}lo si es maximal?





\end
