TEMA 6.

1. INTRODUCCIÓN

Hemos estudiado a lo largo del curso dos anillos de integridad: ℤ, el anillo de los enteros, y 𝔽[X] con 𝔽 un cuerpo, el anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo, que además de ser dominios de integridad tienen una propiedad muy curiosa: todo elemento se escribe “de forma única” como producto de “primos”. En este tema vamos a estudiar dominios de integridad con esta propiedad, los dominios de factorización única.

2. DEFINICIONES

2.1 Def. Sea D un dominio de integridad. Se dice que u ∈ D es una unidad si u es un elemento inversible de D. Dados a, b ∈ D. Se dice que a divide a b y se representa a|b si existe c ∈ D tal que b = ac.

2.2 Propiedades. Sea D un dominio de integridad y sean a, b, c ∈ D. Entonces:

(i) a|a.

(ii) Si a|b y b|c, entonces a|c.

(iii) Si a|b y a|c, entonces a|xb + yc para todo x, y ∈ ℤ.

2.3 Proposición. Sea D un dominio de integridad y sean a, b ∈ D. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) a|b y b|a.

(ii) Existe u ∈ D una unidad tal que a = ub.

(iii) Da = Db (El ideal generado por a coincide con el ideal generado por b).

Si a, b verifican las condiciones anteriores, se dice que a y b son asociados y se representa por a ∼ b.

2.4 Corolario. Sea D un dominio de integridad. Entonces la relación ∼ es de equivalencia.

2.5 Def. Sea D un dominio de integridad. Se dice que un elemento p ∈ D es irreducible si:

(i) p no es una unidad ni es cero.

(ii) Si p = ab con a, b ∈ D, entonces a o b es una unidad de D.

2.6 Ejemplo. Los números primos de ℤ o los polinomios irreducibles de 𝔽[𝕏], con 𝔽 un cuerpo, son irreducibles.

2.7 Teorema. Sea D un dominio de integridad y sea 0 ≠ p ∈ D que no es unidad. las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) p es irreducible.

(ii) Si d|p, entonces d es inversible o d ∼ p.

(iii) Si p = ab entonces p ∼ a o p ∼ b.

2.8 Corolario. Sea D un dominio de integridad y sean a, b ∈ D con a irreducible. Entonces si b ∼ a, b es irreducible.

2.9 Def. Se dice que un dominio de integridad verifica la condición de cadena ascendente (C.C.A.) para sus ideales principales si toda cadena de ideales principales,

Da_{1} ⊂ Da_{2} ⊂ ⋯ ⊂ Da_{n} ⊂ ⋯

es estacionaria. Es decir, existe k ∈ ℕ tal que Da_{k} = Da_{k+s} para todo s ∈ ℕ.

2.10 Teorema. Sea D un dominio de integridad que satisface C.C.A. para sus ideales principales. Entonces todo elemento de D se puede escribir como producto de elementos irreducibles.

3. DOMINIOS DE FACTORIZACIÓN ÚNICA (DFU)

3.1 Def. Se dice que un dominio de integridad D es un dominio de factorización única si para todo elemento no nulo a ∈ D, con a no inversible se tiene:

(i) a se factoriza como producto de irreducibles.

(ii) Si a = p_{1} ⋯ p_{r} = q_{1}, ⋯ q_{s} con p_{i}, q_{i} irreducibles, entonces r = s y existe σ ∈ S_{r} (el grupo de permutaciones con r elementos) tal que p_{i} es asociado a q_{σ(i)} para i = 1, 2, …, r.

Nota: Sabemos que ℤ y 𝔽[X] son DFU. 3.2 Def. Sea D un dominio de integridad. Se dice que un elemento p ∈ D

es primo si para todo par de elementos a, b ∈ D, si p|ab entonces p|a o p|b.

3.3 Lema. Sea D un dominio de integridad y sean p, a_{1}, …, a_{n} ∈ D. Supongamos que p es primo y divide a a_{1}a_{2} ⋯ a_{n}. Entonces existe k ∈ {1, 2, …, n} tal que p|a_{k}.

3.4 Teorema. En un dominio de integridad D los elementos primos son irreducibles. Es más, si D es un DFU, se tiene el recíproco.

3.5 Teorema. Sea D un dominio de integridad. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) D verifica CCA y todo elemento irreducible de D es primo. (ii) D es un DFU.

3.6 Proposición. Sea D un dominio de factorización única. Sea a ∈ D que factoriza como producto de primos a = p_{1}^{n_{1}} ⋯ p_{k}^{n_{k}}, con n_{i} ∈ ℕ. Entonces los divisores de a, salvo asociados, son de la forma p_{1}^{m_{1}} ⋯ p_{k}^{m_{k}}, con m_{i} ≤ n_{i}.

3.7 Def. Sea D un DFU. y sean a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ D. ⋆ Se define el máximo común divisor de a_{1}, …, a_{n} y se representa por

m.c.d(a_{1}, a_{2}, …, a_{n})

a cualquier d ∈ D con las siguientes propiedades:

(i) d|a_{i} para i = 1, 2, …, n. (ii) Si r|a_{i} para i = 1, 2, …, n, entonces r|d. ⋆ Se define el mínimo común múltiplo a_{1}, …, a_{n} y se representa por

M.C.M(a_{1}, a_{2}, …, a_{n})

a cualquier d′ ∈ D con las siguientes propiedades:

(i) a_{i}|d para i = 1, 2, …, n. (ii) Si a_{i}|r para i = 1, 2, …, n, entonces d|r. ⋆ Es fácil de demostrar que el máximo común divisor y el mínimo común

múltiplo, si existe, son únicos salvo asociados.

3.8 Teorema. Sea D un dominio de factorización única y sean a_{1}, …, a_{n} ∈ D no nulos ni unidades. Sean p_{1}, …, p_{k} elementos primos de D tales que para cada i ∈ {1, …, n}, a_{i} = p_{1}^{n_{1}^{i}} ⋯ p_{k}^{n_{k}^{i}}. Entonces:

(i) m.c.d(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) consiste en el producto de los primos comunes con el menor exponente.

(ii) M.C.M(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) consiste en el producto de los primos comunes y no comunes con el mayor exponente.

Por tanto, dados a, b ∈ D no nulos ni unidades,

a b = m.c.d(a, b) M.C.M(a, b).

Nota: El teorema de Bezout no se tiene que verificar para DFU.

3.9 Teorema. Si D es un DFU, entonces D[X] es un DFU.

4. DOMINIOS DE IDEALES PRINCIPALES (DIP)

Sea D un dominio de integridad, o más generalmente, sea D un anillo conmutativo y unitario. Sabemos entonces que dado a ∈ D el ideal generado por a es Da. (en un anillo arbitrario R es < a >= RaR + Ra + aR + ℤa).

Nota: Durante esta sección denotaremos indistintamente al ideal generado por a como Da o < a >.

4.1 Def. Se dice que un dominio de integridad D es un dominio de ideales principales (DIP) si todo ideal de D es principal, es decir, si I es un ideal de D, existe a ∈ I tal que I = Da.

Nota: Sabemos que ℤ y 𝔽[X] con 𝔽 un cuerpo son dominios de ideales principales: Los ideales de ℤ son de la forma nℤ para n ∈ ℕ y si I es un ideal de 𝔽[X] y p(x) es un polinomio de I con grado mínimo, entonces I =< p(x) >.

4.2 Proposición. Todo DIP verifica CCA para sus ideales.

4.3 Proposición. En un DIP los elementos irreducibles son primos.

4.4 Teorema. Todo DIP es un DFU.

4.5 Proposición. Sea D un DIP y sean a_{1}, …, a_{n} ∈ D no nulos ni inversibles. Entonces:

(i) d = m.c.d(a_{1}, …, a_{n}) si y sólo si Da_{1} + Da_{2} + ⋯ + Da_{n} = Dd.

(i) d = M.C.M(a_{1}, …, a_{n}) si y sólo si Da_{1} ∩ Da_{2} ∩ ⋯ ∩ Da_{n} = Dd. Nota: Como corolario de (i) se obtiene el teorema de Bezout para DIP (recor-

damos que no era cierto para DFU).

4.6 Teorema. Sea D un DIP y sea 0 ≠ p ∈ D. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) p es primo (que es lo mismo que irreducible). (ii) Dp es un ideal maximal de D. (iii) D/Dp es un cuerpo. (iv) D/Dp es un dominio de integridad.

(v) Dp es un ideal primo de D. 4.7 Corolario. Si D es un DIP y I es un ideal no nulo de D, I es un ideal

primo si y sólo si es maximal.

Nota: en un dominio de integridad D, el ideal nulo es siempre primo y no tiene que ser maximal (sólo es maximal si D es un cuerpo).

5. DOMINIOS EUCLíDEOS Cuando trabajamos con ℤ o con 𝔽[X], el anillo de polinomios sobre un cuerpo

𝔽, demostramos que verificaban el “algoritmo de la division”. En esta sección vamos a estudiar dominios de integridad en los que existe, en cierta forma, un algoritmo de la división.

5.1 Def. Sea D un dominio de integridad. Se dice que D es un dominio euclídeo (DE) si existe una función δ : D^{∗} → ℕ tal que:

(i) dados a, b ∈ D con b ≠ 0 existe c, r ∈ D tales que a = cb + r en donde r = 0 o δ(r) < δ(b).

(ii) para todo par de elementos no nulos a, b ∈ D, δ(a) ≤ δ(ab).

Nota: ℤ es un dominio euclídeo en donde δ es el valor absoluto y 𝔽[X], el anillo de polinomios sobre un cuerpo 𝔽 es dominio euclídeo en donde δ es la función grado.

5.2 Teorema. Todo DE es un DIP.

5.3 Teorema. En DE se verifica el algoritmo euclídeo. Es decir,

⋆ dados a, b ∈ D no nulos, si a = cb + r, entonces m.c.d(a, b) = m.c.d(b, r)

Por tanto, la función Euclídea permite un método recursivo para calcular el máximo común divisor de dos elementos no nulos:

Sean a, b dos elementos no nulos de un dominio Euclídeo D. Aplicacos el algoritmo de la división a a, b

a = c_{1}b + r_{1}  Si r_{1} ≠ 0, δ(r_{1}) < δ(b)
b = c_{2}r_{1} + r_{2}  Si r_{2} ≠ 0, δ(r_{2}) < δ(r_{1})
r_{1} = c_{3}r_{2} + r_{3}  Si r_{3} ≠ 0, δ(r_{3}) < δ(r_{2})
⋮
r_{n} = c_{3}r_{n+1} + r_{n+2}  Si r_{n+2} ≠ 0, δ(r_{n+2}) < δ(r_{n+1})

Como δ(b) > δ(r_{1}) > ⋯ > δ(r_{n}) > ⋯, existe un k tal que r_{k} = 0. Para este k se tiene que r_{k−2} = c_{k}r_{k−1} y por la propiedad ⋆

m.c.d(a, b) = m.c.d(b, r_{1}) = ⋯ = m.c.d(r_{k−2}, r_{k_{1}}) = m.c.d(c_{k}r_{k−1}, r_{k_{1}}) = r_{k−1}.

6. EL ANILLO DE LOS ENTEROS DE GAUSS

En esta última sección vamos a estudiar una familia de anillos que aparecen al adjuntar a ℤ un elemento ω ∈ ℂ tal que ω^{2} ∈ ℤ (es decir, ω es solución del polinomio X^{2} − ω^{2} ∈ ℤ[X]).

6.1 Def. Sea ω ∈ ℂ tal que ω^{2} ∈ ℤ y ω ∉ ℤ. Consideremos el subanillo de ℂ generado por ℤ y ω, denotado por ℤ[ω]. Es claro que tienes que contener a ℤ, y a ℤω y a sumas de estos elementos. Es fácil ver que no contiene elementos nuevos:

ℤ[ω] = {n + mω | n, m ∈ ℤ}

Nota: Dado ξ ∈ ℂ consideremos el homomorfismo evaluación Φ_{ξ} : ℤ[X] → ℂ que a cada p(x) ∈ ℤ[X] le hace corresponder p(ξ). Entonces Im Φ_{ξ} ≅ ℤ[ξ] ≅ ℤ[X]/(Ker(Φ_{ξ})).

6.2 Lema. Sea ω ∈ ℂ tal que ω^{2} ∈ ℤ y ω ∉ ℤ. Entonces:

(i) w ∉ ℚ. (ii) Si n + mω = n′ + m′ω ∈ ℤ[ω], entonces n = n′ y m = m′.

Nota: Recordamos el anillo de los enteros de Gauss que corresponde a ℤ[i] con i la raíz imaginaria (i^{2} = −1).

6.3 Def. Sea ω ∈ ℂ tal que ω^{2} ∈ ℤ y ω ∉ ℤ. Consideremos ℤ[ω]: ⋆ Se define el conjugado de un elemento n + mω ∈ ℤ[ω] y se representa por

(n + mω)^{∗} como

(n + mω)^{∗} := n − mω.

⋆ Se define la norma de un elemento n + mω ∈ ℤ[ω] y se representa por N(n + mω) como

N(n + mω) := n^{2} − ω^{2}m^{2}.

6.4 Proposición. Sea ω ∈ ℂ tal que ω^{2} ∈ ℤ y ω ∉ ℤ. Sean a, b ∈ ℤ[ω], entonces:

(i) aa^{∗} = a^{∗}a = N(a) = N(a^{∗}). (ii) (ab)^{∗} = a^{∗}b^{∗} y a^{∗∗} = a. (iii) N(ab) = N(a)N(b). (iv) a es una unidad de ℤ[ω] si y sólo si N(a) = ±1. Además, a^{−1} = N(a) a^{∗}.

(v) N(a) = 0 si y sólo si a = 0. (vi) Si N(a) es un primo de ℤ, entonces a es irreducible en ℤ[ω].

6.5 Teorema. Sea ω ∈ ℂ tal que ω^{2} ∈ ℤ y ω ∉ ℤ. Entonces ℤ[ω] verifica la C.C.A para sus ideales principales. En particular todo elemento de ℤ[ω] factoriza como producto de irreducibles.

6.6 Teorema. Sea ω ∈ ℂ tal que ω^{2} ∈ ℤ y ω ∉ ℤ. Supongamos que para cada r, s ∈ ℚ existen n, m ∈ ℤ tales que

|(r − m) − ω^{2}(s − n)| < 1

Entonces ℤ[ω] es un dominio euclídeo, con función Euclídea δ(a) = |N(a)|. 6.7 corolario. EL anillo de los enteros de Gauss es un dominio euclídeo. Nota: Las unidades de ℤ[i] son ±1, ±i.

Estudiemos ahora cuales son los elementos irreducibles de ℤ[i]. Ya sabemos que dado a = n + mi ∈ ℤ[i], si N(a) es un número primo, a es irreducible.

En primer lugar podríamos pensar que todo primo de ℤ es primo en ℤ[i], pero es falso: 5 = (2 + i)(2 − i) (esta es la factorización de 5 como producto de primos).

6.8 Proposición. Un número primo p ∈ ℤ es primo en ℤ[i] si y sólo si no se puede escribir como suma de dos cuadrados.

Demo: Supongamos que p se puede escribir como suma de dos cuadrados, p = n^{2} + m^{2}. Entonces

p = (n + mi)(n − mi)

en donde n + mi, n − mi si son primos de ℤ[i] (ya que su norma es un número primo).

Supongamos que p = (n + mi)(n′ + m′i), en donde n + mi, n′ + m′i no son unidades. Podemos suponer n, m son primos entre si, entonces:

\begin{aligned}nn′ − mm′ & = p  (∗) \\ nm′ + mn′ & = 0  (∗∗) \end{aligned}

veamos varios casos:

⋆ Si n = 0, entonces p = mi (n′ + m′i) = −mm′ + mn′i, por tanto n′ = 0 y p = −mm′ implica que m o m′ es ±1 (al ser p primo) y n+mi = ±i o n′+m′i = ±i es inversible.

⋆ Si m = 0 llegamos al mismo resultado.

⋆ So n, m son no nulos, entonces nm′ = −mn′, como m.c.d(n, m) = 1, n divide a n′, por lo que n′ = αn, Así, por (∗), nm′ = −n′m = −αnm, por lo que m′ = −αm. Ahora por (∗∗), p = nn′ − mm′ = αn^{2} + αm^{2} = α(n^{2} + m^{2}) y así, como p es un primo de ℤ, o n^{2} + m^{2} = 1 con lo que n + mi sería inversible, o α = ±1 y p = (n + mi)(n − mi) = n^{2} + m^{2}, una suma de cuadrados.

6.9 Lema. Sea p ∈ ℤ un número primo tal que p ≡ 1 (Mod 4). Entonces la ecuación x^{2} + 1 = 0 tiene solución en ℤ_{p}.

Demo: En caso contrario, no habría elementos en ℤ_{p} tales que x^{2} = −1 y como ℤ_{p} es un cuerpo para cada r ∈ ℤ_{p} existiría s ∈ ℤ_{p} con rs = −1 (los podré reordenar a pares), luego si multiplico todos los elementos de ℤ_{p}^{∗},

(p − 1)! ≡ (−1)^{(p−1)/2} (Mod p)

y como p ≡ 1 (Mod 4), (p − 1)/2 es par por lo que

(p − 1)! ≡ 1 (Mod p)

que contradice el teorema de Wilson (p − 1)! ≡ −1 (Mod p).

6.10 Teorema. Sea p ∈ ℤ un número primo. Entonces p es irreducible en ℤ[i] si y sólo si p ≡ 3 (Mod 4).

Demo: Supongamos que p es reducible. Entonces por el teorema anterior p = n^{2} + m^{2} con n, m ∈ ℕ. Si p = 2, p ≡ 2 (Mod 4) y si p es impar, n es par y m es impar o viceversa, podemos suponer n par, por lo que

\begin{aligned}p & ≡ n^{2} + m^{2} ≡ 0 + 1^{1} ≡ 1 (Mod 4) ó, \\ p & ≡ n^{2} + m^{2} ≡ 0 + 3^{3} ≡ 1 (Mod 4) \end{aligned}

Supongamos ahora que p es irreducible y no es congruente con 3 módulo 4. Entonces,

⋆ p no puede ser congruente con cero módulo 4 (ya que es primo).

⋆ Si p ≡ 2 (Mod 4), p = 2 que es reducible, contradicción.

⋆ Luego p ≡ 1 (Mod 4). Tenemos entonces que la ecuación x^{2}+1 ≡ 0 (Mod p) tiene solución por lo que existe u ∈ ℤ tal que u^{2} + 1 es divisible por p, pero en ℤ[i], u^{2} + 1 = (u + i)(u − i) y como es primo, p dividiría a u − i o a u + i, una contradicción.

6.11 Teorema. Sea z = n + mi ∈ ℤ[i], el anillo de los enteros de Gauss. Entonces z es irreducible (y por tanto primo) si y sólo si se verifica una de las siguientes condiciones:

(i) N(z) es un número primo.

(ii) z ∈ ℤ es un número primo con z ≡ 3 (Mod 4) o asociado a éste.

Demo: Por los teoremas anteriores, los elementos que verifican (i) y (ii) son irreducibles. Supongamos ahora que z ∈ ℤ[i] es irreducible y consideremos N(z). Factorizamos N(z) como producto de primos de ℤ y si p es uno de estos primos y es reducible sobre ℤ[i] lo escribimos como p = (n + mi)(n − mi) producto de primos por (i),(con n^{2} + m^{2} = p) luego como z divide a N(z), y es primo tiene que dividir a alguno de estos y por tanto es (salvo equivalencia) uno de estos.

6.12 Veamos un proceso para factorizar un número de Gauss: Consideremos n + mi ∈ ℤ[i].

⋆ Paso primero: calculamos la norma de z.

N(z) = n^{2} + m^{2}

⋆ Paso segundo: factorizamos en ℤ el número entero N(z).

N(z) = p_{1}^{n_{1}} ⋯ p_{k}^{n_{k}}

⋆ Paso tercero: Factorizamos cada uno de los primos que aparecen.

⋆ Paso final: Como N(z) = zz^{∗}, y ℤ[i] es un dominio de factorización única, al ser un dominio euclídeo, de la factorización en primos de N(z) sólo nos tenemos que quedar con los que corresponden a z (que son justamente la mitad).

Nota: Si p_{i} está en la factorización de N(z) y es primo de ℤ[i], por tanto p_{i} ≡ 3 (Mod 4), entonces debe de aparecer elevado a un número par.

7. BIBLIOGRAFíA

⋆ J. B. Fraleigh, “A First Course in Abstract Algebra”. Addison-Wesley Publishing Company (1982).

⋆ W. Keith Nicholson, “Introduction to Abstract Algebra”. J. Wesley & Sons Publishing Company (1999).

⋆ J. Dorronsoro y E. Hernández , “Números, Grupos y Anillos”. Addison-Wesley (1996).