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\def\headimpar{\hskip 4truecm{\rm Curso de Introducci\'{o}n al \'{A}lgebra  (2005-2006)
\hfill \folio}}
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\Tema{\primero}{TEMA 6} \vskip 1truecm

\parrafo{Introducci\'{o}n}

Hemos estudiado a lo largo del curso dos anillos de integridad: $\ZZ$, el anillo de los enteros,  y ${\bbb F}[X]$ con
$\bbb F$ un cuerpo, el anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo, que adem\'{a}s de ser dominios de integridad
tienen una propiedad muy curiosa: todo elemento se escribe ``de forma \'{u}nica" como producto de ``primos". En este tema
vamos a estudiar dominios de integridad con esta propiedad, los dominios de factorizaci\'{o}n \'{u}nica.

\parrafo{Definiciones}

\re{\deI}{Def} Sea $D$ un dominio de integridad. Se dice que $u\in D$ es una unidad si $u$ es un elemento inversible de
$D$. Dados $a,b\in D$. Se dice que $a$ divide a $b$ y se representa $a\vert b$ si existe $c\in D$ tal que $b=ac$.

\re{\proa}{Propiedades} Sea $D$ un dominio de integridad y sean $a,b,c\in D$. Entonces:
\item{(i)} $a \vert a$.
\item{(ii)} Si $a\vert b$ y $b\vert c$, entonces $a\vert c$.
\item{(iii)} Si $a\vert b$ y $a\vert c$, entonces $a\vert xb+yc$ para todo $x,y\in \ZZ$.

\re{\proI}{Proposici\'{o}n} Sea $D$ un dominio de integridad y sean $a,b\in D$. Las siguientes condiciones son
equivalentes:
\item{(i)} $a\vert b$ y $b\vert a$.
\item{(ii)} Existe $u\in D$ una unidad tal que $a=ub$.
\item{(iii)} $Da=Db$ (El ideal generado por $a$ coincide con el ideal generado por $b$).

Si $a,b$ verifican las condiciones anteriores, se dice que $a$ y $b$ son asociados y se representa por $a\sim b$.

\re{\corI}{Corolario} Sea $D$ un dominio de integridad. Entonces la relaci\'{o}n $\sim$ es de equivalencia.

\re{\deII}{Def} Sea $D$ un dominio de integridad. Se dice que un elemento $p\in D$ es irreducible si:
 \item{(i)} $p$ no es una unidad ni es cero.
 \item{(ii)} Si $p=ab$ con $a,b\in D$, entonces  $a$ o $b$ es una unidad de $D$.

\re{\ejem}{Ejemplo} Los n\'{u}meros primos de $\bbb Z$ o los polinomios irreducibles de $\bbb F[X]$, con $\bbb F$ un
cuerpo, son irreducibles.

\re{\theo}{Teorema} Sea $D$ un dominio de integridad y sea $0\ne p\in D$ que no es unidad. las siguientes condiciones son equivalentes:
\item{(i)} $p$ es irreducible.
\item{(ii)} Si $d\vert p$, entonces $d$ es inversible  o $d\sim p$.
\item{(iii)} Si $p=ab$ entonces $p\sim a$ o  $p\sim b$.


\re{\coroII}{Corolario} Sea $D$ un dominio de integridad y sean $a,b\in D$ con $a$ irreducible. Entonces si $b\sim a$,
$b$ es irreducible. \endre

\re{\decca}{Def} Se dice que un dominio de integridad verifica la condici\'{o}n de cadena ascendente (C.C.A.) para sus
ideales principales si toda cadena de ideales principales,
$$Da_1\subset Da_2\subset\cdots\subset Da_n\subset \cdots$$ es estacionaria. Es decir, existe $k\in {\bbb N}$ tal que $Da_k=Da_{k+s}$
para todo $s\in {\bbb N}$.

\re{\Theo}{Teorema} Sea $D$ un dominio de integridad que satisface C.C.A. para sus ideales principales. Entonces todo
elemento de $D$ se puede escribir como producto de elementos irreducibles.

\parrafo{Dominios de factorizaci\'{o}n \'{u}nica (DFU)}
\re{\dedfu}{Def} Se dice que un dominio de integridad $D$ es un dominio de facto\-ri\-zaci\'{o}n \'{u}nica si para todo
elemento no nulo $a\in D$, con $a$ no inversible se tiene:
\item{(i)}  $a$  se factoriza como producto de irreducibles.
\item{(ii)} Si $a=p_1\cdots p_r=q_1,\cdots q_s$ con $p_i,q_i$ irreducibles, entonces $r=s$ y existe $\sigma\in S_r$ (el
grupo de permutaciones con $r$ elementos) tal que $p_i$ es asociado a $q_{\sigma(i)}$ para $i=1,2,\dots,r$.

{\bf Nota:} Sabemos que ${\bbb Z}$ y ${\bbb F}[X]$ son DFU.

\re{\deprimo}{Def} Sea $D$ un dominio de integridad. Se dice que un elemento $p\in D$ es primo si para todo par de
elementos $a,b\in D$, si $p\vert ab$ entonces $p\vert a$ o $p\vert b$.


\re{\lem}{Lema} Sea $D$ un dominio de integridad y sean $p,a_1,\dots, a_n\in D$. Supongamos que $p$ es primo y divide a
$a_1a_2\cdots a_n$. Entonces existe $k\in \{1,2,\dots, n\}$ tal que $p\vert a_k$.

 \re{\theoIII}{Teorema} En un dominio
de integridad $D$ los elementos primos son irreducibles. Es m\'{a}s, si $D$ es un DFU, se tiene el rec\'{\i}proco.


\re{\theoIV}{Teorema} Sea $D$ un dominio de integridad. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\item{(i)} $D$ verifica CCA y  todo elemento  irreducible de $D$ es primo.
\item{(ii)} $D$ es un DFU.


\re{\proI}{Proposici\'{o}n} Sea $D$ un dominio de factorizaci\'{o}n \'{u}nica. Sea $a\in D$ que factoriza como producto de primos
$a=p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$, con $n_i\in {\bbb N}$. Entonces los divisores de $a$, salvo asociados, son de la forma
$p_1^{m_1}\cdots p_k^{m_k}$, con $m_i\le n_i$.

\re{\demcd}{Def} Sea $D$ un DFU. y sean $a_1,a_2,\dots, a_n\in D$.

$\star$ Se define el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor de $a_1,\dots, a_n$ y se representa por $$m.c.d(a_1,a_2,\dots, a_n)$$  a
cualquier $d\in D$ con las siguientes propiedades:
\itemitem{(i)} $d\vert a_i$ para $i=1,2,\dots, n$.
\itemitem{(ii)} Si $r\vert  a_i$ para $i=1,2,\dots, n$, entonces $r\vert d$.

$\star$ Se define el  m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo  $a_1,\dots, a_n$ y se representa por $$M.C.M(a_1,a_2,\dots, a_n)$$  a
cualquier $ d' \in D$ con las siguientes propiedades:
\itemitem{(i)} $a_i\vert d$ para $i=1,2,\dots, n$.
\itemitem{(ii)} Si $a_i\vert  r$ para $i=1,2,\dots, n$, entonces $d\vert r$.

$\star$ Es f\'{a}cil de demostrar que el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor y el m\'{\i}nimo com\'{u}n m\'{u}ltiplo, si existe, son \'{u}nicos salvo asociados.

\re{\themcd}{Teorema} Sea $D$ un dominio de factorizaci\'{o}n \'{u}nica y sean $a_1,\dots, a_n\in D$ no nulos ni unidades.
Sean $p_1,\dots, p_k$ elementos primos de $D$ tales que para cada $i\in \{1,\dots, n\}$, $a_i=p_1^{n_1^i}\cdots p_k^{n_k^i}$. Entonces:
\item{(i)} $m.c.d(a_1,a_2,\dots, a_n)$ consiste en el producto de los primos comunes con el menor exponente.
\item{(ii)} $M.C.M(a_1,a_2,\dots, a_n)$ consiste en el producto de los primos comunes y no comunes con el mayor
exponente.

Por tanto, dados $a,b\in D$ no nulos ni unidades, $$a\ b=m.c.d(a,b)\ M.C.M(a,b).$$

{\bf Nota:} El teorema de Bezout no se tiene que verificar para DFU.

\re{\thefinal}{Teorema} Si $D$ es un DFU, entonces $D[X]$ es un DFU.


\parrafo{Dominios de ideales principales (DIP)}

Sea $D$ un dominio de integridad, o m\'{a}s generalmente, sea $D$ un anillo conmutativo y unitario.   Sabemos entonces que
dado $a\in D$ el ideal generado por $a$   es $Da$. (en un anillo arbitrario $R$ es $<a>=RaR+Ra+aR+{\bbb Z}a$).

{\bf Nota:} Durante esta secci\'{o}n denotaremos indistintamente al ideal generado por $a$ como $Da$ o $<a>$.

\re{\deprin}{Def} Se dice que un dominio de integridad $D$ es un dominio de ideales principales (DIP) si todo ideal de
 $D$ es principal, es decir, si $I$ es un ideal de $D$, existe $a\in I$ tal que $I=Da$.

{\bf Nota:} Sabemos que $\bbb Z$ y ${\bbb F}[X]$ con ${\bbb F}$ un cuerpo son dominios de ideales principales: Los
ideales de $\bbb Z$ son de la forma $n{\bbb Z}$ para $n\in {\bbb N}$ y si $I$ es un ideal de ${\bbb F}[X]$ y $p(x)$ es
un polinomio de $I$ con grado m\'{\i}nimo, entonces $I=<p(x)>$.

\re{\propI}{Proposici\'{o}n} Todo DIP verifica CCA para sus ideales.

\re{\propII}{Proposici\'{o}n} En un DIP los elementos irreducibles son primos.

\re{\tehoIJ}{Teorema} Todo DIP es un DFU.

\re{\prio}{Proposici\'{o}n} Sea $D$ un DIP y sean $a_1,\dots, a_n\in D$ no nulos ni inversibles. Entonces:

\item{(i)} $d=m.c.d (a_1,\dots,a_n)$ si y s\'{o}lo si $Da_1+Da_2+\cdots+Da_n=Dd$.

\item{(i)} $d=M.C.M (a_1,\dots,a_n)$ si y s\'{o}lo si $Da_1\cap Da_2\cap \cdots\cap Da_n=Dd$.


{\bf Nota:} Como corolario de (i) se obtiene el teorema de Bezout para DIP (recordamos que no era cierto para DFU).


\re{\theoH}{Teorema} Sea $D$ un DIP y sea $0\ne p\in D$. Las siguientes condiciones son equivalentes:

\item{(i)} $p$ es primo (que es lo mismo que irreducible).
\item{(ii)} $Dp$ es un ideal  maximal de $D$.
\item{(iii)} $D/Dp$ es un cuerpo.
\item{(iv)} $D/Dp$ es un dominio de integridad.
\item{(v)} $Dp$ es un ideal primo de $D$.


\re{\coro}{Corolario} Si $D$ es un DIP y $I$ es un ideal no nulo de $D$, $I$ es un ideal primo si y s\'{o}lo si es maximal.

{\bf Nota:} en un dominio de integridad $D$, el ideal nulo es siempre primo y no tiene que ser maximal (s\'{o}lo es maximal
si $D$ es un cuerpo).

\parrafo{Dominios eucl\'{\i}deos}

Cuando trabajamos con $\bbb Z$ o con ${\bbb F}[X]$, el anillo de polinomios sobre un cuerpo $\bbb F$, demostramos que
verificaban el ``algoritmo de la division". En esta secci\'{o}n vamos a estudiar dominios de integridad en los que existe,
en cierta forma, un algoritmo de la divisi\'{o}n.

\re{\deDE}{Def} Sea $D$ un dominio de integridad. Se dice que $D$ es un dominio eucl\'{\i}deo (DE) si existe una funci\'{o}n
$\delta:D^*\to {\bbb N}$ tal que:
\item{(i)} dados $a,b\in D$ con $b\ne 0$ existe $c,r\in D$ tales que $a=cb+r$ en donde $r=0$ o $\delta (r)<\delta (b)$.
\item{(ii)} para todo par de elementos no nulos $a,b\in D$, $ \delta (a)\le \delta(ab)$.

{\bf Nota:} $\bbb Z$ es un dominio eucl\'{\i}deo en donde $\delta$ es el valor absoluto y ${\bbb F}[X]$, el anillo de
polinomios sobre un cuerpo ${\bbb F}$ es dominio eucl\'{\i}deo en donde $\delta$ es la funci\'{o}n grado.

\re{\tfhe}{Teorema} Todo DE es un DIP.

\re{\thealg}{Teorema} En DE se verifica el algoritmo eucl\'{\i}deo. Es decir,

$\star$ dados $a,b\in D$ no nulos, si $a=cb+r$, entonces $m.c.d(a,b)=m.c.d (b,r)$

Por tanto, la funci\'{o}n Eucl\'{\i}dea permite un m\'{e}todo recursivo para calcular el m\'{a}ximo com\'{u}n divisor de dos elementos no
nulos:

Sean $a,b$ dos elementos no nulos de un dominio Eucl\'{\i}deo $D$. Aplicacos el algoritmo de la divisi\'{o}n a $a,b$

$$\eqalign{a=c_1b+r_1\quad&\quad \hbox{Si}\quad r_1\ne 0,\quad \delta(r_1)<\delta(b)\cr
b=c_2r_1+r_2\quad&\quad \hbox{Si}\quad r_2\ne 0,\quad \delta(r_2)<\delta(r_1)\cr r_1=c_3r_2+r_3\quad&\quad
\hbox{Si}\quad r_3\ne 0,\quad \delta(r_3)<\delta(r_2)\cr &\quad \ \vdots\cr
  r_n=c_3r_{n+1}+r_{n+2}\quad&\quad
\hbox{Si}\quad r_{n+2}\ne 0,\quad \delta(r_{n+2})<\delta(r_{n+1})}$$ Como
$\delta(b)>\delta(r_1)>\cdots>\delta(r_n)>\cdots$, existe un $k$ tal que $r_k=0$. Para este $k$ se tiene que
$r_{k-2}=c_{k}r_{k-1}$ y por la propiedad $\star$
$$m.c.d(a,b)=m.c.d (b,r_1)=\cdots=m.c.d(r_{k-2},r_{k_1})=m.c.d(c_{k}r_{k-1},r_{k_1})=r_{k-1}.$$

\parrafo{El anillo de los enteros de Gauss}

En esta \'{u}ltima secci\'{o}n vamos a estudiar una familia de anillos que aparecen al adjuntar a $\bbb Z$ un elemento
$\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ (es decir, $\omega$ es soluci\'{o}n del polinomio $X^2-\omega^2\in
{\bbb Z}[X]$).

\re{\anill}{Def} Sea $\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ y $\omega\notin \ZZ$. Consideremos el
subanillo de $\CC$ generado por $\ZZ$ y $\omega$, denotado por $\ZZ[\omega]$. Es claro que tienes que contener a $\ZZ$,
y a $\ZZ \omega$ y a sumas de estos elementos. Es f\'{a}cil ver que no contiene elementos nuevos:
$$\ZZ[\omega]=\{n+m\omega\quad \vert \quad n,m\in \ZZ\}$$

{\bf Nota:} Dado $\xi\in \CC$ consideremos el homomorfismo evaluaci\'{o}n $\Phi_\xi:\ZZ[X]\to \CC$ que a cada $p(x)\in
\ZZ[X]$ le hace corresponder $p(\xi)$. Entonces $\Im\Phi_\xi\cong \ZZ[\xi]\cong \ZZ[X]/(\Ker(\Phi_\xi))$.

\re{\lem}{Lema} Sea $\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ y $\omega\notin \ZZ$. Entonces:

\item{(i)} $w\notin \QQ$.
\item{(ii)} Si $n+m\omega=n'+m'\omega\in \ZZ[\omega]$, entonces $n=n'$ y $m=m'$.\endre

{\bf Nota:} Recordamos el anillo de los enteros de Gauss que corresponde a $\ZZ[i]$ con $i$ la ra\'{\i}z imaginaria
($i^2=-1$).

\re{\denew}{Def} Sea $\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ y $\omega\notin \ZZ$. Consideremos
$\ZZ[\omega]$:

$\star$ Se define el conjugado de un elemento $n+m\omega\in \ZZ[\omega]$ y se representa por $(n+m\omega)^*$ como
$$(n+m\omega)^*:=n-m\omega.$$

$\star$ Se define la norma de un elemento $n+m\omega\in \ZZ[\omega]$ y se representa por $N(n+m\omega)$ como
 $$N(n+m\omega):=n^2-\omega^2 m^2.$$



\re{\de}{Proposici\'{o}n} Sea $\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ y $\omega\notin \ZZ$. Sean $a,b\in
\ZZ[\omega]$, entonces:

\item{(i)} $aa^*=a^*a=N(a)=N(a^*)$.
\item{(ii)}$(ab)^*=a^*b^*$ y $a^{**}=a$.
\item{(iii)} $N(ab)=N(a)N(b)$.
\item{(iv)}  $a$ es una unidad de $\ZZ[\omega]$ si y s\'{o}lo si  $N(a)=\pm 1$. Adem\'{a}s,  $a^{-1}=N(a)\ a^*$.
\item{(v)} $N(a)=0$ si y s\'{o}lo si $a=0$.
\item{(vi)} Si $N(a)$ es un primo de $\ZZ$, entonces $a$ es irreducible en $\ZZ[\omega]$.

\re{\fgfh}{Teorema} Sea $\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ y $\omega\notin \ZZ$. Entonces
$\ZZ[\omega]$ verifica la C.C.A para sus ideales principales. En particular todo elemento de $\ZZ[\omega]$ factoriza
como producto de irreducibles.

\re{\fgfh}{Teorema} Sea $\omega\in {\bbb C}$ tal que $\omega^2\in {\bbb Z}$ y $\omega\notin \ZZ$. Supongamos que para
cada $r,s\in \QQ$ existen $n,m\in \ZZ$ tales que $$\vert (r-m)-\omega^2(s-n)\vert<1$$ Entonces $\ZZ[\omega]$ es un
dominio eucl\'{\i}deo, con funci\'{o}n Eucl\'{\i}dea $\delta(a)=\vert N(a)\vert$.

\re{\cor}{corolario} EL anillo de los enteros de Gauss es un dominio eucl\'{\i}deo.


{\bf Nota:} Las unidades de $\ZZ[i]$ son $\pm 1,\pm i$.

 Estudiemos ahora cuales son los elementos irreducibles de
$\ZZ[i]$. Ya sabemos que dado $a=n+mi\in \ZZ[i]$, si $N(a)$ es un n\'{u}mero primo, $a$ es irreducible.

En primer lugar podr\'{\i}amos pensar que todo primo de $\ZZ$ es primo en $\ZZ[i]$, pero es falso: $5=(2+i)(2-i)$ (esta es
la factorizaci\'{o}n de $5$ como producto de primos).

\re{\lde}{Proposici\'{o}n} Un n\'{u}mero primo  $p\in \ZZ$ es primo en $\ZZ[i]$ si y s\'{o}lo si no se puede escribir como suma de
dos cuadrados.\endre

{\bf Demo:} Supongamos que $p$ se puede escribir como suma de dos cuadrados, $p=n^2+m^2$. Entonces $$p=(n+mi)(n-mi)$$
en donde $n+mi, n-mi$ si son primos de $\ZZ[i]$ (ya que su norma es un n\'{u}mero primo).

Supongamos que $p=(n+mi)(n'+m'i)$, en donde $n+mi$, $n'+m'i$ no son unidades. Podemos suponer $n,m$ son primos entre
si, entonces:
$$\eqalign{ nn'-mm'&=p\qquad \ (*)\cr nm'+mn'&=0\qquad (**)}$$

veamos varios casos:

$\star$ Si $n=0$, entonces $p=mi\ (n'+m'i)=-mm'+mn'i$, por tanto $n'=0$ y $p=-mm'$ implica que  $m$ o $m'$ es $\pm 1$
(al ser $p$ primo) y $n+mi=\pm i$ o $n'+m'i=\pm i$ es   inversible.

$\star$ Si $m=0$ llegamos al mismo resultado.

$\star$  So $n,m$ son no nulos, entonces $nm'=-mn'$, como $m.c.d(n,m)=1$, $n$ divide a $n'$, por lo que $n'=\alpha n$,
As\'{\i}, por $(*)$, $nm'=-n'm=-\alpha nm$, por lo que $m'=-\alpha m$. Ahora por $(**)$,  $p=nn'-mm'=\alpha n^2+\alpha
m^2=\alpha(n^2+m^2)$ y as\'{\i}, como $p$ es un primo de $\ZZ$, o $n^2+m^2=1$ con lo que $n+mi$ ser\'{\i}a inversible, o
$\alpha=\pm 1$ y $p=(n+mi)( n-mi)=n^2+m^2$, una suma de cuadrados.\hfill \endproof

\re{\lem}{Lema} Sea $p\in \ZZ$ un n\'{u}mero primo tal que $p\equiv 1\ (\hbox{Mod } 4)$. Entonces la ecuaci\'{o}n $x^2+1=0$
tiene soluci\'{o}n en $\ZZ_p$.

{\bf Demo:} En caso contrario, no habr\'{\i}a elementos en $\ZZ_p$ tales que $x^2=-1$ y como $\ZZ_p$ es un cuerpo para cada
$r\in \ZZ_p$ existir\'{\i}a $s\in \ZZ_p$ con $rs=-1$ (los podr\'{e} reordenar a pares), luego si multiplico todos los elementos
de $\ZZ_p^*$, $$(p-1)!\equiv (-1)^{(p-1)/2} \ (\hbox{Mod }p)$$ y como $p\equiv 1\ (\hbox{Mod } 4)$, $(p-1)/2$ es par
por lo que  $$(p-1)!\equiv 1 \ (\hbox{Mod }p)$$ que contradice el teorema de Wilson $(p-1)!\equiv -1 \ (\hbox{Mod
}p)$.\endproof

\re{\je}{Teorema} Sea $p\in \ZZ$ un n\'{u}mero primo. Entonces $p$ es irreducible en $\ZZ[i]$ si y s\'{o}lo si $p\equiv 3\
(\hbox{Mod } 4)$.

{\bf Demo:} Supongamos que $p$ es reducible. Entonces por el teorema anterior $p=n^2+m^2$ con $n,m\in \NN$. Si $p=2$,
$p\equiv 2\ (\hbox{Mod } 4)$ y si $p$ es impar, $n$ es par y $m$ es impar o viceversa, podemos suponer $n$ par, por lo
que
$$\eqalign{ p&\equiv n^2+m^2\equiv 0+1^1\equiv 1 \ (\hbox{Mod }4)\qquad \hbox{\'{o},}\cr p&\equiv n^2+m^2\equiv 0+3^3\equiv 1 \ (\hbox{Mod }4)\ }$$

Supongamos ahora que $p$ es irreducible y no es congruente con 3 m\'{o}dulo 4. Entonces,

$\star$ $p$ no puede ser congruente con cero m\'{o}dulo 4 (ya que es primo).

$\star$ Si $p\equiv 2\ (\hbox{Mod } 4)$, $p=2$ que es reducible, contradicci\'{o}n.

$\star$ Luego $p\equiv 1\ (\hbox{Mod } 4)$. Tenemos entonces que la ecuaci\'{o}n $x^2+1\equiv 0\ (\hbox{Mod }p)$ tiene
soluci\'{o}n por lo que existe $u\in \ZZ$ tal que $u^2+1$ es divisible por $p$, pero en $\ZZ[i]$, $u^2+1=(u+i)(u-i)$ y como
es primo, $p$ dividir\'{\i}a a $u-i$ o a $u+i$, una contradicci\'{o}n.\endproof


\re{\theo}{Teorema} Sea $z=n+mi\in \ZZ [i]$, el anillo de los enteros de Gauss. Entonces $z$ es irreducible (y por
tanto primo)  si y s\'{o}lo si se verifica una de las siguientes condiciones:
\item{(i)} $N(z)$ es un n\'{u}mero primo.
\item{(ii)} $z\in \ZZ$ es un n\'{u}mero primo con $z\equiv 3 \ (\hbox{Mod } 4)$ o asociado a \'{e}ste.

{\bf Demo:} Por los teoremas anteriores, los elementos que verifican (i) y (ii) son irreducibles. Supongamos ahora que
 $z\in \ZZ[i]$ es irreducible y consideremos $N(z)$. Factorizamos $N(z)$ como producto de primos de $\ZZ$ y si $p$ es
 uno de estos primos y es reducible sobre $\ZZ[i]$ lo escribimos como $p=(n+mi)(n-mi)$ producto de primos por (i),(con $n^2+m^2=p$)
 luego como $z$ divide a $N(z)$, y es primo tiene que dividir  a alguno de estos y por tanto es (salvo equivalencia) uno de
 estos.\endproof


\re{\pro}{} Veamos un proceso para factorizar un n\'{u}mero de Gauss: Consideremos $n+mi\in \ZZ[i]$.

\item{$\star$} Paso primero: calculamos la norma de $z$.
$$N(z)=n^2+m^2$$

\item{$\star$} Paso segundo: factorizamos en $\ZZ$ el n\'{u}mero entero $N(z)$.
$$N(z)=p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$$

\item{$\star$} Paso tercero: Factorizamos cada uno de los primos que aparecen.

\item{$\star$} Paso final: Como $N(z)=zz^*$,  y $\ZZ[i]$ es un dominio de factorizaci\'{o}n \'{u}nica, al ser un dominio
eucl\'{\i}deo, de la factorizaci\'{o}n en primos de $N(z)$ s\'{o}lo nos tenemos que quedar con los que corresponden a $z$ (que son
justamente la mitad).

{\bf Nota:} Si $p_i$ est\'{a} en la factorizaci\'{o}n de $N(z)$ y es primo de $\ZZ[i]$, por tanto $p_i\equiv 3\ (\hbox{Mod
}4)$, entonces debe de aparecer elevado a un n\'{u}mero par.


\parrafo{Bibliograf\'{\i}a}

$\star$ {\bf J. B. Fraleigh}, ``A First Course in Abstract Algebra". Addison-Wesley Publishing Company (1982).


$\star$ {\bf W. Keith Nicholson}, ``Introduction to Abstract Algebra". J. Wesley \& Sons Publishing Company (1999).


$\star$ {\bf J. Dorronsoro y E. Hern\'{a}ndez }, ``N\'{u}meros, Grupos y Anillos". Addison- Wesley (1996).


 \end
