
\centerline{\granbf   Introducci\'on }




\vskip .5true in


% D\'onde est\'a situada la asignatura.

% El car\'acter optativo, lo que le da





El presente programa ha sido pensado para ser impartido en una asignatura \linebreak optativa, de 15
cr\'editos, del segundo ciclo
 de la Licenciatura de Matem\'aticas  de la Universidad de M\'alaga
denominada Teor\'\i a de Anillos.

Gracias a su car\'acter optativo de segundo ciclo, los alumnos matriculados en esta asignatura
suelen no s\'olo haberse enfrentado a asignaturas propias del \'algebra sino a tener una clara
predilecci\'on por \'estas. Nos encontramos con alumnos que han cursado, normalmente, las siguientes
asignaturas:

-- {\it Estructuras algebraicas}, asignatura troncal de primer curso, en donde se estudia en un
primer cuatrimestre teor\'\i a de grupos y en un segundo cuatrimestre teor\'\i a de anillos. En esta
asignatura se ven las construcciones de generaci\'on de nuevos grupos  (anillos) a partir de
otros como pueden ser los subgrupos (subanillos), las sumas directas, los productos directos, as\'\i
\ como las estructuras cociente. Se ven los primeros  teoremas de clasificaci\'on: se determinan los
grupos abelianos finitos y los finitamente generados, llegando   a
resultados complejos como pueden ser, en el primer cuatrimestre,  los Teoremas de Sylow y, en el
segundo cuatrimestre, el estudio de los dominios de ideales principales y los dominios de
factorizaci\'on
\'unica.

-- {\it \'Algebra y Geometr\'\i a},  asignatura troncal de primer curso, en donde se estudian  los
espacios vectoriales, las aplicaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales.
Nos encontramos aqu\'\i\ con que se insiste en los conceptos de subestructura, de suma directa,
producto directo y de estructura cociente.

-- {\it \'Algebra Cl\'asica}, asignatura troncal de tercer curso, en donde  se estudian\linebreak
fundamentalmente  extensiones de cuerpos. Con esta asignatura los alumnos aprenden c\'omo ciertos
problemas de la matem\'atica pueden ser extrapolados de una rama de la matem\'atica a otra para ser
resueltos. As\'\i, con no muchas nociones de extensiones de cuerpos se resuelven los tres problemas
griegos de si es posible duplicar el cubo,  trisecar el \'angulo, o cuadrar el c\'\i rculo. As\'\i\
como, gracias al Teorema de Galois, \linebreak calcular todos los cuerpos intermedios de ciertas
extensiones de cuerpos determinando los subgrupos de un cierto subgrupo finito.

-- {\it \'Algebra homol\'ogica}, optativa de tercer curso, en donde estudia por primera
vez la noci\'on de categor\'\i a. Se introducen   los funtores derivados  y m\'as concretamente los
funtores $Ext$ y $Tor$ estudi\'andose la cohomolog\'\i a de grupos y de \'algebras.


El proyecto que aqu\'\i\  presentamos gira b\'asicamente en torno a la teor\'\i a de
\linebreak estructura de los anillos asociativos, no necesariamente conmutativos o unitarios. Nos
interesar\'a, no s\'olo el conjunto de resultados obtenidos, sino tambi\'en introducir al alumno en
los conceptos propios del \'algebra y obtener de \'el una respuesta activa  que le impulse a
preguntarse el porqu\'e de cada cosa.


La teor\'\i a moderna de anillos comienza cuando J.H.M. Wedderburn, en 1907,  demuestra su
teorema de clasificaci\'on de  las
\'algebras  semisimples de dimensi\'on finita sobre  cuerpos (Wedderburn define el radical de un
\'algebra de dimensi\'on finita  como el mayor ideal nilpotente del \'algebra; cuando \'este  es cero
llama al
\'algebra  semisimple). Veinte a\~nos mas tarde, en 1927, E. Noether y E. Artin introducen las
condiciones de cadena ascendentes (CCA) y descendentes (CCD) para ideales por la izquierda y Artin
extiende  los m\'etodos desarrollados por Wedderburn a la clase de los anillos que verificaban CCA y
CCD para ideales por la izquierda (actualmente s\'olo CCD, ya que por el Teorema de Hopkins-Levitzki
CCD implica CCA) demostrando que en estas
\'algebras tambi\'en exis\-te un ideal nilpotente maximal, por lo que sigue teniendo sentido el
ra\-dical definido por Wedderburn, y obteniendo un teorema de estructura, an\'alogo al
de Wedderburn, para anillos con radical cero que verifican CCA y CCD.

%(Lan I Pag 1)
En esencia el  Teorema de Wedderburn-Artin determina la clase de los anillos
semisimples
 en funci\'on de una clase m\'as ``simple" de anillos, los anillos de divisi\'on.



La teor\'\i a general de clasificaci\'on de anillos comienza  con el Teorema de Densidad de Jacobson
(que en esencia generaliza el Teorema de Wedderburn-Artin a la clase de los anillos primitivos). El
siguiente paso consiste, usando la noci\'on de producto subdirecto de anillos, en extender el
estudio a  la clase de los anillos semiprimitivos. La \'ultima etapa, pasar de los anillos
semiprimitivos a anillos arbitrarios, conlleva el estudio de distintos radicales, que no son m\'as
que la parte ``mala" del anillo  que hace que sea imposible de ``clasificar". El ``mayor", el radical
de Jacobson, que denotaremos por $rad(R)$, caracteriza a los anillos semiprimitivos; el nilradical
superior, $Nil^*(R)$,  caracteriza a los anillos que no contienen ideales nil y el nilradical
inferior, $Nil_*(R)$,   determina qu\'e anillos son semiprimos.

El procedimiento descrito anteriormente no ha permitido hasta la fecha clasificar completamente los
anillos en general, ya que el estudio de las clases radicales resulta muy complejo. Sin embargo,
s\'\i\  es plenamente satisfactorio en ciertas clases de ani\-llos. As\'\i, si un anillo $R$ es
artiniano se tiene que su radical es nilpotente, que el cociente $R/rad(R)$ es semisimple artiniano y
que se pueden elevar idempotentes m\'odulo
$rad(R)$. Con estas propiedades, aplicando  un teorema similar al de Wedderburn-Artin,  se
determinan estos anillos en funci\'on  de unos  m\'as ``simples", los
anillos locales.


Respecto a la estructura de la asignatura, dividimos  \'esta  en diez temas, cada uno de los
cuales estar\'a a su vez subdividido en lecciones.  Consideramos que una vez finalizado el curso el
alumno debe  tener, a la vez que una clara idea de las distintas clasificaciones que se han hecho
a lo largo del curso,  una amplia gama de anillos que  concreten los conocimientos texnicos
adquiridos. Por tanto,
a  lo largo del curso se ir\'an introduciendo, como ejemplos y contraejemplos de ciertas
propiedades, distintas construcciones de anillos.

Comenzamos con un primer tema dedicado a una teor\'\i a general de m\'odulos. Una vez
introducidas  las definiciones b\'asicas y dadas las primeras construcciones  de
 m\'odulos, se estudian los m\'odulos libres. Una clase m\'as natural de m\'odulos, desde un punto de
vista homol\'ogico, es la de los m\'odulos proyectivos. Estudiamos distintas caracterizaciones
 de m\'odulos proyectivos, algunas de ellas categ\'oricas. Un concepto dual al de m\'odulo
proyectivo, y que nos ser\'a de utilidad a lo largo del curso, es el de m\'odulo inyectivo. Una vez
vista distintas caracterizaciones de m\'odulos inyectivos nos centraremos en demostrar la existencia
(y unicidad) de la envolvente inyectiva de un m\'odulo. Con este resultado construiremos la
envolvente racional de ciertos m\'odulos, lo que nos servir\'a para dar una construcci\'on bastante
as\'eptica del anillo de cocientes por la izquierda maximal de un anillo sin divisores totales de
cero por la derecha. Estudiamos los m\'odulos artinianos y noetherianos, relacion\'andolos con los
m\'odulos de longitud finita, y establecemos el Teorema de refinamiento de Schreier as\'\i\ como el
Teorema de Jordan-H\"older.

 Encaminados al Teorema de Krull-Schmidt introducimos las nociones de
m\'odulo indescomponible y m\'odulo fuertemente indes\-componible.
El Teorema de Krull-Schmidt fue formulado por primera vez para grupos finitos por J.H.M. Wedderburn
en 1909. Su demostraci\'on conten\'\i a un error que fue subsanado por R. Remak en 1911. En 1925, W.
Krull extendi\'o dicho resultado para grupos abelianos con operadores, y por tanto para m\'odulos. En
1928, O. Schmidt  lo prob\'o para grupos arbitrarios con opera\-dores.
En 1932 W. Krull plante\'o la cuesti\'on de si el Teorema seguir\'{\i}a siendo v\'alido para
m\'odulos artinianos. La respuesta, negativa, la dieron Facchini, Herbera, Levy y V\'amos y
fue presentada en el congreso ``Ring Theory Conference" que tuvo lugar en Miskolc, Hungr\'{\i}a,
durante los d\'{\i}as 15 al 20 de Junio de 1996.

Seguimos en el Tema 1 estudiando los m\'odulos simples y semisimples. Caracterizamos \'estos
\'ultimos  como aqu\'ellos que verifican que el ret\'\i culo de sus subm\'odulos es
complementado. Nos centramos por
\'ultimo en el z\'ocalo de un m\'odulo y demostramos que \'este es suma directa de sus componentes
homog\'eneas. Este resultado  llevar\'a a descomponer el z\'ocalo de un anillo como suma directa
de ideales, cada uno de los cuales ser\'a simple y coincidir\'a  con su z\'ocalo.


En el Tema 2 se
introducir\'an los anillos semisimples y se dar\'an distintas carac\-terizaciones, algunas
homol\'ogicas, de los mismos. En una segunda parte se estudiar\'an los anillos de matrices sobre
anillos  unitarios. Relacionando el ret\'{\i}culo de los ideales (resp. ideales por la izquierda)
de un anillo unitario
$R$ con los de
$\Cal M_n(R)$ se demostrar\'a que todo anillo de matrices sobre un anillo de divisi\'on es
simple y artiniano. Es m\'as, por el  Teorema de Wedderburn-Artin, todo anillo simple y artiniano y
``unitario" ser\'a de esta forma. En este punto se ver\'an varios ejemplos de anillos simples no
artinianos: si consideramos
$V$ un espacio vectorial de dimensi\'on nume\-rable y denotamos por
$Q$ a $End(V)$, tenemos que
$R:=Q/Soc(Q)$ es un anillo simple no artiniano. Adem\'as $R$ posee  la peculiaridad de que contiene
dos subanillos
$R^\prime$,
$R^{\prime\prime}$ tales que $R=R^{\prime}\oplus R^{\prime\prime}$ con $R\cong R^\prime$ y
$R^{\prime\prime}\ne 0$. Los anillos que verifican esta propiedad son llamados  puramente
infinitos, estos anillos est\'an siendo actualmente estudiados entre
otros por P. Ara, E. Pardo y K.R. Goodearl (Algebra Conference Venezia 2002).

Introducimos tambi\'en los anillos de polinomios diferenciales, $R[X,\delta]$. Tenemos que
$R[X,\delta]$ es un anillo no conmutativo (salvo cuando $R$ es conmutativo y $\delta$ es la
derivaci\'on nula) que nos ir\'a apareciendo a lo largo del curso. Es m\'as, si $R$ es un anillo
simple de caracter\'{\i}stica cero y $\delta$ no es una derivaci\'on interna, $R[X,\delta]$ es un
anillo simple y unitario que  no es artiniano.

En el Tema 3 empezamos estudiando los anillos primitivos y semiprimitivos. Estos segundos
 quedar\'an caracterizados  como los que son sumas subdirectas de anillos primitivos. Los primeros,
a partir del Teorema de Densidad de Jacobson, podr\'an verse como subanillos densos de
anillos de endomorfismos de espacios vectoriales sobre \linebreak anillos de divisi\'on. La
dimensi\'on de este espacio vectorial caracterizar\'a a los (primitivos y) artinianos, lo que
permitir\'a demostrar entre otros el Teorema de Kaplansky que caracteriza los P.I. anillos primitivos
como anillos de matrices sobre anillos de divisi\'on, \'estos de dimensi\'on finita sobre
su  centro.

Una pregunta que tiene que empezar a aparecer entre los alumnos   es si
las estructuras que aparecen en el Teorema de Densidad de Jacobson son \'unicas  salvo
isomorfismos. Nos encontramos que  en el caso de anillos de polinomios sobre anillos
de divisi\'on,   en el caso de anillos de polinomios asim\'etricos
$K[X,\sigma]$,  as\'\i\ como
en el de  anillos de polinomios diferenciales
$K[X,\delta]$  hay ejemplos de anillos
primitivos por la izquierda sin unicidad, salvo isomorfismos, de estas estructuras.

Estudiamos en este tema los anillos primos y semiprimos, lo que  permite dar nuevas
caracterizaciones de los anillos semisimples y unitarios, esto es, nuevas versiones del Teorema de
Wedderburn-Artin. Cabe destacar que en esta nueva demostraci\'on del Teorema de Wedderburn-Artin
no es necesario en principio trabajar con anillos unita\-rios, por lo que se obtendr\'a como
consecuencia que los anillos
semiprimos y artinianos son unitarios.


Pasamos a estudiar en el Tema 4 una teor\'\i a general de radicales. La idea de radical est\'a ligada
a la teor\'\i a de estructura. La noci\'on de radical proviene, como ya se ha dicho,  de un trabajo de
Wedderburn en donde determina la estructura de ciertas algebras de dimensi\'on finita. En general,
dada una clase de anillos
$\Cal C$ se pretende determinar para cada anillo $R\in \Cal C$   un ideal, $\Cal R(R)$,  tal
que podamos describir  tanto  $\Cal R(R)$ como
$R/\Cal C(R)$.

 En 1953 A.G.  Kurosh y S. Amitsur extraen las nociones generales que subyacen en  la
teor\'\i a de radicales, fundamentando una teor\'\i a axiom\'atica  para el radical. Nos encontramos
entonces con dos subclases dentro de $\Cal C$: la clase de los anillos que coinciden con su radical,
llamada la clase radical, y la clase de los anillos que tienen radical cero, llamada la clase
semisimple, de modo tal que   para cualquier anillo $R\in \Cal C$,
$\Cal R(R)$ es radical y
$R/\Cal R (R)$ es semisimple.
Seg\'un el radical que estudiemos podremos describir con mayor o menor
detalle cada una de estas clases.

Comenzamos estudiando el radical de Jacobson de un anillo.  Demostramos que los anillos con radical
de Jacobson cero son precisamente los semiprimitivos, por lo que quedan descritos via  productos
subdirectos y  Teorema de Densidad de Jacobson. En cuanto a los que coinciden con su radical
quedan descritos como aquellos ani\-llos tales  que todos sus  elementos son casirregulares. En este
segundo caso tenemos una gran variedad de anillos, ya que nos encontramos desde los anillos
nilpotentes hasta algunos   anillos conmutativos sin divisores de cero. En el caso de anillos
arti\-nianos comprobamos que el radical de Jacobson es nilpotente, por lo que tenemos descritas de
forma satisfactoria ambas clases, la radical y la semisimple (en el Tema 7, cuando estudiemos los
anillos semiperfectos, obtendremos una mejor descripci\'on de estos anillos). Para concluir
demostraremos el Teorema de Hopkins-Levitzki que establece que todo anillo unitario y artiniano por la
izquierda es noetheriano por la izquierda.

Introducimos el radical primo o nilradical inferior de un anillo, y caracterizamos los anillos
semiprimos como aqu\'ellos que tienen nilradical inferior cero. Tenemos entonces que el radical
primo est\'a contenido en el radical de Jacobson. Demostramos que el radical primo es un ideal nil,
por lo que queda mejor descrito que el radical de Jacobson. Por contra, los anillos de
nilradical inferior cero, es decir, los semiprimos, son una clase de anillos bastante heterog\'enea.
No obstante, demostramos que el nilradical inferior es la intersecci\'on de todos los ideales primos,
lo que prueba que todo anillo semiprimo es producto subdirecto de anillos primos.

Nos encontramos con anillos que, aun siendo semiprimos, tienen ideales nil. Defini\-mos el
nilradical superior, que resulta ser el mayor ideal nil del anillo y demostramos que el cociente de un
anillo $R$ por su nilradical superior no posee ideales nil.



En relaci\'on con este nilradical
enunciamos la conjetura de K\"othe que afirma, en uno de sus enunciados equivalentes, que el
nilradical superior es el mayor ideal por la izquierda, y por la derecha, nil. Por
\'ultimo observamos  que  los anillos artinianos, as\'\i\ como los conmutativos, verifican dicha
conjetura y demostramos el Teorema de Levitzki que afirma que todo anillo noetheriano por la
izquierda tambi\'en la verifica. En el tema de P.I.  anillos demostraremos que tambi\'en \'estos
verifican la conjetura de K\"othe.
Estudiamos por \'ultimo el radical de Levitzki de un anillo y relacionamos los distintos radicales
estudiados.

 Hasta este momento, aunque no se haya dicho,  nuestra filosof\'\i a ha consistido en parte en
 considerar a los anillos de divisi\'on como los objetos m\'as simples y a la vez m\'as perfectos
con los que se puede trabajar y as\'\i, en temas anteriores, hemos  determinado ciertas clases de
anillos en funci\'on de \'estos. Hecho por el cual pensamos que una teor\'\i a de estructura de
anillos asociativos no est\'a completa si no se hace un estudio en profundidad de dichos anillos de
divisi\'on. Dedicamos el Tema 5 a este estudio.


Cl\'asicamente, los anillos de divisi\'on
se han dividido (valga la redundancia) en dos categor\'{\i}as: los que
tienen dimensi\'on finita sobre su centro y los que no.  En este tema no vamos a hacer ninguna
distinci\'on de este tipo. No obstante, en el Tema 9, cuando estudiemos
los
P.I. anillos primos, veremos que los primeros poseen una estructura
bastante pr\'oxima a los ani\-llos conmutativos, es m\'as,   los anillos de divisi\'on  de dimensi\'on
finita sobre su centro, es decir, los P.I. anillos,
 los veremos  como  subanillos de
anillos de matrices sobre  cuerpos algebraicamente cerrados.

Comenzamos el tema dando algunos ejemplos de  anillos de divisi\'on. Aunque
pueda parecer sorprendente, el
\'unico ejemplo de anillo de divisi\'on no conmutativo que conocen los alumnos hasta este momento
es el de los cuaternios de Hamilton. Nuestra primera  construcci\'on proviene de un trabajo de D.
Hilbert publicado en 1899, que proporcion\'o el primer ejemplo de anillo de divisi\'on de dimensi\'on
infinita sobre su centro. Seguimos con las \'algebras c\'{\i}clicas de L. Dickson, construidas en el
a\~no 1906 y por
\'ultimo construimos los anillos de  Malcev-Neumann, que proporcionan  una clase a\'un m\'as amplia
que las dos anteriores de anillos de divisi\'on. En la siguiente lecci\'on determinamos los ani\-llos
de divisi\'on algebraicos sobre el cuerpo de los reales (Teorema de Frobenius). Para finalizar el
tema damos distintos teoremas de conmutatividad. As\'\i, recordamos el Teorema de Wedderburn, que
demuestra que todo anillo de divisi\'on finito es cuerpo, probamos que todo anillo de divisi\'on
algebraico sobre un cuerpo finito es cuerpo y demostramos el Teorema de Jacobson-Herstein que
establece que un anillo
$R$ tal que para cada par de elementos
$a,b\in R$ existe  $n=n_{(a,b)} \in \Bbb N$ tal que $(ab-ba)^n=ab-ba$, es conmutativo.



En el Tema 6 vamos a estudiar la clase de los anillos semiprimos con z\'ocalo \linebreak esencial.
Recordemos que el  z\'ocalo de un anillo semiprimo es el mayor ideal semi\-simple del anillo y que
los anillos   semisimples y unitarios ya los hemos estudiado en el Tema 2, resultando ser, por
el  Teorema de Wedderburn-Artin, sumas directas finitas de anillos de matrices sobre anillos de
divisi\'on, esto es, sumas directas finitas de ani\-llos de endomorfismos de espacios vectoriales de
dimensi\'on finita sobre anillos de divisi\'on. Si nos centramos en el estudio de los anillos primos
que coinciden con su z\'ocalo  nos encontramos con que \'estos son  una generalizaci\'on bastante
natural de los anillos primos y artinianos,  ya que son   anillos de endomorfismos de
rango finito de  espacios vectoriales  sobre  anillos de divisi\'on. Por
otro lado, los anillos  semiprimos que coinciden con su z\'ocalo son suma directa de los anteriores.
Una relaci\'on m\'as directa de estos \'ultimos   con los anillos semiprimos y artinianos la
proporciona el Teorema de Litoff, que establece  que  para cada subconjunto finito
$X$ de un anillo semiprimo que coincide con su z\'ocalo $R$  existe un idempotente
$e\in R$ tal que $X\subset eRe$, en donde $eRe$ es un subanillo de $R$ semiprimo y artiniano.

Por \'ultimo, los anillos semiprimos con z\'ocalo esencial  son
productos subdirectos de anillos primos con z\'ocalo no nulo, por tanto esencial, y  estos
\'ultimos pueden verse como  subanillos de  anillos de endomorfismos de  espacios vectoriales de
dimensi\'on arbitraria, en donde su z\'ocalo resulta ser el conjunto de los elementos del anillo de
rango finito. Aunque en principio pueda parecer que los anillos semiprimos con z\'ocalo esencial se
han alejado de los semiprimos y artinianos, no es del todo cierto, ya que  cualquier condici\'on de
finitud los convierte en
\'estos, as\'\i,  el car\'acter noetheriano o la dimensi\'on uniforme finita  hace que un
anillo semiprimo con z\'ocalo esencial sea semiprimo y artiniano. Para un anillo semiprimo que
coincide con su z\'ocalo, se pueden ampliar las condiciones anteriores  con tres m\'as:    el poseer
un elemento unidad, el tener un elemento regular, por la izquierda o por la derecha, o el ser
finitamente generado.


Hasta este momento hemos tratado, obteniendo una teor\'\i a bastante satisfactoria,  con anillos de
radical de Jacobson cero. En este tema  daremos un peque\~no bocado a la mara\~na de los anillos
que no son semiprimitivos. Nos preguntaremos en primer lugar qu\'e sucede con los anillos tales que
m\'odulo su radical son semisimples, es decir, los anillos semilocales. Ya estudiamos en el Tema 1
una clase especial de este tipo de anillos, los anillos locales. Comenzamos el Tema 7  estudiando
m\'as en profundidad estos \'ultimos: caracterizamos los anillos locales en distintas formas y
posteriormente, y siguiendo con la idea de que el alumno no debe trabajar en vac\'{\i}o,  damos
distintos ejemplos de tales anillos. Estudiamos entonces los anillos semilocales obteniendo
resultados bastantes interesantes en s\'\i. Cabe destacar que todo anillo semilocal es
Dedekind-finito,  m\'as a\'un, posee rango estable 1. La clase de los anillos
semilocales es demasiado complicada para obtener un teorema de estructura, no obstante, introduciendo
una hip\'otesis adicional, con lo que trabajamos con una clase algo m\'as peque\~na (la de los
anillos semiperfectos)  conseguimos una teor\'\i a de estructura bastante espectacular: demostramos
que todo anillo semiperfecto de cociente simple es isomorfo a un anillo de matrices sobre un anillo
local, en donde  el
\'{\i}ndice de tales matrices, como el anillo local  (salvo isomorfismos) son un invariante, y que
un anillo semiperfecto es, en general, isomorfo a una suma directa de los anillos anteriores junto
con un residuo contenido en el radical de Jacobson del anillo. Es interesante ver  como los anillos
locales juegan en est\'a teor\'\i a  un papel similar al de los anillos de divisi\'on el la
teor\'{\i}a cl\'asica de anillos semisimples. Cabe destacar que todo anillo artiniano es
semiperfecto, por lo que obtenemos un teorema de estructura para la clase de los anillos artinianos.

Comenzamos en el Tema 8 la teor\'\i a cl\'asica de cocientes, con lo que obtendremos, entre otras
cosas, las herramientas necesarias para el estudio de los anillos noethe\-rianos.

Uno de los primeros resultados que un alumno de  \'algebra aprende es c\'omo sumergir un dominio de
integridad (conmutativo) en su cuerpo de fracciones. M\'as tarde, en  teor\'\i a de
 \'algebra conmutativa, aparecen los procesos de localizaci\'on  en donde dado un anillo conmutativo
$R$ y un subconjunto multiplicativamente cerrado $S$ de $R$ existen un  anillo $R_S$ y un
homomorfismo de anillos
$\phi:R\to R_S$ tales que:
\roster
\item $\phi(S)\subset Inv(R_S)$,
\item para cada $q\in R_S$ existe $a\in R$, $s\in S$ tales que
$q=\phi(s)^{-1}\phi(a)$ y
\item $Ker(\phi)=\{r\in R\vert sr=0\text{ para alg\'un } s\in S\}$.
\endroster
El anillo $R_S$ es \'unico salvo isomorfismos y se  denomina la localizaci\'on de $R$ en $S$.

  Es claro
que el caso cl\'asico de envolver un dominio de integridad  en su cuerpo de fracciones corresponde
a la localizaci\'on del dominio $D$ en $D\smallsetminus\{0\}$.

En  caso   de que nuestro anillo no sea
conmutativo  podemos encontrar  fen\'omenos
 extra\~{n}os.
 As\'\i,  nos encontramos con anillos \'\i ntegros que
no pueden ser sumergidos en anillos de divisi\'on. El primer ejemplo, dado por
Malcev en 1937, consiste en tomar el \'algebra semigrupo $\Bbb QH$ en donde $H$ es un  monoide
cancelativo
 que no es submonoide de ning\'un  grupo. Tambi\'en nos encontramos
con el caso contrario: J.L. Fisher proporcion\'o un ejemplo de anillo \'\i ntegro con
infinitas envolturas no isomorfas.

Una condici\'on necesaria y suficiente para que exista la localizaci\'on de un anillo $R$ respecto
de un subconjunto multiplicativamente cerrado $S$ formado por elementos regulares  fue dada por Ore
en la d\'ecada de los 30 del siglo XX, la llamada condici\'on de Ore por la izquierda.
Aproximadamente 20 a\~nos m\'as tarde A. Goldie (y en parte  L. Lesieur y R. Croisot)
caracterizar\'\i a los anillos que son \'ordenes cl\'asicos por la izquierda en anillos semisimples
(unitarios) como aqu\'ellos que son semiprimos, verifican la condici\'on de cadena ascendente para
ideales anuladores por la izquierda y tienen dimensi\'on uniforme por la izquierda finita
(actualmente semiprimos de Goldie por la izquierda).
Como consecuencia importante de este hecho se obtiene la primera herramienta  para el
estudio de los anillos noetherianos por la izquierda, ya que \'estos son de Goldie por la izquierda.

Siguiendo en esta l\'{\i}nea se ha conseguido caracterizar distintas clases de anillos. As\'\i,
Robson y Small caracterizan  los \'ordenes por la izquierda en
anillos artinianos por la izquierda, Johnson caracteriza los anillos no singulares por la izquierda
como aquellos tales que su anillo de cocientes por la izquierda maximal es regular von Neumann y
Gabriel caracteriza los anillos tales que su anillo de cocientes por la izquierda maximal es
semisimple como los no singulares por la izquierda con dimensi\'on uniforme por la izquierda finita.

 En 1990, J. fountain y V. Gould, siguiendo ideas procedentes de
la teor\'\i a de semigrupos, dan una noci\'on de orden (local) en anillos no necesariamente
unitarios y caracterizan los anillos que son \'ordenes Fountain y Gould en anillos semiprimos que
coinciden con su z\'ocalo. M\'as tarde, en 1991, Ahn y M\'arki
extienden dichos resultados para \'ordenes por un la izquierda, as\'\i\ como caracterizan los
\'ordenes Fountain y Gould por la izquierda en anillos primitivos por la izquierda.

Estudiamos en el tema 9 los P.I.  anillos, o anillos que verifican una identidad poli\-n\'omica
m\'onica. \'Estos son una generalizaci\'on de los anillos conmutativos as\'\i\ como de las
\'algebras de dimensi\'on finita, o de cualquier sub\'algebra de \'estas. Demostramos que al igual
que estos los P.I.  anillos verifican la conjetura de K\"othe. Gracias a este hecho demostramos que
todo P.I.  anillo semiprimo es subanillo de un anillo de matrices sobre un anillo conmutativo, lo que
demuestra que todo P.I.  anillo semiprimo verifica una identidad polin\'omica est\'andar, as\'\i\
como que todo
P.I.  anillo primo se puede sumergir en un anillo de matrices sobre un cuerpo. Este
\'ultimo hecho demuestra un resultado que ha sido comentado anteriormente, a saber, que todo anillo
de divisi\'on de dimensi\'on finita sobre su centro (es decir, todo P.I--anillo de divisi\'on)  es
subanillo de un anillo de matrices sobre un cuerpo.

Aunque pueda sorprender en un
principio, el hecho de que un anillo verifique una identidad polin\'omica restringe, en cierta
medida, la capacidad del anillo para ser grande. Prueba de este hecho es  el Teorema de Kaplansky,
que afirma que un P.I. anillo primitivo es un anillo de matrices sobre un anillo de divisi\'on de
dimensi\'on finita sobre su centro. Otra prueba es el Teorema de Posner que asevera que un P.I.
anillo primo es un orden central en uno de los anteriores.

No se puede terminar un curso de teor\'\i a de anillos asociativos sin haber hecho menci\'on a la
noci\'on de categor\'\i a.  El concepto de categor\'\i a fue introducido
por Eilenberg y MacLane en 1945 y permite estudiar de forma simult\'anea una gran
variedad de estructuras matem\'aticas.

Como  los alumnos   han cursado la
asignatura \'algebra homol\'ogica, impartida en el segundo cuatrimestre del tercer curso de la
licenciatura,  ya han trabajado  con categor\'\i as, y por tanto
simplemente recordaremos los conceptos que vamos a necesitar.

Nos vamos a centrar  en desarrollar la llamada Teor\'\i a de Morita. La idea
fundamental de esta teor\'\i a consiste en  asociar a un anillo $R$ su
categor\'{\i}a de m\'odulos por la izquierda (resp. por la derecha) y relacionar propiedades del
anillo
 con propiedades de dicha categor\'\i a.
As\'\i, ya hemos demostrado que   un anillo unitario $R$ es semisimple si y s\'olo si:
\roster
\item     Todo
$R$-modulo por la izquierda es inyectivo.
\item     Todo
$R$-modulo por la izquierda es proyectivo.
\item   El ret\'\i culo de cualquier $R$-m\'odulo es complementado.
\endroster
tenemos tambi\'en que un anillo $R$ es:
\roster
\item"---"  Noetheriano por la izquierda si y s\'olo si toda suma directa finita de $R$-m\'odulos
inyectivos es inyectivo.
\item"---" Artiniano por la izquierda si y s\'olo si todo $R$-m\'odulo inyectivo es suma directa de
envolturas inyectivas de $R$-m\'odulos simples.
\item"---"  regular von Neumann si y s\'olo si todo $R$-m\'odulo es plano.
\endroster

Es l\'\i cito por tanto el pensar que dos anillos cuyas categor\'{\i}as de m\'odulos son
equiva\-lentes est\'an  \'{\i}ntimamente relacionados.

Introducimos la noci\'on de contexto de Morita
y establecemos  los  Teoremas de Morita I, II y III que, entre otras cosas, contestan las
siguientes preguntas:   ?` cu\'ando las categor\'{\i}as $R$-mod y $S$-mod son equivalentes? y
?` c\'omo son los funtores asociados a dichas equivalencias? Como consecuencia de estos
resultados obtenemos  una nueva demostraci\'on del Teorema de Wedderburn-Artin.

Mostramos la
estrecha relaci\'on existente entre dos anillos $R$ y $S$ Morita  equiva\-lentes, a saber,
existen un natural
$n$ y un idempotente pleno $e\in \Cal M_n(R)$ tales que $S\cong e\Cal M_n(R)e$. Como
consecuencia demostramos que un anillo
$R$ es primo (semi\-primo) y artiniano si y s\'olo si es Morita equivalente a un anillo de
divisi\'on (una suma directa finita de anillos de divisi\'on). 