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\TagsOnRight


\topmatter  

\pageno1
\centerline{\granbf   TEMA 1. } 
\vskip .1true in
\centerline{\granbf  MODULOS. }
\vskip .2true in


Lecci\'on 1.- M\'odulos, subm\'odulos, homomorfismos de m\'odulos. Teoremas de isomorf\'{\i}a. \par
Lecci\'on 2.- Sucesiones exactas, sucesiones  exactas cortas. \par
Lecci\'on 3.- M\'odulos libres.\par
Lecci\'on 4.- M\'odulos proyectivos.\par
Lecci\'on 5.- M\'odulos inyectivos. Envolvente inyectiva.\par
Lecci\'on 6.- M\'odulos artinianos y noetherianos. Teorema de J\"ordan-Holder.\par
Lecci\'on 7.- M\'odulos indescomponibles. Lema de Fitting. Teorema de Krull-Schmidt.\par
Lecci\'on 8.- M\'odulos simples. Lema de Schur.\par
Lecci\'on 9.- M\'odulos semisimples. El z\'ocalo de un m\'odulo. \par


\vskip .5true in

\subheading{ M\'odulos, subm\'odulos, homomorfismos de m\'odulos. Teoremas de isomorf\'{\i}a}

El objeto de este tema es estudiar el material b\'asico de la teor\'\i a de m\'odulos. Se introduce
la noci\'on de m\'odulo por la izquierda (resp. por la derecha)
a partir de la acci\'on de un anillo $R$ sobre un grupo abeliano $M$. Seguidamente se demuestra que
dicha noci\'on es equivalente a tener una representaci\'on del anillo $R$ en el anillo de
endomorfismos de un grupo abeliano  $M$. 

Como primeros ejemplos destacamos que los m\'odulos sobre cuerpos son
precisamente los espacios vectoriales,   que los grupos abelianos son precisamente los
$\Bbb Z$-m\'odulos y que   todo anillo unitario $R$ posee, de forma natural,  
estructura de $R$-m\'odulo, tanto por la izquierda como por la derecha. 

Buscando nuevos ejemplos de m\'odulos se introduce la noci\'on de:  \par
--  subm\'odulo y se estudia el
ret\'\i culo de los subm\'odulos de un m\'odulo dado; se comprueba que dicho ret\'\i culo es 
modular y completo, \par
--  homomorfismo de m\'odulo y se resaltan los subm\'odulos asociados a
un homomorfismo. Escribiremos, como regla general, los homomorfismos de m\'odulos por el lado
opuesto al de  los ``escalares". As\'\i, los  homomorfismos de m\'odulos por la izquierda (resp.
derecha) los haremos actuar por la derecha (resp. izquierda)  y la composici\'on de morfismos
se har\'a de izquierda a derecha (resp. de derecha a izquierda). Esto  permitir\'a  dar una
formulaci\'on del Teorema de Wedderburn-Artin sin  mencionar el anillo opuesto, as\'\i \ como dotar,
de forma natural,  a todo
$R$-m\'odulo   $M$ de estructura de $R$-$S$-bim\'odulo, para
$S:=End_R(M)$.
\par
 --    producto directo y  de coproducto o suma directa externa de
una familia arbitraria de m\'odulos y se caracterizan en t\'erminos de sus propiedades universales.
Se observa que los conceptos de suma directa interna y suma directa externa son equivalentes. Por
\'ultimo se demuestra que  un $R$-m\'odulo 
$M$ es isomorfo a  un coproducto finito de m\'odulos $\{M_i\}_{i=1}^n$  si y s\'olo si existen
$n$ idempotentes ortogonales en
$End_R(M)$, digamos $e_1,\hdots, e_n$, tales que $\sum e_i=1d$ e
$Im(e_i)=M_i$.
\par

-- m\'odulo cociente y se caracteriza tambi\'en por  su   propiedad
universal. Se demuestra que dado un subm\'odulo $N$ de un m\'odulo
$M$ existe  un isomorfismo de ret\'\i culos  entre los subm\'odulos de $M$ que contienen a
$N$ y los subm\'odulos de
$M/N$.\par

En este punto establecemos   los Teoremas de isomorf\'{\i}a de E. Noether as\'\i\  como el Lema
 de Zassenhaus, tambi\'en conocido como lema de la mariposa. 

Para concluir, introducimos el concepto de bim\'odulo y demostramos que si $M$ es un  $R$-m\'odulo
por la izquierda,
$M$ posee estructura de (R,S)-bim\'odulo con $S=End_R(M)$. 


\subheading{Sucesiones exactas, sucesiones exactas cortas}

Comenzamos estudiando las  sucesiones exactas de m\'odulos (que tiene su origen en
Topolog\'\i a Algebraica) as\'\i\ como las sucesiones exactas cortas.
Se define sucesi\'on exacta corta escindida como aquella sucesi\'on exacta corta, digamos $$0\to
M^\prime\overset{f}\to  \to M\overset{g}\to \to M^{\prime\prime}\to 0,$$ en la  que $Im(f)=Ker(g)$
es sumando directo de $M$, y se caracteriza en t\'erminos de la inversibilidad lateral tanto de $f$
como de $g$.

\subheading{ M\'odulos libres}

Se define $R$-m\'odulo libre sobre un conjunto no vac\'\i o $S$ a partir de su
propiedad universal. Se demuestra la existencia  y unicidad, salvo isomorfismo, de
dicho objeto.  Se obtiene como consecuencia que un $R$-m\'odulo $M$ es libre (sobre $S$) si y
s\'olo si es isomorfo  a un coproducto de copias de  $R$ ($M\cong \oplus_SR$). 

Se introduce la noci\'on de base de un m\'odulo. Se
dan ejemplos de m\'odulos que tienen
 base y m\'odulos que no la tienen. Por \'ultimo se  caracterizan los m\'odulos libres  como
aquellos que   poseen base. En cuanto al cardinal de las bases de un mismo $R$-m\'odulo $M$, se
prueba que si $M$ posee una base infinita, todas las bases son infinitas y de igual cardinal,
pero que si posee una de cardinal finito ``el caos puede reinar". As\'\i, damos un ejemplo de un
$R$-m\'odulo libre que posee, al menos, una base de cardinal $n$ para cada natural $n$. Definimos
la noci\'on de anillo con IBN y  demostramos que  los anillos de divisi\'on, los anillos finitos y
los anillos  conmutativos y unitarios tienen IBN. 

Por \'ultimo se demuestra que todo m\'odulo es imagen epim\'orfica
de un m\'odulo libre.

 

\subheading{ M\'odulos proyectivos}

Se introduce el concepto de m\'odulo proyectivo. Se observa que todo m\'odulo libre es proyectivo y
se dan distintas caracterizaciones de m\'odulos proyectivos: para un m\'odulo $P$ las
siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $P$ es proyectivo.
\item Toda sucesi\'on exacta corta de la forma
$0\to N\to M\to P\to 0$ es escindida.
\item $P$ es sumando directo de un m\'odulo libre.
\item El funtor $Hom_R(P,-)$ es exacto (siempre es exacto a izquierda).
\endroster
Es m\'as, en las condiciones anteriores, si $P$ est\'a finitamente generado, $P$ es sumando
directo de un m\'odulo libre con base finita.

Para un $R$-m\'odulo por la izquierda $M$ se define su dual, que denotaremos por $M^*$  ($M^*$
posee, de forma natural, estructura de
$R$-m\'odulo por la derecha). Se recuerda el dual de un espacio vectorial y se ponen ejemplos de
m\'odulos tales que sus duales son nulos. 

Se demuestra entonces el Lema de la base dual: para un m\'odulo $P$ las siguientes condiciones son
equivalentes \roster
\item $P$  es proyectivo 
\item"(5)"
  existen 
$\{a_i:i\in I\}\subset P$ y $\{f_i:i\in I\}\subset P^*$ tales que para todo $a\in P$, $(a)f_i=0$
para casi todo
$i$ y
$a=\sum (a)f_i a_i$. \endroster

En este caso $\{a_i:i\in I\}$ es un conjunto de generadores para
$P$, es m\'as,
si
$P$ est\'a finitamente generado se puede conseguir que estas  familias sean finitas.


Por \'ultimo, se demuestra que para todo $R$-m\'odulo proyectivo $P$, la aplicaci\'on
\linebreak $\Phi:P\to P^{**}$ definida por
$\Phi_a(f)=(a)f$ (el homomorfismo can\'onico de $P$ en su bidual) es un monomorfismo de 
$R$-m\'odulos por la izquierda. Es m\'as, si
$P$ est\'a finitamente generado,
$\Phi$ es un isomorfismo.

\subheading{ M\'odulos inyectivos}

Un concepto dual al de m\'odulo proyectivo es el de m\'odulo inyectivo. Comenzamos la lecci\'on
definiendo m\'odulo inyectivo. Como primer ejemplo se ve que los espacios vectoriales sobre  anillos
de divisi\'on son inyectivos y que un producto de anillos es inyectivo si y s\'olo si cada uno de
ellos lo es.

 Damos la primera caracterizaci\'on de m\'odulo inyectivo: para un
$R$-m\'odulo $I$ las siguientes condiciones son equivalentes: \roster
\item
$I$ es inyectivo.
\item El funtor $Hom_R(-,I)$ es exacto (siempre es exacto a izquierda).
\item Toda sucesi\'on exacta corta $0\to I\to M\to N\to 0$ es escindida.
\item Si $I$ es  subm\'odulo de  $M$, entonces $I$ es sumando directo de $M$.\endroster

Demostramos el criterio de Baer para m\'odulos inyectivos, esto es:  un m\'odulo $I$ es inyectivo
si y s\'olo si:
\roster
\item"(5)"
  para cualquier ideal por la izquierda $U$ de
$R$ y cualquier homomorfismo de $R$-m\'odulos
$f:U\to I$ existe un homomorfismo de $R$-m\'odulos $f^\prime:R\to I$ tal que $f^\prime\vert_U=f$.
\endroster

Como propiedad dual a que todo m\'odulo sea cociente de un m\'odulo proyectivo, se tiene que
todo m\'odulo es subm\'odulo de un m\'odulo inyectivo.  Dedicaremos el resto de la lecci\'on a
probar este resultado.

Introducimos la noci\'on de divisibilidad para m\'odulos. Seguimos en este punto la definici\'on
dada por  T.Y. Lam que resulta ser  un poco m\'as restrictiva que la usual: diremos que un 
$R$-m\'odulo $M$ es divisible si para cada par de elementos $r\in R$ y $m\in M$ tales que
$lan_R(r)\subset lan_R(m)$ se tiene que $m\in rM$.

Demostramos entonces que un $R$-m\'odulo $M$ es divisible si y s\'olo si para todo $a\in R$ y todo
homomorfismo de $R$-m\'odulos $f:Ra\to M$ existe un homomorfismo $\bar f:R\to M$ que extiende a
$f$ (esta segunda condici\'on es llamada por algunos autores inyectividad para ideales izquierda
principales). Tenemos entonces que todo m\'odulo inyectivo es divisible y, aplicando el criterio de
Baer, que un m\'odulo sobre un anillo de ideales por la izquierda principales  es
inyectivo si y s\'olo si es divisible.

Demostramos entonces que todo $\Bbb Z$-m\'odulo se puede sumergir en un $\Bbb Z$-m\'odulo
divisible (y por tanto inyectivo). Para el caso general, como todo $R$-m\'odulo  $M$ es en
particular un $\Bbb Z$-m\'odulo,  por el resultado anterior,  podemos envolverlo en un $\Bbb
Z$-m\'odulo inyectivo, digamos
$\bar M$,  y  comprobamos que
$\overline M:=Hom(R_{\Bbb Z},\bar M_{\Bbb Z})$ es un $R$-m\'odulo inyectivo que contiene a
$M$.


Nos centramos ahora en estudiar dos envolventes de un m\'odulo $M$: la envolvente inyectiva y la
envolvente racional.
 Demostramos que  las siguientes condiciones son equivalentes para cada  subm\'odulo $M$ de
un m\'odulo  $I$:
\roster
\item"(i)" $I$ es una extensi\'on esencial maximal de $M$.
\item"(ii)" $I$ es inyectivo y esencial sobre $M$.
\item"(iii)" $I$ es una envolvente inyectiva minimal de $M$.
\endroster
A un m\'odulo $I$ que verifique  las condiciones anteriores se le
denomina envolvente inyectiva de $M$. Por \'ultimo, se demuestra que
todo $R$-m\'odulo $M$
 posee envolvente inyectiva y que \'esta es \'unica salvo $M$-isomorfismo (es decir, si
$I$ e
$I^\prime$ son dos envolventes inyectivas de  $M$, existe un epimorfismo de m\'odulos
$f:I\to I^\prime$ tal que $(m)f=m$ para todo $m\in M$). La envolvente inyectiva de un $R$-m\'odulo
$M$  se denotar\'a por  $E(M)$.

Con este resultado obtenemos otra caracterizaci\'on de m\'odulo inyectivo: un   $R$-m\'odulo
$I$ es inyectivo si y s\'olo si
\roster
\item"(6)" $I$ no posee extensiones esenciales propias.
\endroster

 Se observa que  todo endomorfismo de un m\'odulo $M$ puede
extenderse a un endomorfismo de $E(M)$, aunque no siempre de forma \'unica. 

Introducimos la noci\'on
de subm\'odulo denso. Demostramos que para cualquier subm\'odulo $N$ de un m\'odulo $M$ las
siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item"(i)" $N$ es un subm\'odulo denso de $M$.
\item"(ii)" $Hom_R(M/N, E(M))=0$.
\item"(iii)" Para cualquier subm\'odulo $P$  tal que $N\subset P\subset M$, $Hom_R(P/N, E(M))=0$.
\endroster

Introducimos la  envolvente racional de un $R$-m\'odulo $M$ (como subm\'odulo de
$E(M)$), que denotaremos  por $\hat E(M)$, y
 damos una caracterizaci\'on de \'esta por elementos.  Demostramos que $\hat E(M)$ es una
extensi\'on densa maximal de $M$ y probamos, entre otras cosas, que los endomorfismos de $M$ se
``elevan" de forma \'unica a endomorfismos de $\hat E(M)$. Esta nueva envolvente  ser\'a de
utilidad para el estudio del anillo de cocientes por la izquierda maximal de ciertos anillos. 


\subheading{ M\'odulos artinianos y noetherianos. Teorema de J\"ordan-Holder}  

Un $R$-m\'odulo se dice noetheriano (resp. artiniano) si verifica la condici\'on de
cadena ascendente (resp. descendente) para sus subm\'odulos. Equivalentemente si cada familia no
vac\'{\i}a de subm\'odulos  posee un elemento maximal (resp. minimal). 

Caracterizamos los $R$-m\'odulos noetherianos como aqu\'ellos tales que todos sus  subm\'odulos
est\'an finitamente generados. 

Demostramos que cualquier subm\'odulo y cualquier imagen homom\'orfica de un m\'odulo noetheriano
(resp. artiniano) es  noetheriano (resp. artiniano). Es m\'as, si $N$ es un subm\'odulo de un
m\'odulo
$M$, $M$ es noetheriano (resp. artiniano) si y s\'olo si $N$ y $M/N$ son noetherianos (resp.
artinianos).  Como consecuencia se obtiene que la suma directa finita de
m\'odulos noetherianos (resp. artinianos) es noetheriana (resp. artiniana).

Se dice que un anillo $R$ es noetheriano por la izquierda si es noetheriano  como 
$R$-m\'odulo por la izquierda, esto es, cuando verifica la condici\'on de cadena ascendente para
sus ideales por la izquierda. Los conceptos noetheriano por la derecha, artiniano por la izquierda y
artiniano por la derecha se definen de manera an\'aloga. 

Cabe preguntarse si estas cuatro nociones  son independientes.
Introducimos los anillos triangulares que nos van a proporcionar  los ejemplos que
contestan dicha cuesti\'on: consideremos
$R$ y
$S$ dos anillos y
$M$ un
$R$-$S$-bim\'odulo. Entonces $T=\pmatrix R&M\\ 0&S\endpmatrix$ con la sumas y el producto propios de
los anillos de matrices tiene estructura de anillo.  Adem\'as: el anillo  $T$ es noetheriano por la
izquierda (resp. por la derecha) si y s\'olo si $R$ y $S$ son noetheriano por la izquierda
(resp. por la derecha)  y $M$ es un $R$-m\'odulo por la izquierda noetheriano (resp. $M$ es un
$S$-m\'odulo por la derecha noetheriano. Este mismo enunciado es cierto si sustituimos artiniano
por noetheriano.

As\'\i, el anillo 
$$\pmatrix \Bbb Q&\Bbb Q\\ 0&\Bbb Z\endpmatrix$$ es noetheriano por la izquierda y no es noetheriano
por la derecha ni artiniano por la izquierda ni por la derecha. Igualmente el anillo
$$\pmatrix \Bbb R&\Bbb
R\\ 0&\Bbb Q\endpmatrix$$ es noetheriano y artiniano por la izquierda pero no es artiniano ni
noetheriano por la derecha. 

S\'\i\  se verifica, es el llamado Teorema de Hopkins-Levitzki, que  un anillos con unidad   
artiniano por la izquierda (resp. por la derecha) es noetheriano por la izquierda (resp. por la
derecha). Este resultado era aparentemente desconocido
por Noether y Artin en sus primeros trabajos sobre anillos con condiciones de cadena. Nosotros lo
demostraremos una vez que hayamos estudiado el radical de Jacobson de un anillo. El siguiente
ejemplo muestra que existen m\'odulos artinianos que no son noetherianos: el
$\Bbb Z$-m\'odulo
$\Bbb P/\Bbb Z$, donde 
$$\Bbb P=\left\{\frac{m}{p^k} \quad\vert\quad m\in \Bbb Z,\  k\in \Bbb N\cup \{0\} \right\},$$
es artiniano pero no  noetheriano.

Siguiendo con el estudio de los m\'odulos que verifican condiciones de cadena demostramos que todo 
m\'odulo por la izquierda finitamente generado sobre un anillo noetheriano por la izquierda (resp.
artiniano por la izquierda) es noetheriano por la izquierda (resp. artiniano por la izquierda).


 Estudiamos las series de subm\'odulos de un
m\'odulo. Demostramos, a partir del Lema de Zassenhaus, el Teorema del
refinamiento de Schreier:
 dos series de un m\'odulo dado admiten refinamientos isomorfos.
As\'\i\ como el Teorema de
Jordan-Holder:
dos series de composici\'on para un mismo m\'odulo son isomorfas.


Definimos  la longitud de un m\'odulo $M$ y establecemos la equivalencia entre los m\'odulos de
longitud finita  y los que son a la vez artinianos y
noetherianos. 



\subheading{ M\'odulos indescomponibles. Lema de Fitting. Teorema de Krull-Schmidt}

Comenzamos introduciendo la noci\'on de m\'odulo indescomponible: un m\'odulo  $M$ se dice
descomponible cuando se puede expresar como suma directa de dos subm\'odulos propios; en caso
contrario se dice que es indescomponible. Caracterizamos los m\'odulos indescomponibles como
aqu\'ellos tales que su anillo de endomorfismos ($End_R(M)$) no posee m\'as idempotentes que los
triviales. 

No todo m\'odulo puede escribirse como suma directa finita de subm\'odulos indes\-componibles.
Incluso en el caso de poder descomponer el m\'odulo como suma directa finita de m\'odulos
indescomponibles, esta descomposici\'on no tiene porque ser ``esencialmente" \'unica. Damos
aqu\'{\i}\ una condici\'on para que esto s\'\i\  suceda.

Se define un anillo local como aqu\'el en el que el conjunto de los elementos no inversibles es
un ideal. Se define m\'odulo fuertemente indescomponible como aqu\'el cuyo anillo de endomorfismos
es local. Se observa que los anillo locales no contienen m\'as idempotentes que
los triviales, por lo que un $R$-m\'odulo fuertemente indescomponible es indescomponible.

Probamos entonces un teorema sobre unicidad en la descomposici\'on de un m\'odulo como suma directa
de subm\'odulos indescomponibles:

Sean $M=M_1\oplus M_2\oplus\dotsb M_r$ y $N=N_1\oplus N_2\oplus\dotsb N_s$ dos $R$-m\'odulos, donde
los $M_i$ son subm\'odulos fuertemente indescomponibles y los $N_i$ son indescomponibles. Entonces,
si $M$ es isomorfo a $N$, se tiene que 
$r=s$ y existe una permutaci\'on $\sigma\in S_r$ tal que $M_i\cong N_{\sigma(i)}$ para
$i=1,2,\hdots,r$.

Diremos que un m\'odulo $M$ es un $\Cal F$-m\'odulo o m\'odulo de Fitting si dado $f\in End_R(M)$
existen dos subm\'odulos $M_1$ y $M_2$ de $M$, $f$-invariantes ($M_if\subset M_i$ para
$i=1,2$) tales que 
$f\vert_{ M_1}$ es biyectivo y $f\vert_{ M_2}$ es nilpotente. El Lema de Fitting establece que todo
m\'odulo de longitud finita es un $\Cal F$- m\'odulo. Con este resultado se obtiene que los
m\'odulos indescomponibles de longitud finita son fuertemente indescomponibles.

Por \'ultimo demostramos que un modulo $M$ de longitud finita se puede descomponer como suma finita
de m\'odulos indescomponibles, lo que  lleva al llamado Teorema de Krull-Schmidt:

Sea $M$ un m\'odulo artiniano y noetheriano y supongamos que $M=M_1\oplus M_2 \oplus \dotsb \oplus
M_r=N_1\oplus N_2 \oplus \dotsb \oplus
N_s$, en donde los $M_i$ y los $N_j$ son indescomponibles. Entonces $r=s$ y existe una
permutaci\'on 
$\sigma\in S_r$ tal que
$M_i\cong N_{\sigma(i)}$ para $i=1,2,\hdots,r$. 


\subheading{ M\'odulos simples. Lema de Schur}

Comenzamos introduciendo la noci\'on de $R$-m\'odulo sobre un anillo $R$ no necesa\-riamente
unitario, ya que  ser\'a de utilidad en el estudio de los anillos primitivos  por la
izquierda (resp. por la derecha). Introducimos la noci\'on de
$R$-m\'odulo simple  y demostramos que un
$R$-m\'odulo
$M$ es simple si y s\'olo si verifica alguna de (y por tanto todas) las condiciones siguientes:
\roster
\item $M\ne 0$ y para todo $0\ne m\in M$, $Rm=M$.
\item $M\cong R/I$ en donde $I$ es un ideal por la izquierda maximal de $R$ con $R^2\nsubseteq I$.
\endroster

Demostramos que si $M$ y $N$ son dos $R$-m\'odulos, con $M$ simple, cualquier 
homomorfismo no nulo de $R$-m\'odulos  
$f:M\to N$ es inyectivo y cualquier  homomorfismo no nulo de
$R$-m\'odulos $f:N\to M$ es sobreyectivo, razonamiento que prueba el Lema de Schur:

 Cualquier homomorfismo no nulo entre m\'odulos simples es isomorfismo. Por tanto,
si $M$ es un $R$-m\'odulo simple, $End_R(M)$ es un anillo de divisi\'on.


Por \'ultimo hacemos notar que el rec\'\i proco de este lema no es cierto.

\subheading{ M\'odulos semisimples. El z\'ocalo de un m\'odulo}

Definimos m\'odulo semisimple como aqu\'el que es suma de subm\'odulos simples y demostramos
que un m\'odulo es semisimple si y s\'olo si es suma directa de subm\'odulos simples. Como
consecuencia de este hecho se obtiene que todo espacio vectorial posee base. 

Caracterizamos los m\'odulos semisimples como aqu\'ellos tales que el ret\'{\i}culo de sus
subm\'odulos es complementado. Como consecuencia obtenemos que un m\'odulo $M$ es semisimple si y
s\'olo si no contiene subm\'odulos propios esenciales y que cualquier subm\'odulo y cualquier 
imagen homom\'orfica de un m\'odulo semisimple es semisimple. 

Observamos que tambi\'en podemos caracterizar los m\'odulos semisimples en t\'ermi\-nos de
sucesiones exactas cortas, ya que un modulo $M$ es semisimple si y s\'olo si toda sucesi\'on exacta
corta de la forma $0\to M^\prime\overset{f}\to  \to M\overset{g}\to \to M^{\prime\prime}\to 0$ es
escindida.

Definimos la noci\'on de z\'ocalo de un m\'odulo, y lo denotamos por $Zoc(M)$. Es claro que un
m\'odulo es semisimple si y s\'olo si coincide con su z\'ocalo. Se demuestra, descripci\'on dada por
Kasch y Sandomierski, que el z\'ocalo de un m\'odulo
 coincide con la intersecci\'on de todos sus subm\'odulos esenciales.

Definimos la componente  homog\'enea de un m\'odulo $M$ respecto de un subm\'odulo simple $N$,
que denotamos  por $I_N$, y demostramos que  el z\'ocalo de un m\'odulo es suma directa de sus
componentes homog\'eneas. Comprobamos que si
$M$ y $M^\prime$ son dos $R$-m\'odulos y $f:M\to M^\prime$ es un homomorfismo de $R$-m\'odulos,
$I_Nf\subset I_{Nf}$, por lo que el z\'ocalo de un m\'odulo es un subm\'odulo invariante por
endomorfismos. Este hecho  va a permitir probar, introduciendo algunas nociones de relaciones de
dependencia abstractas, que dado cualquier m\'odulo
$M$, si
$M=\oplus_{i\in I} M_i=\oplus_{j\in J} N_j$ con $M_i$, $N_j$ subm\'odulos simples de $M$, entonces
existe una biyecci\'on entre los conjuntos $\{M_i\}$ y $\{N_j\}$ tales que los correspondiente
m\'odulos son isomorfos. Como consecuencia se obtiene que todas las bases de un  espacio vectorial
 tienen el mismo cardinal.

\vfill \eject





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\ref  \by    L.H. Rowen
 \book  Ring Theory I \publ Accademic Press, Inc. New York
\yr 1988 \endref
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\ref  \by    R. Wisbauer
 \book Free modules and Algebras: Bimodules Structure and Group Actions  \publ  Longman 
\yr 1996 \endref
\bigpagebreak


\endRefs


\newpage

\centerline{\granbf   TEMA 2. } 
\vskip .1true in
\centerline{\granbf  TEOR\'IA  DE WEDDERBURN-ARTIN. }
\vskip .2true in




Lecci\'on 10.- Anillos semisimples. \par
Lecci\'on 11.- Estructura de los anillos semisimples. Teorema de Wedderburn-Artin. \par



\vskip .5true in





Comenzamos introduciendo la noci\'on de anillo semisimple, damos aqu\'\i\ una de\-fi\-ni\-ci\'on
diferente de la dada originalmente por Wedderburn (y Artin) de
\'algebra semisimple. Wedderburn  estaba interesado principalmente en \'algebras de dimensi\'on
finita sobre cuerpos. En estas \'algebras define el radical como el mayor ideal nilpotente y si
\'este
 es cero llama al \'algebra   semisimple (veinte a\~nos m\'as
tarde Artin demuestra que los  anillos que verificaban ambas condiciones de cadena  tambi\'en
poseen un mayor ideal nilpotente, por lo que mantiene la definici\'on dada por Wedder\-burn
de \'algebra semisimple). Nosotros
definimos aqu\'\i\  anillo semisimple por la izquierda como aqu\'el que es semisimple como m\'odulo
por la izquierda  sobre s\'\i\  mismo, lo que  permitir\'a llegar de forma f\'acil y r\'apida a la
clasificaci\'on de este tipo de anillos.



\subheading{ Anillos semisimples}

Se comienza definiendo anillo semisimple: un anillo $R$ se dice semisimple (por la izquierda) si  es
semisimple visto como
$R$-m\'odulo por la izquierda. Damos varias  carac\-terizaciones de los anillos semisimples. Para un
anillo $R$ las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $R$ es un anillo semisimple por la izquierda.
\item Toda sucesi\'on exacta corta de $R$-m\'odulos por la izquierda es escindida.
\item Todo  $R$-m\'odulo por la izquierda, es semisimple.
\item Todo $R$-m\'odulo por la izquierda finitamente generado es semisimple.
\item Todo  $R$-m\'odulo por la izquierda c\'{\i}clico es semisimple.
\endroster

 
Demostramos entonces que los anillos semisimples y unitarios, considerados  como
m\'odulos por la izquierda sobre s\'\i\  mismos, son de longitud finita, por lo que son tanto
arti\-nianos como noetherianos por la izquierda. 


Por \'ultimo damos varias caracterizaciones homol\'ogicas de los anillos semisimples y unitarios: 
\roster

\item"(6)" Todo $R$-m\'odulo es proyectivo.
\item"(7)" Todo $R$-m\'odulo es inyectivo.
\endroster

\subheading{Estructura de los anillos semisimples. Teorema de Wedderburn-Artin}

Presentamos en esta lecci\'on el Teorema de Wedderburn-Artin, que en esencia determina la clase de
los anillos semisimples y unitarios en funci\'on de otra clase m\'as ``simple" de anillos, la  de
los anillos de divisi\'on.

Comenzamos demostrando que para todo anillo unitario $S$  y todo natural $n$, la aplicaci\'on que a
cada ideal $I$ de $S$ lo manda a $\Cal M_n(I)$ es un isomorfismo de ret\'\i culos entre  los
ideales de $S$ y los de $R:=\Cal M_n(S)$. 
Nos centramos en el caso particular de que $S:=\Delta$ sea un anillo de divisi\'on obteniendo, por
la propiedad anterior,  que
$R$ es un anillo simple, es m\'as, $R$ es semisimple por la izquierda y por la derecha y 
por tanto artiniano y noetheriano por ambos lados. Demostramos por \'ultimo que
$R$ posee, salvo isomorfismos, un
\'unico
$R$-m\'odulo por la izquierda simple y fiel, llam\'emoslo $V$ (como representante podemos tomar
cualquier ideal por la izquierda minimal de $R$) es m\'as, $R$ considerado como
$R$-m\'odulo por la izquierda, es isomorfo a $ V^n$
 y
 $End_R(V)\cong \Delta$.

% mirar [J$_1$, pag 40] 
 

Volviendo al estudio de los anillos semisimples comprobamos que la suma directa finita de anillos
semisimples es semisimple, por lo que si
$\Delta_1,\Delta_2,\hdots, \Delta_{k}$ son  anillos de divisi\'on y $n_1,n_2\hdots, n_k\in
\Bbb N$,
$$R=\Cal M_{n_1}(\Delta_1)\oplus
\Cal M_{n_2}(\Delta_2)\dotsb \oplus\Cal
M_{n_k}(\Delta_k)$$ es un anillo semisimple.

Obtenemos entonces el Teorema de Wedderburn-Artin:
para un anillo unitario $R$ las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $R$ es semisimple.
\item $R\cong \Cal M_{n_1}(\Delta_1)\oplus
\Cal M_{n_2}(\Delta_2)\dotsb \oplus\Cal
M_{n_k}(\Delta_k)$, en donde $\Delta_1,\Delta_2,\hdots, \Delta_{k}$ son anillos de divisi\'on y
$n_1,n_2\hdots, n_k\in \Bbb N$.
\endroster
Adem\'as,  tanto $k$ como los pares $(n_i,\Delta_i)$ son
\'unicos salvo isomorfismos y permutaciones.



Como corolario obtenemos que un anillo unitario  es semisimple por la izquierda si y s\'olo si lo
es por la derecha.


Obtenemos un teorema que determina completamente los m\'odulos sobre este tipo de
anillos: sea $R$ un anillo semisimple y unitario. Entonces existe una biyecci\'on entre las clases
de isomorfismos de  $R$-m\'odulos simples y las componentes simples del anillo. Es m\'as, si
$R=R_1\oplus R_2\dotsb\oplus R_n$ es la descomposici\'on de $R$ en componentes simples e $I_i$ es un
ideal por la izquierda minimal de  $R_i$, entonces $\{I_1,I_2,\hdots, I_n\}$ es un conjunto de
representantes de  $R$-m\'odulos simples mutuamente no isomorfos.


Por \'ultimo caracterizamos los anillos simples que son a la vez semisimples: para un anillo
simple y unitario $R$ las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $R$ es semisimple.
\item $R\cong \Cal M_n(\Delta)$, con $n\in \Bbb N$ y $\Delta$ un anillo de divisi\'on.
\endroster

Ya hemos demostrado que para este anillo existe, salvo
isomorfismos, un \'unico $R$-m\'odulo simple. 
El siguiente teorema, debido a Jacobson, estudia m\'as en profundidad este hecho: 
sea $M_i$  un espacio
vectorial de dimensi\'on finita sobre un anillo de divisi\'on $\Delta_i$, para $i=1,2$. Supongamos
que  existe  un isomorfismo de anillos $g:End_{\Delta_1}M_1\to End_{\Delta_2}M_2$. Entonces
existe un isomorfismo semilineal $s:M_1\to M_2$ tal que para todo $a\in End_{\Delta_1}M_1$ se tiene
que
$g(a)=sas^{-1}$.


En temas posteriores iremos dando nuevas versiones de este teorema. As\'\i, una vez visto la
clasificaci\'on de los anillos primitivos por la izquierda (Teorema de Densidad de
Jacobson) podremos volver a demostrar el Teorema de Wedderburn-Artin al que a\~nadiremos nuevas
equivalencias:
\roster
\item"(3)" $R$ es primitivo y artiniano por la izquierda.
\item"(4)" $R$ es primo y artiniano por la izquierda.
\item"(5)" $R$ es simple y artiniano por la izquierda.
\item"(6)" $R$ es simple, unitario y posee un ideal por la izquierda minimal.
\endroster

Cuando estudiemos los anillos semiprimos que coinciden con su z\'ocalo obtendremos una nueva 
caracterizaci\'on de estos anillos:
\roster
\item"(7)" $R$ es primo, unitario y coincide con su z\'ocalo.
\endroster

Por \'ultimo, una vez construida toda la maquinaria que envuelve  la Teor\'\i a de Morita, daremos
una demostraci\'on alternativa del Teorema de Wedderburn-Artin que  permitir\'a dar una
\'ultima caracterizaci\'on de los anillos semisimples y  unitarios:
 
\roster
\item"(8)" $R$ es unitario y Morita equivalente a un anillo de divisi\'on.
\endroster

\vfill\eject



\Refs\nofrills 
\noindent{\granbf Bibliograf\'\i a}  
\vskip .2true in

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\ref  \by    T.Y. Lam
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  \ref  \by  L.H. Rowen
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\yr 1988 \endref
\bigpagebreak


\endRefs


\newpage

\centerline{\granbf   TEMA 3. }
\vskip .1true in
\centerline{\granbf  ANILLOS PRIMITIVOS Y SEMIPRIMITIVOS. }
\vskip .2true in


Lecci\'on 12.- Anillos primitivos. \par
Lecci\'on 13.- Teorema de Densidad de Jacobson. \par
Lecci\'on 14.- Anillos semiprimitivos.\par
Lecci\'on 15.- Anillos primos y semiprimos.\par
Lecci\'on 16.- Vuelta al Teorema de Wedderburn-Artin. \par


\vskip .5true in

\subheading{ Anillos primitivos}

   Introducimos la noci\'on de anillo primitivo por la
izquierda, en un anillo no necesariamente unitario $R$, como aqu\'el que posee un $R$-m\'odulo por
la izquierda simple, tambi\'en llamado por algunos autores irreducible, y fiel.

Caracterizamos internamente  estos anillos como los que contienen un ideal por la
izquierda modular maximal de core cero. 
 Como consecuencia    obtenemos que:
\roster
\item un anillo simple con un ideal por
la izquierda propio y modular es primitivo. En particular, como  todo ideal
por la izquierda de un anillo unitario es modular, los anillos simples y unitarios son primitivos,
\item  los  anillos conmutativos y primitivos son precisamente los cuerpos.
\endroster

Observamos que la noci\'on de  anillo primitivo no es sim\'etrica. Es decir, que existen anillos 
 primitivos por la izquierda que no lo son por la derecha y viceversa. El primero de tales ejemplos
fue dado por Bergman en 1965.



\subheading{  Teorema de Densidad de Jacobson}



Sea $R$ un  anillo primitivo por la izquierda y denotemos por  $M$ a un $R$-m\'odulo por la
izquierda simple y fiel. Por ser $M$ simple, aplicando el Lema de Schur, $\Delta:=End(_RM)$
es un anillo de divisi\'on. As\'\i, 
$M$ posee estructura de $\Delta$-espacio vectorial por la derecha. Por ser $M$
 fiel, la aplicaci\'on $\phi:R\to End(M_{\Delta})$ definida por $\phi(r)=\lambda_r$, en donde
$\lambda_r$ denota al operador de multiplicaci\'on por la izquierda, es un monomorfismos de anillos,
por lo que $R$ es isomorfo a un subanillo del anillo de endomorfismos de este espacio vectorial.
Establecemos entonces el Teorema de Densidad de Jacobson que caracteriza los anillos primitivos como
aqu\'ellos que son isomorfos a subanillos densos de  trasformaciones lineales de  espacios
vectoriales sobre anillos de divisi\'on. 

Encontramos entonces  un resultado  que  ser\'a de utilidad en el estudio de los P.I.
anillos primitivos. A saber, un anillo primitivo $R$ o es isomorfo a un anillo de endomorfismo de un
espacio vectorial de dimensi\'on finita sobre un anillo de divisi\'on (esto sucede si $M$ tiene
dimensi\'on finita sobre
$\Delta$) o para cada entero positivo
$n$, $R$ contiene un subanillo $R_n$ que se aplica mediante un epimorfismo en $\Cal M_n(\Delta)$.

Es interesante tener una descripci\'on interna del anillo de divisi\'on que aparece en el
Teorema de Densidad de Jacobson. Si $R$ es un anillo y $M$ es un $R$-m\'odulo simple y fiel,
sabemos que existe un ideal por la izquierda modular maximal de core cero, digamos $I$ tal que
$M\cong R/I$. Es m\'as, $End_R(R/I)\cong B/I$ en donde $B=\{b\in R\ \vert\  Ib\subset I\}$.


Si nos preguntamos sobre la unicidad de cada uno de los objetos que aparece en el Teorema de
densidad de Jacobson  encontramos  que no la hay. As\'\i, un anillo primitivo puede tener
m\'odulos irreducibles y fieles no isomorfos cuyos anillos de endomorfismos tampoco lo sean. Como
veremos m\'as adelante, tanto en el caso de anillos primitivos (o primos) y artinianos, como en el
caso m\'as general de ani\-llos primos con un ideal por la izquierda minimal, si se tiene la 
unicidad, salvo isomorfismos, de estos objetos.

Veremos  que la noci\'on de densidad  puede interpretarse como una 
 noci\'on topol\'ogica: dado un espacio vectorial $V$ sobre un anillo de
divisi\'on
$\Delta$ se puede dotar a
$End(V_\Delta)$ de estructura de espacio topol\'ogico, llamada la topolog\'\i a Finita, tal que
un subanillo
$R$ de
$End(V_\Delta)$ es denso respecto de esta topolog\'{\i}a si y s\'olo si es denso en el sentido
estudiado anteriormente. Es m\'as, con respecto a esta topolog\'\i a, los anillos primitivos son
anillos topol\'ogicos, esto es, tanto la suma como el producto son  continuos.

Por \'ultimo introducimos el concepto de $\phi$-\'algebra, con $\phi$ un anillo de escalares, y
demostramos que una $\phi$-\'algebra  es primitiva si y s\'olo si es isomorfa a un sub\-anillo
denso de trasformaciones lineales de un espacio vectorial  sobre una $\phi$-\'algebra de
divisi\'on. 

\subheading{Anillos semiprimitivos}

 Diremos que un anillo $R$ es semiprimitivo (por la izquierda) si 
para cada elemento no nulo
$a$ de
$R$ existe un $R$-m\'odulo por la izquierda simple $M$  tal que $a\notin Ann_R(M)$ (esto es: $aM\ne
0$). Demostramos entonces que un anillo es semiprimitivo si y s\'olo si la intersecci\'on de todos
los cores de todos los ideales por la izquierda  modulares maximales es cero. Esto lleva a dos
caracterizaciones de los anillos semiprimitivos interesantes por s\'\i\  mismas. La primera afirma
que un anillo $R$ es semiprimitivo si y s\'olo si posee un m\'odulo completamente reducible y fiel.
La segunda  caracteriza los anillos semiprimitivos en t\'erminos de anillos primitivos: un anillo es
semiprimitivo si y s\'olo si es producto subdirecto de anillos primitivos.

Como corolario inmediato obtenemos que los anillos conmutativos y semiprimitivos son precisamente
los  productos subdirectos de cuerpos.

En el cap\'\i tulo siguiente, cuando tratemos el radical de Jacobson de un anillo, comprobaremos que
la noci\'on de semiprimitividad s\'\i\  es sim\'etrica, por lo que dejaremos de decir semiprimitivo
por la izquierda o por la derecha.


\subheading{ Anillos primos y semiprimos}

Se comienza la lecci\'on introduciendo la noci\'on de ideal (resp. ideal por la izquierda e ideal
por la derecha) nilpotente. Posteriormente se define el concepto de anillo semiprimo y se
caracteriza como aqu\'el en el que no existen ideales por la izquierda o   por la  derecha
nilpotentes, as\'\i \ como aqu\'el en el que no existen divisores absolutos de cero. 

Se observa que todo anillo
semiprimitivo es semiprimo y se deja como ejercicio demostrar que estos conceptos no son
equivalentes.

Se introduce el concepto de anillo primo y, como en el caso anterior, se caracteriza en t\'erminos de
ideales por la izquierda, ideales por la derecha y  en t\'erminos de elementos. Se define ideal
esencial y se prueba que  un anillo semiprimo es primo si y s\'olo si todo ideal no nulo es
esencial. Se deja como ejercicio ver si la propiedad de que todo ideal no nulo es esencial
caracteriza, sin la condici\'on extra de semiprimidad, a los anillos primos. Por
\'ultimo se observa que todo anillo primitivo es primo. 

Se demuestra que los conceptos de primidad y semiprimidad son hereditarios, es decir, todo ideal
de un anillo semiprimo (resp. primo) es semiprimo (resp. primo). Por
\'ultimo se definen los distintos anuladores de un
subconjunto $X$ en un anillo $R$, es decir, el anulador por la izquierda de $X$, representado por 
$lan_R(X)$, el anulador por la derecha de $X$,  representado por $ran_R(X)$ y el anulador de $X$,
 representado por $ann_R(X)$, y se observa como se comportan estos conceptos frente a ideales:
sea $R$  un anillo semiprimo  e $I$ un ideal de $R$. Entonces 
\roster
\item $lan_R(I)=ran_R(I)=ann_R(I)$ es un ideal de $R$.
\item $ann_R(I)=\{x\in R\vert\quad xRx=0\}$.
\item $I\oplus ann_R(I)$ es un ideal esencial de $R$.
\item $I$ es un ideal esencial de $R$ si y s\'olo si $ann_R(I)=0$.
\item $R/ann_R(I)$ es un anillo semiprimo.
\endroster


En $(5)$ se observa que $I$ puede verse como un ideal esencial de $R/ann_R(I)$ y que esta propiedad
proporciona un camino para trasladar propiedades entre $R$ y  $R/ann_R(I)$.



\subheading{  Teorema de Wedderburn-Artin} 

Recordamos la noci\'on de anillo artiniano  por la izquierda como aqu\'el anillo $R$  que verifica la
condici\'on de cadena descendente para ideales por la izquierda, es decir, $R$ como $R$-m\'odulo
por la izquierda es artiniano. 

Para un anillo $R$ las siguientes condiciones son equivalentes:

\roster
\item $R$ es primitivo y artiniano por la izquierda.
\item $R$ es primo y artiniano por la izquierda.
\item $R$ es simple y artiniano por la izquierda.
\item $R$ es isomorfo a $\Cal M_n(\Delta)$ para $n\in \Bbb N$ y $\Delta$ un anillo de divisi\'on.
\endroster
Adem\'as, en (4) se tiene que $n$ y $\Delta$ son  invariantes del anillo. 

% 3 implica 2 trivial
% 2 implica 1 trivial 
% 1 implica 5 existe una biyecci\'on entre ideles por la izquierda y subespacios [Be]
% 5 implica 3 por los resultados anteriores y [Lam I, (3,3)].


Estudiamos ahora el caso de los anillos semiprimitivos y artinianos,  lo que proporciona
nuevas equivalencias para 
 el Teorema de Wedderburn-Artin: para un anillo $R$  las siguientes condiciones son equivalentes:

\roster
\item $R$ es  semiprimitivo y artiniano.
\item $R$ es  semiprimo y artiniano.
\item $R$ es  semisimple y artiniano.
\item $R\cong \Cal M_{n_1}(\Delta_1)\oplus \Cal M_{n_2}(\Delta_2)\oplus \dotsb \oplus \Cal
M_{n_k}(\Delta_k)$ en donde $n_1,n_2\hdots, n_k\in \Bbb N$ y $\Delta_1,\Delta_2,\dotsb,\Delta_k$
son anillos de divisi\'on. 
\item $R$ es semisimple y unitario.
\endroster

Adem\'as, en (4) se tiene que  los $n_i$ y los $\Delta_i$ est\'an determinados salvo orden e
isomorfismos. Como ya anunciamos anteriormente, en esta nueva versi\'on del Teorema de
Wedderburn-Artin no se necesita, en principio, que el anillo sea unitario por lo que se demuestra
que  los anillos 
 semiprimos y artinianos son unitarios. 



\vfill\eject



\Refs\nofrills 
\noindent{\granbf  Bibliograf\'\i a} 
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\endRefs


\newpage

\centerline{\granbf   TEMA 4. }
\vskip .1true in
\centerline{\granbf  TEOR\'IA DE RADICALES. }
\vskip .2true in

Lecci\'on 17.- Algunas nociones sobre radicales.\par   
Lecci\'on 18.- El radical de Jacobson. \par
Lecci\'on 19.- El radical de Jacobson de un anillo artiniano. \par
Lecci\'on 20.- El nil radical inferior o radical primo.\par
Lecci\'on 21.- El nil radical superior.


\vskip .5true in


En teor\'{\i}a de anillos la noci\'on de radical ha sido particularmente \'util. S\'\i\ pensamos por
ejemplo en las \'algebras de dimensi\'on finita,  encontramos   una variedad muy hetero\-g\'enea
de elementos. As\'{\i}, un \'algebra de este tipo puede ser desde un \'algebra  de divisi\'on
hasta un
\'algebra nilpotente. En 1908, Wedderburn demuestra que  toda \'algebra 
$A$ de dimensi\'on finita contiene un ideal nilpotente
$ \Cal R(A)$ tal que $A/ \Cal R(A)$ es  suma directa finita de anillos de matrices sobre anillos de
divisi\'on. Por tanto las \'algebras de dimensi\'on finita quedan razonablemente determinadas.

La teor\'\i a que envuelve la noci\'on de radical persigue esta idea. Dada una clase de
anillos
$\Cal C$,
 para cada anillo $R\in \Cal C$  se determina un ideal $\Cal R(R)$, llamado el radical de $R$,
tal que podamos describir satisfactoriamente tanto  los anillos radicales (los anillos $R\in
\Cal C$ tales que $\Cal R(R)=R$) como  los anillos cocientes
$R/\Cal C(R)$. 


\subheading{ Algunas nociones sobre radicales}


Los fundamentos de la teor\'\i a axiom\'atica del radical son dados de forma independiente
por Kurosh y Amitsur en 1953. 
 Consideremos $\Cal C$ una clase de anillos cerrada para ideales e im\'agenes
homom\'orficas. Diremos que una subclase $\Cal R$  de $\Cal C$ es radical (en $\Cal C$) s\'\i\
verifica que:\roster
\item las im\'agenes homom\'orficas de elementos de $\Cal R$ pertenecen a $\Cal R$,
\item cada anillo $R\in \Cal C$ contiene un ideal radical $\Cal R(R)$ (es decir, un ideal de
$R$ que pertenece a $\Cal R$) tal que todo ideal radical de $R$ est\'a contenido en $\Cal R(R)$,
\item $R/\Cal R(R)$ no contiene ideales radicales.
\endroster


Para todo anillo $R$, el ideal $\Cal R(R)$ es llamado el radical de $R$. Los anillo que coinciden
con su radical son llamados radicales y la clase de todos estos anillos  es llamada la
clase radical. Los anillos de radical cero son llamados $\Cal R$-semisimples y la clase de todos
estos anillos  es llamada la clase  $\Cal R$-semisimple. 

Por construcci\'on los anillos $\Cal R$-semisimples quedan
determinados por la clase  radi\-cal. Sorprendentemente tambi\'en se tiene que los anillos
radicales quedan caracteri\-zados por la clase semisimple:  un anillo
$R\in
\Cal C$ es radical si y s\'olo si no existe un epimorfismo
$f:R\to P$ con $P$ semisimple.

Caracterizamos una subclase radical
 $\Cal R$ de una clase $\Cal C$ como aqu\'ella que verifica:  (1), las im\'agenes homom\'orficas de
elementos de
$\Cal R$ est\'an contenidas en $\Cal R$ y (2), 
 si $R\in \Cal C$ es  tal que toda imagen homom\'orfica de $R$ contiene ideales radicales, entonces
$R$ es radical.


La clase radical es transitiva, esto es:  si $I$ es un ideal de $R$,
entonces $R$ es radical si y s\'olo si $I$ y $R/I$ son radicales. Por otro lado, la suma finita de 
ideales radicales es radical.

Por \'ultimo caracterizamos las subclases semisimples de una clase de anillos. Una subclase
$\Cal P$ de una clase $\Cal C$ que no contiene al anillo nulo es semisimple si y s\'olo si
  un anillo $R$ de $\Cal C$ pertenece a $\Cal P$ si para todo ideal no nulo $I$ de $R$ existe un
epimorfismo de anillos  $f: I\to P$ para cierto $P\in \Cal P$. 





\subheading{ El radical de Jacobson}

Comenzamos definiendo el radical de  Jacobson de un anillo $R$, no necesariamente unitario, como la
intersecci\'on de  los n\'ucleos de  las representaciones irreducibles del anillo, y lo
denotamos por $rad(R)$. Obviamente tenemos que un anillo $R$ es semiprimi\-tivo si y s\'olo si
$rad(R)=0$. 

Definimos ideal primitivo por la izquierda como aquel ideal $P$ de $R$ tal que el anillo cociente
$R/P$ es primitivo por la izquierda. Se demuestra que un ideal $P$ es primitivo por la izquierda si y
s\'olo si es el core de un ideal por la izquierda modular maximal, con lo que obtenemos las primeras
caracterizaciones del radical de Jacobson: el radical de Jacobson de un anillo $R$ coincide con
\roster
\item  la intersecci\'on de   los ideales primitivos de $R$,
\item  la intersecci\'on de los ideales por la izquierda modulares maximales de $R$. 
\endroster

Hacemos hincapi\'e en
que en anillos unitarios todo ideal es modular, por lo que el radical de Jacobson coincide con 
la intersecci\'on de los ideales por la izquierda maximales.



Si $M$ es un $R$-m\'odulo  simple, $rad(R)\subset ann_R(M)$, por lo  que $M$ tiene estructura
de $R/rad(R)$-m\'odulo simple. As\'\i,  $R/rad(R)$ tiene radical de
Jacobson cero o, lo que es lo mismo,  $R/rad(R)$ es un anillo semiprimitivo.



Comenzamos ahora una  descripci\'on por elementos del radical de Jacobson de un anillo. Definimos
elemento casirregular como aquel $x\in R$ tal que existe $y\in R$ verificando $x+y-xy=0$.
Hacemos notar que en anillos unitarios esto es equivalente a que el elemento $1-x$ sea inversible en
$R$. Probamos que el radical de Jacobson de un anillo $R$ est\'a formado por elementos
casirregulares, es m\'as: para un anillo $R$, $rad(R)$ coincide con \roster
\item"(3)" el mayor ideal por la
izquierda   casirregular de $R$, 
\item"(4)" el mayor ideal por la
derecha   casirregular de $R$. 
\endroster


Tenemos entonces la  siguiente caracterizaci\'on de los elementos del radical de un anillo $R$. El
radical de Jacobson de un anillo $R$ coincide con:

\roster
\item"(5)" los $x\in R$ tales que $xy$ es casirregular para todo $y\in R$,
\item"(6)" los $x\in R$ tales que $yx$ es casirregular para todo $y\in R$.
\endroster

Con lo que se demuestra  que el radical de Jacobson que en principio hemos definido como una
noci\'on por la izquierda es en verdad un concepto sim\'etrico. As\'\i, tenemos   nuevas
caracterizaciones del radical:  para un anillo $R$, $rad(R)$ coincide con \roster
\item"(7)"
 la intersecci\'on de los cores de los ideales por la derecha
modulares maximales,
\item"(8)" la intersecci\'on de los ideales primitivos por la derecha. \endroster

De aqu\'\i\
se obtiene un hecho ya anunciado: un anillo  es  semiprimitivo por la izquierda si y
s\'olo si lo es por la derecha.




\subheading{ El radical de Jacobson de un anillo artiniano}



Comenzamos definiendo la noci\'on de ideal nil  como aqu\'el en el que todos sus elementos son
nilpotentes. Comprobamos que todo elemento nil es casirregular, con lo que obtenemos que todo ideal
nil est\'a contenido en el radical de Jacobson.  Por \'ultimo probamos que el radical de
Jacobson de un anillo artiniano es nilpotente. As\'\i, el radical de Jacobson de un anillo artiniano
es el mayor ideal nilpotente del anillo. Se observa que esto implica que en anillos artinianos todo
ideal nil es nilpotente.  

Tenemos, al igual que en el caso de anillos semisimples y artinianos, un teorema que  determina,
salvo isomorfismos,  los m\'odulos simples sobre anillos  artinianos: sea $R$ un anillo
artiniano y sea $rad(R)$ el radical de Jacobson de $R$. Consideremos $\overline R:=R/rad(R)$.
Entonces existe una biyecci\'on entre las componentes simples de $\overline R$ y las clases de
isomorf\'{\i}a de
$R$-m\'odulos simples.

Con este resultado se obtiene el Teorema de Hopkins-Levitzki que establece que un anillo
unitario
 y artiniano por la izquierda es noetheriano por la izquierda.


\subheading{ El nil radical inferior o radical primo}


Comenzamos la lecci\'on pregunt\'andonos s\'\i\  para un anillo $R$ existir\'a un ideal $I$ en $R$
tal que  $R/I$ sea primo y todo ideal con esta condici\'on contenga a  $I$.
R\'apidamente llegamos a que tal ideal no tiene por que existir, basta tomar como  anillo el
producto de dos cuerpos. Con esto obtenemos que la clase de los anillos primos no es
radical-semisimple. 

Planteamos entonces el mismo problema en el caso semiprimo.
Por tanto, para un anillo  $R$, buscamos un ideal $I$   que contenga a todos los
divisores absolutos de cero del anillo. Como primer resultado obtenemos que el subgrupo generado
por todos los divisores absolutos de cero de $R$,  es un ideal de $R$, pero $R/I$ no tiene por qu\'e
ser semiprimo. En este punto abandonamos esta estrategia aunque se propondr\'a como ejercicio  la
obtenci\'on del nilradical inferior como limite transfinito de tales cocientes.


Se define la noci\'on de ideal primo  como un ideal $P$ de $R$ tal que para cada par de ideales
$I,J\subset R$, con $IJ\subset P$, se tenga que  $I\subset P$ o $J\subset P$. Se dan unas
primeras caracterizaciones de ideal primo en t\'erminos de ideales, cocientes y  elementos:

Sea $R$ un anillo  y $P$ un ideal de $R$. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $P$ es un ideal primo.
\item $R/P$ es un anillo primo.
\item Para cualesquiera $a, b\in R$, $(RaR)(RbR)\subset P$ implica que $a\in P$ o $b\in P$.
\item Para cualesquiera $a, b\in R$, $aRb\subset P$ implica que $a\in P$ o $b\in P$.
\endroster


Diremos que un subconjunto $S$ de $R$ es un  m-sistema  s\'\i\  para cualesquiera 
$a,b\in S$  existe $r\in R$ verificando que $axb\in S$. La noci\'on
de m-sistema est\'a \'{\i}ntimamente ligada con la de ideal primo, as\'\i:
(1)   un ideal
$P$ de un anillo
$R$ es primo si y s\'olo si
el complemento de $P$ en $R$ es un m-sistema, (2) dado un   m-sistema $S$,
cualquier ideal de $R$,  maximal respecto a la propiedad de no cortar a $S$ es primo.

Se define la noci\'on de ideal semiprimo  como un ideal $P$ de $R$ tal que para cada ideal
$I\subset R$, con $I^2\subset P$, se tenga que  $I\subset P$ y al igual que en el caso de ideal primo
se caracteriza en t\'erminos de ideales, cocientes y 
elementos.
Sea $R$ un anillo  y $P$ un ideal de $R$. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $P$ es un ideal semiprimo.
\item $R/P$ es un anillo semiprimo.
\item Para cualquier $a\in R$, $(RaR)^2\subset P$ implica que $a\in P$.
\item Para cualquier $a\in R$, $aRa\subset P$ implica que $a\in P$.
\endroster

Diremos que un subconjunto $S$ de $R$ es un  n-sistema  s\'\i\  para cualquier 
$a\in S$  existe $r\in R$ tal que $axa\in S$. Tenemos entonces que  un ideal $I$ de un anillo $R$ es
semiprimo si y s\'olo si el complemento de $I$ en $R$ es un n-sistema. 

Demostramos que todo n-sistema es uni\'on de m-sistemas. Con esta propiedad obtenemos  que un ideal
 de un anillo  es semiprimo si y s\'olo si  es intersecci\'on de ideales primos del anillo. De esto
\'ultimo se deduce  que todo anillo semiprimo es producto subdirecto de anillos primos.

Dado un ideal $I$ de un anillo $R$ definimos:

 $$\root \of I:=\{x\in R \ \vert\ \text{todo m-sistema
que contiene a $x$ corta a I\ }\}.$$ Se tiene entonces que $\root \of I$ es el menor ideal semiprimo
del anillo que contiene a $I$. Definimos el nil radical inferior o radical de Baer-McCoy y lo
representaremos por $Nil_*(R)$ como el menor ideal semiprimo de $R$, esto es, $\root \of{\{0\}}$.


Tenemos entonces que  dado un anillo $R$:
\roster
\item $R$ es semiprimo si y s\'olo si $Nil_*(R)=0$.
\item $R/Nil_*(R)$ es semiprimo.
\item $Nil_*(R)$ es un ideal nil de $R$.
\item $Nil_*(R)\subset rad(R)$.
\endroster

En clase se debatir\'a el siguiente problema: s\'\i\  la ideal del nilradical inferior consiste
en encontrar un ideal, el mas peque\~no posible, tal que el cociente no contenga ideales
nilpotentes, ?`por que no tomar como ideal la suma de todos los ideales nilpotentes del anillo? Y se
pedir\'a un ejemplo en donde la contenci\'on de (4) sea estricta.

\subheading{ El nil radical superior}

Nos encontramos con que un anillo semiprimo puede contener ideales nil.
En esta secci\'on vamos a estudiar un radical que  elimina dichos ideales.

Comenzamos demostrando que s\'\i\  $I$ y $J$ son respectivamente ideal e ideal por la izquierda
(resp. por la derecha) nil de un anillo $R$, entonces $I+J$ es un ideal por la izquierda (resp. por
la derecha) nil. Esto,  permite definir el radical superior de un anillo $R$, que 
representaremos por $Nil^*(R)$, como la suma de todos los ideales nil de $R$.

Tenemos entonces que para cualquier anillo $R$:
\roster
\item $Nil^*(R)$ es el mayor ideal nil de $R$.
\item $R$ no contiene ideales nil si y s\'olo si $Nil^*(R)=0$.
\item $Nil^*(R/Nil^*(R))=0$.
\endroster

Para concluir esta lecci\'on se enuncia la conjetura de   K\"othe que afirma que  un anillo sin
ideales nil no contiene ideales por la izquierda, ni por la derecha nil. Damos varios enunciados
equivalentes a este:
\roster
\item $R$ verifica la conjetura de K\"othe.
\item Todo ideal por la izquierda (resp. por la derecha) nil de $R$ est\'a contenido en $Nil^*(R)$.
\item  La suma de dos ideales por la izquierda (resp. por la derecha) nil  de $R$  es un ideal por
la izquierda (resp. por la derecha) nil.
\item Si $I$ es un ideal por la izquierda nil, $IR$ es un ideal nil.
\endroster

 Como consecuencia se obtiene que todo anillo artiniano verifica la conjetura de K\"othe. Por
\'ultimo demostramos el Teorema de Levitzki que afirma que todo anillo noetheriano por la izquierda
tambi\'en verifica dicha conjetura. 

\subheading{ El radical de Levitzki}

Introducimos la noci\'on de conjunto localmente nilpotente:  un subconjunto $S$ de un
anillo $R$ es localmente nilpotente si cualquier subanillo generado por un  subconjunto finito
de $S$ es nilpotente.

Demostramos que si $I$ y $J$ son dos ideales por la izquierda localmente nilpotentes,  entonces
$IR$, $I+J$ son localmente nilpotentes. Definimos el radical de Levitzki de un anillo
$R$ y lo representamos como $L$--$rad(R)$ como la suma de todos los ideales localmente nilpotentes de
 $R$.

Es claro que $L$--$rad(R)$ es el mayor ideal localmente nilpotente de $R$ y que $L$--$rad(R)$
contiene a todos los ideales por la izquierda y por la derecha localmente nilpotentes.

 Tenemos entonces que para un anillo $R$ la relaci\'on entre 
los radicales estudiados hasta el momento es:
$$Nil_*(R)\subset L\text{--}rad(R)\subset Nil^*(R)\subset rad(R)$$

Si nuestro anillo $R$ es artiniano,  estos radicales coinciden y si es conmutativo
$Nil_*(R)=L$--$rad(R)= Nil^*(R)=Nil(R)$. Por \'ultimo mostramos un anillo primo $R$ tal que 
$L$--$rad(R)\ne 0$ y un dominio de integridad $D$  con un \'unico ideal maximal, por tanto
$Nil^*(D)=0$ y $ rad(D)\ne 0$. 
% [Lam 1 pag 178.
%[Lam 1 (19.7) segundo parrafo.

\vfill \eject

\Refs\nofrills 
\noindent{\granbf  Bibliograf\'\i a} 
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\endRefs


\newpage

\centerline{\granbf   TEMA 5. }
\vskip .1true in
\centerline{\granbf  ANILLOS DE DIVISI\'ON. TEOREMAS DE CONMUTATIVIDAD. }
\vskip .2true in


Lecci\'on 22.-  Algunas construcciones de anillos de divisi\'on. \par
Lecci\'on 23.- El Teorema de Frobenious. \par
Lecci\'on 24.- Teoremas de conmutatividad. \par 

\vskip .5true in

Es claro, una vez visto el Teorema de Wedderburn-Artin, la
importancia  de los ani\-llos de divisi\'on en el desarrollo de una teor\'\i a general de anillos
asociativos. 

Los anillos de divisi\'on se clasifican en dos grupos dependiendo de que tengan   
dimensi\'on infinita o dimensi\'on  finita sobre su centro, que siempre es un cuerpo. 
Los
primeros, bastante complejos, no fueron descubiertos
hasta 1899 por Hilbert, mientras que 
los segundos  no distan mucho  de ser conmutativos. Veremos, en el cap\'\i tulo 9, que los anillos
de divisi\'on de dimensi\'on finita sobre su centro son precisamente los que verifican una identidad
polin\'omica est\'andar, por lo que aplicando resultados m\'as generales de este tema los podremos
ver como  subanillos de anillos de matrices sobre cuerpos algebraicamente cerrados.




\subheading{Algunas construcciones de anillos de divisi\'on}

En este momento los alumnos conocen un \'unico ejemplo de anillo de divisi\'on no conmutativo,
los cuaternios de Hamilton, por tanto comenzamos este cap\'\i tulo presentando algunas
construcciones de estos objetos. 

Empezamos con la construcci\'on de D. Hilbert que proporcion\'o,
en el a\~no 1899, el primer ejemplo de anillo de divisi\'on de dimensi\'on infinita sobre su
centro. Dado
$K$ un cuerpo y
$\sigma$ un automorfismo de $K$ se considera $\Delta=K((X,\sigma))$ el anillo de las series
formales de Laurent, con suma por componentes y multiplicaci\'on definida por la regla
$Xa=\sigma(a)X$. Sea comprueba que $\Delta$ es un anillo de divisi\'on. Se calcula el
centro de $\Delta$ demostr\'andose que
$\Delta$ es centralmente finito si y s\'olo si $\sigma$ tiene orden finito. Por \'ultimo, buscando
el primer ejemplo de anillo de divisi\'on que no es centralmente finito, se
considera $\Delta=K((X,\sigma))$ para 
$K=\Bbb Q(T)$ y $\sigma$ el automorfismo que manda $T$ en $2T$.



Seguimos la secci\'on presentando la construcci\'on de las \'algebras c\'\i clicas de  L. Dickson,
que aparecen en el a\~no 1906. Se comienza considerando una extensi\'on de Galois $F\subset K$, 
 con grupo de Galois, digamos $G$, c\'\i clico de $s$ elementos. Se consi\-dera  $\sigma$  un
generador de $G$ y  $D=K\cdot 1\oplus K\cdot X\oplus \cdots\oplus K\cdot X^{s-1}$,  en
donde la suma es por componentes y la multiplicaci\'on verifica las reglas: $X^s=a$ y $X\cdot
b=\sigma(b)\cdot X$. Comprobamos entonces que $D$  es una
$F$-\'algebra de dimensi\'on
$s^2$. En general estas \'algebras no tienen que ser de divisi\'on, aunque siempre
son simples. Demostramos que $D\cong \Cal M_s(F)$ si y s\'olo si $a$  es una norma de la
extensi\'on $F\subset K$ y que, en el caso de que $s$ sea un n\'umero primo, $D$ es un anillo de
divisi\'on si y s\'olo si $a\in K$  no es una norma de la extensi\'on.

Por \'ultimo damos la construcci\'on de Malcev-Neumann de los anillos de divisi\'on de series de
Laurent. Para tal construcci\'on necesitamos un anillo $R$, un grupo ordenado $(G,\le)$ y un
homomorfismo  de grupos, digamos  $w$, de $G$ en $Aut (R)$. Consideramos el anillo de Malcev-Neumann
$A=R((G,w))$ consistentes en las sumas formales:
$\alpha=\sum_{g\in G}r_g g$, con $r_g\in R$, tales que su soporte (en donde se define el soporte de
$\alpha$ como
$sopp(\alpha):=\{g\in G\ \vert\ r_g\ne 0\}$) es un subconjunto bien ordenado. Se define la suma en
$A$ por componentes y el producto como:
$$(\sum_{g\in G}r_g g)(\sum_{h\in G}s_h h):=\sum_{u\in G}(\sum r_g w_g(s_h)) u$$
en donde $w_g=w(g)$ y la segunda suma es sobre todos los pares $(g,h)\in G\times G$ tales que
$gh=u$. Como se vera mas adelante, el subanillo de todos los elementos de soporte finito es el
anillo grupo asim\'etrico de $R$ y $G$. Demostramos que si $R$ es un anillo de divisi\'on, entonces
$A=R((G,w))$ es tambi\'en anillo de divisi\'on.


\subheading{El Teorema de Frobenious}

Antes de entrar en el estudio de los anillos de divisi\'on en general demostramos el Teorema de
Frobenious que determina todas los anillos de divisi\'on algebraicos sobre el cuerpo de los
reales: 

Un anillo de divisi\'on algebraico sobre el cuerpo de los reales  es
isomorfo a
$\Bbb R$, 
$\Bbb C$ o $\Bbb H$ (el \'algebra de divisi\'on de los cuaternios reales).

Como ejercicio se propondr\'a demostrar que la clasificaci\'on dada por Frobenious es aplicable a
todo cuerpo real-cerrado, esto es, todo cuerpo $F$ tal que $\root2\of{-1}\notin F$ y
$F(\root2\of{-1})$ sea algebraicamente cerrado.

\subheading{Teoremas de conmutatividad}

Comenzamos esta secci\'on recordando el Teorema de Wedderburn, que establece que todo anillo de
divisi\'on  finito es cuerpo. Como corolarios a este teorema demostramos que todo subanillo finito
de un anillo de divisi\'on es cuerpo, que todo subgrupo finito de un anillo de
divisi\'on de caracter\'\i stica distinta de cero es c\'\i clico, as\'\i \ como el Teorema de
Jacobson que establece que todo anillo de divisi\'on algebraico sobre un cuerpo finito es
conmutativo. 

Demostramos un Lema de Herstein, publicado en 1968, que establece que si $\Delta$ es un anillo de
divisi\'on de caracter\'\i stica $p>0$ y $a\in \Delta^*$ es un elemento  no central de torsi\'on 
entonces existe $y\in \Delta^*$ tal que $yay^{-1}=a^i\ne a$ para $i>0$.

Este lema  permitir\'a demostrar un primer caso del Teorema de Jacobson-Herstein: sea $R$ un
anillo tal que para todo $a,b\in R$ existe $n=n_{(a,b)}$ tal que $[a,b]^n=[a,b]$, entonces $R$ es
conmutativo. 

La demostraci\'on de este teorema la haremos en varios pasos:\par
(1). Demostraremos, a partir del Lema de Herstein, que el resultado es cierto para anillos de
divisi\'on.\par
(2). A partir del Teorema de densidad de Jacobson extenderemos el resultado a anillos
primitivos.\par
(3). Gracias a que todo anillo semiprimitivo es producto subdirecto de anillos primitivos,
extenderemos el resultado a anillos semiprimitivos.\par
(4). Por \'ultimo ampliamos el resultado para anillos en general.

Como corolario a este resultado obtenemos un  teoremas de Jacobson:  Sea $R$ un anillo tal que
para todo
$a\in R$ existe $n=n_a\in \Bbb N$ tal que $a^n=a$. Entonces $R$ es conmutativo. 

\vfill\eject

\Refs\nofrills 
\noindent{\granbf  Bibliograf\'\i a}
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\endRefs


\newpage

\centerline{\granbf   TEMA 6. }
\vskip .1true in
\centerline{\granbf  ANILLOS SEMIPRIMOS CON Z\'OCALO ESENCIAL. }
\vskip .2true in



Lecci\'on 25.- El z\'ocalo de un anillo. \par
Lecci\'on 26.- Descomposici\'on del z\'ocalo de un anillo semiprimo.\par
Lecci\'on 27.- Estructura geom\'etrica de los anillos primos con z\'ocalo no nulo.\par

\vskip .5true in



En este cap\'\i tulo vamos a estudiar  una clase especial de anillos primitivos (resp.
semiprimitivo), los anillos primos con z\'ocalo no nulo (resp. semiprimos con z\'ocalo esencial).

Comenzamos estudiando los anillos primos que coinciden con su z\'ocalo. \'Estos  pueden verse como
una generali\-zaci\'on natural de los anillos primos y artinianos: mientras que estos \'ultimos
pueden representarse como anillos de endomorfismos de espacios vectoriales de dimensi\'on finita,
los primeros  son isomorfos a anillos de endomorfismos de rango finito de espacios vectoriales de
dimensi\'on arbitraria. Es m\'as, todo  anillo primo con z\'ocalo no nulo  se puede sumergir en  un
anillo de endomorfismos de un espacio vectorial de tal modo que  su z\'ocalo va a coincidir con los
elementos  del anillo que tengan rango finito.

Por otra parte  todo ideal por la izquierda minimal de un anillo primo $R$ resulta ser un
$R$-m\'odulo por la izquierda simple y fiel, por lo que los anillo primos con z\'ocalo no nulo son 
primitivos. Como ya se anuncio, en estos anillos vamos a tener la unicidad, salvo isomorfismos,  de
las estructuras que aparecen en el Teorema de Densidad de Jacobson.  

\subheading{ El z\'ocalo de un anillo}

Se define el z\'ocalo por la izquierda (resp. por la derecha) de un anillo $R$ como el z\'ocalo de
$R$ considerado \'este como $R$-m\'odulo por la izquierda (resp. $R$-m\'odulo por la derecha). Por
tanto, el z\'ocalo por la izquierda (resp. por la derecha) de un anillo $R$ es la suma de los
ideales por la izquierda (resp. por la derecha) minimales de $R$. Seguidamente se demuestra que
ambos z\'ocalos son ideales del anillo, aunque en general no tienen por que coincidir. Cuando ambos
z\'ocalos coinciden se dice que
$R$ tiene z\'ocalo y se denota a \'este por $Zoc(R)$.

Se estudian los ideales por la izquierda (resp. por la derecha) minimales de un anillo 
demostr\'andose  el Lema de Brauer que afirma  que si $I$ es un ideal por la izquierda (resp. por la
derecha)  minimal de un anillo $R$, entonces $I^2=0$ o existe un idempotente de divisi\'on $e\in I$
tal que $I=Re$ (resp. $I=eR$). Este
resultado  caracteriza los ideales por la izquierda (resp. por la derecha) minimales en anillos
semiprimos,  lo que permite demostrar que  en  anillos semiprimos los z\'ocalos laterales
coinciden. 

Se demuestra que todo anillo primo que posee un ideal por la izquierda minimal es primitivo: en
un anillo primo todo ideal por la izquierda minimal   puede verse como un
$R$-m\'odulo por la izquierda  simple y fiel, por lo que estos anillos son primitivos por la
izquierda, es m\'as,  por el Lema de Brauer cada ideal por la
izquierda minimal  da lugar a un ideal por la derecha minimal, por lo tambi\'en  son primitivos 
por la derecha. 
 Adem\'as, si $I$ es un ideal por la izquierda minimal de un anillo primo $R$, todos los
$R$-m\'odulos por la izquierda simples y fieles de $R$ son isomorfos, como $R$-m\'odulos por la
izquierda, a $I$ y el anillo de endomorfismos de cualquier $R$-m\'odulo por la
izquierda simple y fiel, que es un anillo de divisi\'on por el Lema de Schur, es isomorfo a  $eRe$,
en donde $e$ es cualquier idempotente de divisi\'on de $R$.

  Se demuestra que en anillos semiprimos el
z\'ocalo es hereditario para ideales: si
$I$ es un ideal de un anillo semiprimo $R$, $Zoc(I)=I\cap Zoc(R)$. As\'\i \ como que para todo
idempotente
$e\in R$, $Zoc(eRe)=eRe\cap Zoc(R)$.

Se caracterizan los elementos del z\'ocalo de un anillo semiprimo $R$ como aquellos 
$x\in R$ para los que se satisface la condici\'on de cadena descendente para ideales por la
izquierda principales de la forma $Ry$ con $y\in Rx$. Esto  lleva a una cadena de resultados
interesantes:

(1) Los anillos
 semiprimos y unitario que coincide con su z\'ocalo son precisamente los semiprimos artinianos. 

(2) Si  $e$ es un
idempotente contenido en el z\'ocalo de un anillo semiprimo $R$, $eRe$ es un anillo
semiprimo y artiniano. Por tanto, y en virtud del Teorema de Wedderburn-Artin , $eRe$  es una suma
directa  finita de anillos de matrices sobre anillos de divisi\'on.

(3) Se demuestra un teorema de Litoff, que afirma que un elemento $x$ en un anillo semiprimo $R$
est\'a contenido en el z\'ocalo de $R$ si y s\'olo si existe un idempotente $e\in Zoc(R)$ tal que
$x\in eRe$, en donde $eRe$ es un anillo semiprimo y artiniano. Como consecuencia obtenemos que  el
z\'ocalo de un anillo primo es ``localmente" un anillo de matrices sobre un anillo de divisi\'on.

(4)  El z\'ocalo de un anillo semiprimo es
un ideal regular von Neumann.

Como consecuencia de este \'ultimo hecho obtenemos que un anillo semiprimo con z\'ocalo esencial
es semiprimitivo, es decir, tiene radical de Jacobson cero.

\subheading{Teorema de estructura de los anillos semiprimos con z\'ocalo esencial}

Se estudia la descomposici\'on del z\'ocalo de un anillo semiprimo como suma de sus distintas
componentes homog\'eneas demostr\'andose que cada una de ellas es un ideal del anillo que visto
 como anillo es simple y coincide con su z\'ocalo. 

Con este hecho se  demuestra que un anillo semiprimo con
z\'ocalo esencial es producto subdirecto esencial de anillos primos con z\'ocalo no nulos. M\'as
concretamente si $Zoc(R)=\oplus I_\alpha$, siendo $\{I_\alpha\}$  las componentes
homog\'eneas de
$Zoc(R)$:
$$\oplus I_\alpha\triangleleft R\subset \prod R/ann_R(I_\alpha),$$
en donde para cada $\alpha$, $R/ann_R(I_\alpha)$ es un anillo primo con z\'ocalo no nulo.

\subheading{ Estructura geom\'etrica de los anillos primos con z\'ocalo no nulo}

Se introduce la noci\'on de par dual de espacios vectoriales. Como ejemplo se ve que $(V,V^*, <>,
\Delta)$, en donde $V^*$ denota al dual de $V$,  es un par dual de espacios vectoriales, llamado el
dual pleno asociado a  
$V$. 

Se demuestra que si $(V,W,<>,\Delta)$ es un par dual de espacios vectoriales, $W$ es
isomorfo a un subespacio de $V^*$ y que si adem\'as $V$ tiene dimensi\'on finita, $W$ es isomorfo a
$V^*$. Por \'ultimo se demuestra el Teorema de la base dual.

Se define el concepto de aplicaci\'on continua respecto de un par dual de espacios vectoriales y se
demuestra que el conjunto de tales aplicaciones, denotando por $\Cal L_W(V)$ es un anillo primo con
z\'ocalo igual a
$\Cal F_W(V)$, el conjunto de aplicaciones continuas de rango finito. Por \'ultimo se demuestra que
un anillo $R$  es primo con z\'ocalo no nulo si y s\'olo si existe un par dual de espacios
vectoriales tal que $\Cal F_W(V)\subset R\subset \Cal L_W(V)$. Adem\'as, en este caso, $Zoc(R)=\Cal
F_W(V)$,
 es un ideal m\'\i nimo de
$R$. Se observa  que bajo esta representaci\'on,
 $R$ es un subanillo denso de un anillo de
endomorfismos de un espacio vectorial sobre un anillo de divisi\'on. 

\vfill\eject

\Refs\nofrills 
\noindent{\granbf  Bibliograf\'\i a}
\vskip .2true in



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\yr 1988 \endref
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\endRefs



\newpage

\centerline{\granbf   TEMA 7. }
\vskip .1true in
\centerline{\granbf  ANILLOS  SEMIPERFECTOS. }
\vskip .2true in


Lecci\'on 28.- Anillos locales y semilocales.\par
Lecci\'on 29.- Anillos semiperfectos. \par
Lecci\'on 30.- Anillos semiperfectos de cocientes simples. \par
Lecci\'on 31.- Anillos semiperfectos no unitarios.\par


\vskip .5true in



En este tema vamos a estudiar ciertas clases de anillos con radical de Jacobson distinto de
cero. Comenzaremos el tema con un estudio m\'as profundo de los anillos locales, \'estos  ya
aparecieron con la definici\'on de m\'odulo fuertemente indescomponibles y el Teorema de
Krull-Schmidt. Como  generalizaci\'on de los anillos locales se introducir\'a la noci\'on de
anillo semilocal y posteriormente, a\~nadiendo la propiedad de elevaci\'on de idempotentes, la
noci\'on de anillo  semiperfecto. Sorprendentemente al igual que los anillos de divisi\'on son la
estructura b\'asica para la construcci\'on de los  anillos semiprimos y artinianos, los anillos
locales van a ser la estructura b\'asicas con los que se construir\'an los anillos semiperfectos de
cociente simple: \'estos ser\'an anillos de matrices sobre anillos locales. 

Todos los anillos que aparecen entre la  lecci\'on
28 a la 30 ser\'an, salvo que se diga lo contrario,  unitarios.

\subheading{ Anillos locales y semilocales}

Empezamos la lecci\'on recordando  el concepto de anillo local y estableciendo distintas
caracterizaciones de \'estos:
para un anillo $R$ las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $R/Rad(R)$ es un anillo de divisi\'on.
\item $R$ posee un \'unico ideal por la izquierda maximal.
\item $R$ posee un \'unico ideal por la derecha maximal.
\item $R-U(R)$ es un ideal de $R$.
\item $R-U(R)$ es un subgrupo de $R$.
\item Para cualquier $n$, si $a_1+a_2,\dotsb +a_n\in U(R)$, entonces  existe un $i$ tal que $a_i\in
U(R)$.
\item Si $a+b\in U(R)$, entonces $a\in U(R)$ o $b\in U(R)$.
\endroster
En donde $U(R)$ denota el conjunto de los elementos inversibles de $R$. Recordamos aqu\'{\i} que los
anillos locales no contienen m\'as idempotentes que los triviales.
 
Damos algunos ejemplos de anillos locales:

-- La localizaci\'on de un anillo
conmutativo por un ideal primo. Como ejemplo de esto, el subanillo $Z^p$ de
$\Bbb Q\,$, con $p\in \Bbb Z$ un
n\'umero primo,  formado por todos los elementos  que se pueden escribir con denominador no multiplo de
$p$.
 % parece el el Atiyac-Macdonald

-- Dado $R$ un anillo local, $R[[X]]$ el anillo de series formales,  as\'{\i} como
el anillo de series formales asim\'etrico $R[[X;\sigma]]$. 

-- El subanillos del anillo de matrices triangulares superiores sobre un anillo de divisi\'on 
formado por las matrices de diagonal constante.


Por \'ultimo caracterizamos los anillos artinianos que son locales como aqu\'ellos que s\'olo
poseen los idempotentes triviales.

 Se introduce el concepto de anillo semilocal como una generalizaci\'on de los anillos locales; se
dice que un anillo $R$ es semilocal si  $R/Rad(R)$ es un anillo semisimple. Claramente tanto los
anillos locales, como los artinianos por la izquierda (resp. por la derecha) son anillos
semilocales. Es m\'as, el producto directo finito de anillos semilocales es semilocal y si $R$ es un
anillo semilocal, cualquier cociente de $R$ as\'\i\  como $\Cal M_n(R)$, para $n\in \Bbb N$,  son
semilocales.

Ponemos de manifiesto que esta definici\'on es coherente con la dada en anillos conmutativos
demostrando que si un anillo $R$ contiene un n\'umero finito de ideales por la izquierda maximales
entonces el anillo es semilocal. El rec\'\i proco no se tiene en general, aunque s\'\i\  es cierto
cuando
$R/J(R)$ es conmutativo. 

Para concluir el estudio de los anillos semilocales demostramos que \'estos son Dedekind-finitos (un
anillo $R$ se dice que es Dedekind-finito si dados $a,b\in R$ tales que $ab=1$, se tiene que
$ba=1$). Una generalizaci\'on de este hecho, demostrado por H. Bass en un trabajo pionero sobre 
$K$-Teor\'\i a, afirma:

Sea $R$ un anillo semilocal, sea $a\in R$ e $I$ un ideal por la izquierda de $R$. Entonces
$Ra+I=R$ si y s\'olo si existe $y\in I$ tal que  $a+y\in U(R)$. Que demuestra que todo anillo
semilocal posee rango estable $1$.

 Por
\'ultimo caracterizamos los anillos semilocales por propiedades procedentes de su categor\'\i a de
m\'odulos, as\'\i:

Para un anillo $R$ las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $R$ es semilocal.
\item Todo producto directo de $R$-m\'odulos simples es semisimple.
\item Todo producto directo de $R$-m\'odulos semisimples es semisimple.
\item Para todo $R$-m\'odulo $M$, $Zoc(M)=\{m\in M\vert (rad(R))m=0\}$.
\endroster

\newpage

\subheading{ Anillos semiperfectos}

Comenzamos introduciendo el concepto de anillo semiperfecto: se dir\'a que un anillo $R$ es
semiperfecto s\'\i\  es semilocal y todo idempotente de $R/Rad(R)$ se eleva a un
idempotente de $R$.

 Como ejemplos de anillos semiperfectos  se ven los anillos locales y los
anillos artinianos  por la izquierda (resp. por la derecha), este \'ultimo resultado se deduce del
hecho de que  el radical de Jacobson de un anillo artiniano es nilpotente y de que los idempotentes
se elevan m\'odulo cualquier ideal nil. As\'\i\ mismo se demuestra que la suma directa finita de
anillos semiperfectos es un anillo semiperfecto. 

Construimos un  anillo $R$  que es un dominio conmutativo y unitario con unicamente
dos ideales maximales, lo que  da un ejemplo de un anillo semilocal que no es semiperfecto. 

Comenzamos el estudio de los anillos semiperfectos viendo algunos resultados sobre idempotentes.

Se demuestra que si $M\subset Rad(R)$ es un ideal de $R$ y se pueden elevar idempotentes m\'odulo
$M$, entonces se pueden elevar familias numerables de idempotentes ortogonales m\'odulo $M$, es
decir: dado
$\{\overline x_i\}_{i\in \Bbb N}$ una familia de idempotentes orto\-gonales de $R/M$, existe 
$\{e_i\}_{i\in \Bbb N}$ una familia de idempotentes ortogonales de $R$ tales que $\overline
x_i=\overline e_i$ para todo $i\in \Bbb N$. Por tanto, en  anillos
semiperfectos se elevan familias numerables de idempotentes ortogonales. 


 Se introducen 
 las distintas  descomposiciones de Peirce asociadas a un idempotente, digamos $e$, de un
anillo $R$:
$$\align R=&Re\oplus R(1-e)\\R=&eR\oplus (1-e)R\\R=&eRe\oplus eR(1-e)\oplus (1-e)Re\oplus
(1-e)R(1-e) \endalign $$
y se demuestra que un anillo $R$ se puede descomponer como suma directa de ideales por la izquierda
(resp. por la derecha), es decir,
$R=I_1\oplus I_2\oplus\dotsb \oplus I_n$ si y s\'olo si existen $n$ idempotentes ortogonales en $R$
tales que
$1=\sum e_i$, en donde $e_i\in I_i$ y $I_i=Re_i$ (resp. $I_i=e_iR$). Como consecuencia de este
hecho se obtiene la siguiente caracterizaci\'on de idempotente primitivo (un idempotente $e$ de un
anillo
$R$ se dice primitivo s\'\i\  no se puede escribir como suma de dos idempotentes ortogonales) y de
idempotente local:

Sea $R$ un anillo y $e$ un idempotente de $R$. Son equivalentes:
\roster
\item  $e\in R$ es
primitivo.
\item El ideal por la izquierda  $Re$  es indescomponible (resp. fuertemente indes\-componible). 
\item El ideal por la derecha  $eR$  es indescomponible (resp. fuertemente indescom\-ponible). 
\item El subanillo $eRe$ no contiene idempotentes no triviales (resp. $eRe$ es un anillo
local).
\endroster
Obviamente todo idempotente local es  primitivo. Con el siguiente resultado obtendremos que en 
anillos semiperfectos ambos conceptos son equivalentes.


Se demuestra que dado un anillo semiperfecto $R$ y un idempotente $e\in R$, el subanillo $eRe$ es
semiperfecto. Es m\'as, para un anillo no necesariamente unitario $R$: 
$$\align Rad(eRe)=Rad(R)&\cap
eRe=e(Rad(R))e\\ eRe/Rad(eRe)\cong &\
\overline e (R/Rad(R))\overline e\endalign$$

Tenemos entonces que un idempotente $e$ de un anillo semiperfecto $R$ es local (equivalentemente
primitivo) si y s\'olo si $\overline e\in R/Rad(R)$ es un idempotente de divisi\'on.



Se demuestra un teorema de descomposici\'on para anillos semiperfectos: sea
$R$ un anillo semiperfecto, entonces considerado $R$ como grupo aditivo se tiene que $R=S\oplus M$,
en donde $M$ es un subgrupo del radical de Jacobson de $R$ y $S$ es un subanillo de $R$ tal que $S$
es una suma directa finita  de anillos semiperfectos $R_1,R_2,\hdots,R_n$ cuyos anillos factores
son simples. M\'as adelante se ver\'a que  esta descomposici\'on  es \'unica salvo automorfismos
internos. 

La demostraci\'on de este teorema consiste en tomar una familia de idempotentes centrales,
$\overline e_1,\overline e_2,\hdots ,\overline e_n$  de
$R/Rad(R)$ tales que $\overline {R_i}:=\overline e_iR/Rad(R)$ sea simple y elevarlos a una familia de
idempotentes ortogonales de $R$. Los anillos $R_i$ no son m\'as que $e_iRe_i$, por tanto son ideales
internos, y
$M$ no es m\'as que el ``residuo"
que aparece en la descomposici\'on de Peirce de $R$ respecto de los $\{e_i\}$, ya que
desgraciadamente los idempotentes centrales del cociente no se elevan a idempotentes centrales de
$R$.

Como corolario a este resultado obtenemos que un anillo conmutativo es semiperfecto  si y s\'olo si
es isomorfo a un coproducto finito de anillos locales (conmutativos).

\subheading{ Anillos semiperfectos de cocientes simple}

Comenzamos esta lecci\'on introduciendo una relaci\'on de equivalencia en el conjunto de los
idempotentes de un anillo $R$. 

Sea $R$ un  anillo y sean $e$ y $f$  dos idempotentes de $ R$. Las siguientes condiciones son
equivalentes:
\roster

\item  $Re$ y $Rf$  son isomorfos como $R$-m\'odulos por la izquierda.
\item Existen $a,b\in R$ tales que $ab=e$ y $ba=f$. %[Lam, (21,20)]
\item $eR$ y $fR$ son isomorfos como $R$-m\'odulos por la derecha.
\endroster
En el caso de que se verifique alguna de las condiciones del teorema anterior se dice que $e$ y $f$
son dos idempotentes isomorfos.

Como primer resultado tenemos que 
 dado un anillo $R$ y dos idempotentes $e,f\in R$, 
$e$ es isomorfo a $f$ en $R$ si y s\'olo si  $\overline e$ es isomorfo a $\overline f$ en
$R/Rad(R)$. 

 De lo anterior se deduce que  un 
anillo $R$ es semiperfecto si y s\'olo si el $1$ se puede escribir como suma de idempotentes locales
ortogonales, o lo que es lo mismo, si y s\'olo si  $R$ se puede descomponer como suma directa finita
de ideales por la izquierda fuertemente  indescomponibles. 

Tenemos por tanto que si $k$ es un anillo local, para cualquier $n\in \Bbb N$, $R=\Cal M_n(k)$
es un anillo semiperfecto de cociente simple ($R/rad(R)\cong\Cal M_n(\Delta)$ con $\Delta
=k/rad(R)$, anillo de divisi\'on). Usando el hecho de que en un anillo semiperfecto de cociente
simple dos idempotentes primitivos son isomorfos obtenemos que \'estos son los \'unicos anillos
semiperfectos de cociente simple, esto es:

Sea $R$ un anillo. Entonces $R$ es semiperfecto y $R/Rad(R)$ es simple si y s\'olo si $R$ es
isomorfo a $\Cal M_n(k)$, en donde $k$ es un anillo local.

 
\subheading{ Anillos semiperfectos no unitarios}

Esta  lecci\'on se plantea como un trabajo de investigaci\'on para alg\'un (algunos) alumno(s)
intrepido(s). Planteamos que suceder\'a con los  anillos semiperfectos  no unitarios, es decir,
los anillos $R$ tales que $R/rad(R)$ es semisimple y los idempotente se elevan m\'odulo el radical.

Como primera cuesti\'on se plantear\'a s\'\i\  la unitizaci\'on de un anillo semiperfecto ser\'a
semiperfecto, a lo que se tendr\'a que concluir que no.  

Se plantea entonces  que todo anillo 
semiperfecto, digamos
$R$, contiene un idempotente $e$ tal que
$R=eRe+rad(R)=S\oplus M$, en donde $eRe$ es  semiperfecto y unitario,  $S$ es una suma
directa de anillos semiperfectos y unitarios de cocientes simples (por lo que es isomorfo a una suma
directa de anillos de matrices sobre anillos locales)  y
$M$ es un subgrupo de $R$ contenido en $rad(R)$.

Por \'ultimo se le pantea la unicidad de dicha descomposici\'on.


\vfill\eject

\Refs\nofrills 
\noindent{\granbf  Bibliograf\'\i a}
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\endRefs


\newpage

\centerline{\granbf   TEMA 8.}
\vskip .1true in
\centerline{\granbf ANILLOS DE COCIENTES. TEOREMAS DE GOLDIE. }
\vskip .2true in

Lecci\'on 32.- Localizaci\'on en anillos no conmutativos.\par
Lecci\'on 33.- Ordenes cl\'asicos por  la izquierda. Condici\'on de Ore.\par
Lecci\'on 34.- Anillos generales de cocientes por la izquierda.\par 
Lecci\'on 35.- Anillos de Goldie por la izquierda. El Teorema cl\'asico de Goldie.\par
Lecci\'on 36.- Los teoremas de Johnson y Gabriel.\par
Lecci\'on 37.- El Teorema de Faith-Utumi.\par
\vskip .5true in


Comenzamos recordando el proceso de construcci\'on del cuerpo de fracciones de un dominio de
integridad. Este hecho demuestra  que todo dominio de integridad puede verse como
subanillo de un cuerpo, o lo que es lo mismo, de esta forma  se consigue sumergir una estructura
bastante  buena, la de dominio de integridad,  en una mejor, la de cuerpo.  En este tema vamos a dar
distintos tipos de anillos de cocientes, que no ser\'an m\'as que extensiones de un anillo dado que
mejorar\'an conside\-rablemente las propiedades de \'este. As\'\i, por ejemplo, 
el anillo cl\'asico  de
cocientes por la izquierda (que en esencia lo que  pretende  
es dado un anillo $R$ construir un anillo $Q$ extensi\'on de $R$ en donde cualquier elementos
regular de $R$ sea inversible en $Q$) de un anillo  semiprimo y noetheriano por la izquierda 
resulta ser un anillo semiprimo y artiniano por la izquierda, con lo que quedan determinados 
los anillos semiprimos noetherianos por la izquierda como  ordenes cl\'asicos por la izquierda en
anillos semiprimos y artinianos. Con un teorema similar se determinar\'an  los anillos no  singulares
por la izquierda con dimensi\'on uniforme por la izquierda finita como aqu\'ellos que son ordenes
de Utumi por la izquierda, otra vez,  en anillos semiprimos y artinianos por la izquierda.

\subheading{Localizaci\'on en anillos no conmutativos}

Introducimos el concepto de localizaci\'on en un anillo que no tiene que ser necesariamente
conmutativo: sea
$R$ un anillo y $S$ un subconjunto multiplicativamente cerrado de
$R$,  defi\-nimos la  localizaci\'on de $R$ en $S$ como un par $(R_S,\phi)$ en donde  $R_S$ es un
anillo y $\phi:R\to R_S$ es un homomorfismo de anillos que verifica:
\roster
\item $\phi(S)\subset Inv(R_S)$,
\item para cada $q\in R_S$ existe $a\in R$, $s\in S$ tales que 
$q=\phi(s)^{-1}\phi(a)$ y
\item $Ker(\phi)=\{r\in R\vert sr=0\text{ para alg\'un } s\in S\}$.
\endroster 
Nos preguntamos cuando dado un subconjunto multiplicativamente cerrado $S$ de un anillo $R$  existe
una localizaci\'on de $R$ en $S$ y obtenemos  dos condiciones necesarias sobre el conjunto $S$:
\roster
\item para todo  $a\in R$, $s\in S$ se tiene  que $Sa\cap Rs\ne \emptyset$. En este caso se
dice  que $S$ es  permutable por la  izquierda,
\item para todo $a\in R$, $s^\prime\in S$ tal que $as^\prime =0$ existe $s\in S$ con $sa=0$. En
este caso se dice  que $S$ es  reversible por la izquierda.
\endroster

 Un subconjunto no vac\'\i o $S$ que verifique las dos condiciones anteriores se dir\'a que es 
un  conjunto de denominadores por la izquierda de $R$.

Demostramos un teorema  de Asano, extensi\'on 
de un teorema probado por Ore en los a\~{n}os 30, que demuestra que una  condici\'on 
necesaria y suficiente para que exista  la localizaci\'on de 
$R$ en
$S$ es que $S$ sea un  conjunto de denominadores por la izquierda de $R$. Adem\'as, en este caso, 
para todo homomorfismo  $f:R\to T$  con 
$f(S)\subset Inv(T)$ existe un \'unico morfismo de anillos $g:R_s\to T$ tal que $g\phi=f$, por lo que
  la localizaci\'on de 
$R$ en $S$, de existir, es \'unica salvo isomorfismos.


\subheading{Ordenes cl\'asicos por  la izquierda. Condici\'on de Ore}

Un caso especial de localizaci\'on es cuando el subconjunto  $S$  est\'a formado por elementos
regulares. En este caso   podemos considerar $R\subset R_S$. Dedicamos esta lecci\'on para este tipo
 de localizaciones.


Diremos que un subanillo $R$ de un
anillo $Q$ es un orden cl\'asico por la izquierda en $Q$
 o que $Q$ es un anillo cl\'asico de cocientes por la izquierda de $R$ si:
\roster 
\item $Reg(R)\subset Inv(Q)$,
\item dado $q\in Q$ existen $a\in Reg(R)$, $b\in R$ tales que $q=a^{-1}b$.
\endroster

Como primer ejemplo tenemos que todo dominio de integridad es un orden cl\'asico por la izquierda en
su cuerpo de fracciones.

De los resultados de la lecci\'on anterior  se obtiene la condici\'on dada por Ore  para que un
anillo 
posea  anillo cl\'asico de cocientes por la izquierda, \'esta es: para todo $x\in Reg(R)$, $y\in
R$ existe $a\in Reg(R)$, $b\in R$ tales que $ax=by$. En este caso se dice que $R$ es de Ore por la
izquierda. Es claro entonces  que si $R$ es un anillo de Ore por la izquierda, el anillo
cl\'asico de cocientes  por la izquierda, al que  denotaremos por $Q_{cl}^l(R)$, es   \'unico salvo
isomorfismos.

Existen anillos,
incluso dominios, que son de Ore por la izquierda, pero no lo son por la derecha. Como ejemplo damos
$F[X,\sigma]$, el  anillo de polinomios asim\'etricos en donde  $F$ es un cuerpo y
$\sigma:F\to F$ un monomorfismo de anillos no sobreyectivo.  

Por \'ultimo demostramos la propiedad del
denominador com\'un para ordenes cl\'asicos por la izquierda:  sea $R$
un orden cl\'asico por
 la izquierda en un anillo $Q$. Entonces, dados
$q_1,q_2,\hdots,q_n\in Q$ existen $a\in Reg(R)$, $b_1,b_2,\hdots,b_n\in R$
tales que
$q_i=a^{-1}b_i$  para $i=1,2,\dotsb,n$.

\subheading{Anillos generales de cocientes por la izquierda}

Estudiamos una segunda noci\'on de anillo de cocientes, los anillo generales de cocientes por la
izquierda, que fueron introducidos por Utumi en la d\'ecada de los 50 del siglo XX. Sea $R$ un
subanillo de un anillo
$Q$. Se dice que
$Q$ es un  anillo general de cocientes por la izquierda de $R$, o que $R$ es un orden de Utumi por
la izquierda en $Q$, si para cualesquiera
 $p,q\in Q$, con $p\ne 0$, existe $x\in R$ tal que $xp\ne 0$ y $xq\in R$.


Relacionamos los anillos generales de cocientes por la izquierda con los ordenes cl\'asicos por la
izquierda demostrando que  todo orden cl\'asico por la izquierda es  de Utumi por la izquierda. 

Mostramos, para este nuevo tipo de orden, una especie de propiedad del denominador com\'un: sea $Q$
un anillo general de cocientes por
la izquierda de
 $R$, entonces dados
 $q_1,q_2,\hdots,q_n\in Q$, con $q_1\ne 0$, existe $x\in R$ tal que
$xq_1\ne 0$ y
 $xq_i\in R$ para $i=1,2,\hdots,n$.

Una condici\'on
necesaria y suficiente  para que un anillo  tenga un anillo general de
cocientes por la izquierda
es que no posea divisores totales de cero por la derecha.
Obviamente un anillo puede tener m\'as de un anillo general de cocientes (si
$Q$ es un anillo general de cocientes por la izquierda de
$R$, cualquier
 anillo  $S$ tal que  $R\subseteq S\subseteq Q$, es un anillo general de
cocientes por la izquierda de $R$). No obstante
establecemos la
existencia de un anillo general de cocientes por la izquierda ``maximal"
para todo anillo $R$ sin divisores absolutos de cero por la derecha, a saber:
 dado  un anillo $R$
sin divisores absolutos de cero por la derecha existe un anillo
$Q$  tal que:
\roster
\item $Q$ es un anillo general de cocientes por la izquierda de $R$,
\item si $T$ es un anillo general de cocientes por la izquierda de $R$,
existe un \'unico
monomorfismo de anillos $\phi:T\to Q$ tal que $\phi(r)=r$ para todo $r\in R$.
\endroster
El anillo anterior es \'unico salvo isomorfismos y ser\'a denotado  por $Q_{max}^l(R)$,

En lo que sigue de la lecci\'on vamos a mostrar la estrecha relaci\'on existente entre
un anillo
$R$ y cualquier anillo general de cocientes por la izquierda suyo.


Comenzamos introduciendo algunas nociones que  ser\'an necesarias en las lecciones siguientes:


 Introducimos el ideal singular por la izquierda (resp. por la derecha) de un anillo $R$, a saber:
$$Z_l(R) := \{ x \in R \ \vert\ lan(x) \ \text{es un ideal por la izquierda esencial de }\  R \}, $$
demostramos que es un ideal de $R$. Definimos  anillo    no singular por la
izquierda (resp. no singular por la derecha y no singular). Como ejercicio se propondr\'a demostrar 
que  un anillo conmutativo es no singular si y s\'olo si es semiprimo.

Introducimos la noci\'on de dimensi\'on uniforme  o dimensi\'on de Goldie:
diremos que un $R$-m\'odulo $M$ tiene dimensi\'on de Goldie  finita si no existen sumas directas
infinitas de subm\'odulos no nulos. Demostramos  entonces que existe $n\in \Bbb N$ tal que $M$
contiene una suma directa de $n$ subm\'odulos y que cualquier suma directa de subm\'odulos de $M$
tiene menos de $n$ sumandos, a este $n$ se le denomina  la dimensi\'on uniforme o dimensi\'on de
Goldie de
$M$ y se  denota  por
$u-dim_R(M)$. Definimos entonces la dimensi\'on de Goldie por la izquierda (resp. por la derecha) de
un anillo $R$ como la dimensi\'on de \'este como $R$-m\'odulo por la izquierda (resp. por la
derecha).

Observamos entonces que los anillos semisimples (y unitarios) son no singulares y tienen dimensi\'on
uniforme por la izquierda y por la derecha finita.

 Tenemos entonces el teorema que ven\'{\i}amos buscando y que relaciona  las propie\-dades de un
anillo
$R$ con las de cualquier anillo general de cocientes por la izquierda suyo: 
 sea $Q$ un anillo general de cocientes por la 
izquierda de
 $R$. Entonces
\roster
\item Para todo ideal por la izquierda no nulo $\Cal L$ de $Q$, $\Cal L\cap
R\ne 0$.
\item Si $R$ es semiprimo (primo), $Q$ es semiprimo (primo).
\item Dado $X\subset R$, $lan_R(X)= lan_Q(X)\cap R$.
\item Dados $X,Y\subset R$, $lan_R(X)\subset lan_R(Y)$ si y s\'olo si
$lan_Q(X)\subset lan_Q(Y)$.
\item $Z_l(R)=R\cap Z_l(Q)$.
\item $R$ es no singular por la izquierda si y s\'olo si $Q$ es no singular
por la izquierda.
\item $R$ tiene dimensi\'on uniforme por la izquierda finita si y s\'olo si
$Q$ tiene \linebreak
 dimensi\'on uniforme por la izquierda finita. Adem\'as, en este caso ambas
dimensiones coinciden.
\endroster


\subheading{Anillos de Goldie por la izquierda. Teorema cl\'asico de Goldie} 

Comenzamos la lecci\'on definiendo anillo de Goldie por la izquierda (resp. por
la derecha) as\'\i\  como anillo de Goldie. Obtenemos que todo anillo noetheriano por la izquierda 
es de Goldie por la izquierda.

Demostramos algunas propiedades interesantes de un  anillo, $R$,
semiprimo de Goldie por la izquierda:
\roster
\item para todo $a\in R$ tal que $lan(a)=0$ se verifica que $(a]_R$ es un ideal por la izquierda
 esencial de $R$.
 Adem\'as, en este caso,   
$a\in Reg(R)$.
\item Para todo ideal por la izquierda  $I$ de $R$ existe $a\in I$ tal que $lan(a)\cap I=\{0\}$.
\item Un ideal por la izquierda de $R$ es esencial si y s\'olo si contiene un elemento regular.
\endroster

Como corolario a este resultado obtenemos que si $R$ es un anillo semiprimo de Goldie por la
izquierda $Q_{max}^l(R)=Q_{cl}^l(R)$.
Demostramos entonces el Teorema Cl\'asico de Goldie:
para un anillo $R$ los siguientes enunciados son equivalentes:
\roster
\item $R$ es un orden cl\'asico por la izquierda en un anillo semiprimo y artiniano.
\item $R$ es semiprimo de Goldie por la izquierda.
\item $R$ es semiprimo, no singular por la izquierda  con dimensi\'on uniforme por la izquierda
finita.
\item Un ideal por la izquierda $I$ de $R$ es esencial si y s\'olo si contiene un elemento regular.
\endroster
Adem\'as, si se verifica alguna de las condiciones anteriores, $R$ es primo si y s\'olo si
$Q:=Q_{cl}^l(R)$ es simple. 

\subheading{Los teoremas de Johnson y Gabriel}

Siguiendo la l\'{\i}nea del Teorema de Goldie, los teoremas de Johnson y Gabriel carac\-terizan
cierta clase de anillos en funci\'on de su anillo  de cocientes por la izquierda maximal. As\'\i, en
el resultado de Johnson  se establece que un anillo 
es no singular por la izquierda si y s\'olo si su  anillo de cocientes por la izquierda maximal es
regular von Neumann.

 El resultado de P. Gabriel  determinar\'a
los anillos  tales que su anillo de cocientes por la izquierda maximal es semiprimo y artiniano, a
saber, los anillos  no singulares por la izquierda que tienen dimensi\'on uniforme por la
izquierda finita.



\subheading{El Teorema de Faith-Utumi}

Se comienza demostrando que si $D$ es (un dominio de Ore por la izquierda que es) un orden por la
izquierda en un anillo de divisi\'on $\Delta$, entonces para cualquier $n\in \Bbb N$, $\Cal M_n(D)$
es un orden cl\'asico por la izquierda en $\Cal M_n(\Delta)$.

Si pensamos ahora en un anillo simple y
artiniano $Q$, tenemos, por el Teorema de Wedderburn-Artin, que $Q$ posee una cierta estructura
geom\'etrica, ya que puede verse como el anillo de endomorfismos de un espacio vectorial sobre un
anillo de divisi\'on, o lo que es lo mismo, $Q\cong \Cal M_n(\Delta)$ en donde $n\in \Bbb N$ y
$\Delta$ es un anillo de divisi\'on. Cabe preguntarse, s\'\i\  existe alguna relaci\'on
entre esta estructura geom\'etrica y cualquier orden cl\'asico por la izquierda suyo. La respuesta a
esta cuesti\'on la contesta el llamado Teorema de Faith-Utumi: 

Sea $R$ un orden por la izquierda
en un anillo $Q$ primo y artiniano. Entonces existe un subanillo $R^\prime$ de $R$, un natural $n\in
\Bbb N$, un dominio de Ore $D$ que es un orden en un anillo de divisi\'on $\Delta$ y un isomorfismo
$f: Q\to \Cal M_n(\Delta)$ tales que:
$$\Cal M_n(D)=f(R^\prime)\cong R^\prime\subset  R\subset Q\cong f(Q)=\Cal M_n(\Delta)$$

En la
demostraci\'on de este teorema se hace ver que no toda representaci\'on ge\-o\-m\'e\-tri\-ca del
anillo
$Q$ es v\'alida, esto es, s\'\i\  $R$ es un orden cl\'asico por la izquierda en $\Cal M_n(\Delta)$,
con
$\Delta$ un anillo de divisi\'on, no implica que exista un subanillo $D$ de $\Delta$ tal que $D$
sea un orden cl\'asico por la izquierda en $\Delta$ y $\Cal M_n(D)\subset R\subset \Cal M_n(\Delta)$.
Y se ve que una condici\'on necesaria y suficiente para que este hecho se de es que
$e_{ii}Re_{ii}\cap R\ne 0$ para
$i=1,2,\hdots, n$, en donde los $e_{ii}$ representan a las matrices unidad de $\Cal M_n(\Delta)$.


\vfill\eject

\Refs\nofrills 
\noindent{\granbf  Bibliograf\'\i a}
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 \book Free modules and Algebras: Bimodules Structure and Group Actions  \publ  Longman 
\yr 1996 \endref
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\endRefs


\newpage

\centerline{\granbf   TEMA 9.}
\vskip .1true in
\centerline{\granbf P.I--ANILLOS. }
\vskip .2true in

Lecci\'on 38.- Identidades polin\'omicas.\par
Lecci\'on 39.- \'Algebras centrales simples. El Teorema de Kaplansky.\par
Lecci\'on 40.- La conjetura de G\"othe.\par
Lecci\'on 41.- Polinomios centrales. El Teorema de Posner.
\vskip .5true in



\subheading{Identidades polin\'omicas}


Comenzamos la lecci\'on introduciendo el concepto de identidad polin\'omica: dado un anillo $R$,
diremos que  $p\in \Bbb Z<X_1,\hdots,X_n>$, el anillo libre generado por $\{X_1,\hdots,X_n\}$, es
una identidad polin\'omica para
$R$ si para cualquier 
homomorfismo de anillos
$\Phi:\Bbb Z<X_1,\hdots,X_n>\to R$, se verifica que  $\Phi(p)=0$.  A groso modo esto quiere decir
que siempre que se sustituyan $n$ elementos de $R$ en  $p$  da cero. Se define un
P.I--anillo como aqu\'el que verifica una identidad polin\'omica m\'onica.

Como ejemplos de P.I--anillos tenemos:
\roster
\item"--" Los anillos conmutativos; verifican la identidad est\'andar $S_2$.
\item"--" Las \'algebras de dimensi\'on finita; si es de dimensi\'on $n$
verifica la identidad est\'andar $S_{n+1}$. 
\item"--" Los anillos  que son finitamente generado como m\'odulos
sobre su centro. Un caso particularmente importante de este tipo son los
  anillo de matrices  sobre  anillos conmutativos.
\item"--" Los anillos nil de \'{\i}ndice de nilpotencia acotado; si $n$ es el \'{\i}ndice de nilpotencia, el
anillo verifica $X^n$.
\item"--" Las \'algebras  algebraicas de grado acotado; si $n$ es una cota del grado, verifica la
identidad 
$S_n([X,Y],[X^2,Y],\hdots, [X^n,Y])$.
\endroster

Demostramos que la clase de los P.I--anillos es cerrada para subanillos,  im\'agenes
homom\'orficas (por tanto cocientes) y sumas directas finitas.



Introducimos el concepto de identidad polin\'omica multilineal y demostramos que si $R$ verifica una
identidad polin\'omica (m\'onica) de grado $n$, entonces verifica una identidad polin\'omica
(m\'onica) multilineal de grado $n$. 

Estudiamos los anillos de matrices, demostrando que si $R$ es un anillo unitario, $\Cal M_n(R)$,
no verifica ninguna identidad polin\'omica de grado menor de $2n$. 
Con este resultado obtenemos una primera aproximaci\'on al Teorema de Kaplansky: 
si
$R$ es un
P.I--anillo primitivo que verifica una identidad polin\'omica de grado $d$, entonces existen un
anillo de divisi\'on
$\Delta$ y un natural $n$, con $n\le \frac d2$, tales que $ R\cong \Cal M_n(\Delta)$. Por tanto,
 un 
P.I--anillo primitivo   es simple y artiniano.



\subheading{\'Algebras centrales simples. Teorema de Kaplansky}

Comenzamos estudiando  los anillos  $R:=\Cal M_n(\Delta)$, en donde $\Delta$ es
un anillo de divisi\'on. Demostramos que si $H$ es un subcuerpo maximal de
$\Delta$, $S=R\otimes_{Z(R)} H$ es  un anillo simple y primitivo. Es m\'as, si $V$ un un
$R$-m\'odulo simple y fiel, $V$ puede ser dotado de estructura de $S$-m\'odulo simple y fiel con
$End(_SV)=H$.  Por \'ultimo demostramos que si $V$ tiene dimensi\'on finita sobre $H$, $S\cong \Cal
M_m(H)$ en donde $dim_H\Delta=dim_{Z(R)}H=m/n$ y $dim _{Z(R)}R=m^2$.

Si aplicamos este resultado a un  P.I--anillo primitivo, que ya sabemos que es de la forma
$\Cal M_n(\Delta)$, con $\Delta$  un anillo de divisi\'on, por el resultado anterior
$S:=R\otimes H$ vuelve a ser un P.I--anillo primitivo (al ser $R$ un P.I--anillo,  $R$ verifica una
identidad polin\'omica multilineal, y toda identidad polin\'omica multilineal de $R$ lo es de $S$).
Por tanto existe $m\in \Bbb N$ tal que $S\cong \Cal M_m(H)$, en donde $dim_H\Delta=dim_{Z(R)}H=m/n$
y
$dim _{Z(R)}R=m^2$, lo que  demuestra  el Teorema de Kaplansky:
todo P.I--anillo primitivo es  simple de dimensi\'on finita sobre su
centro. 

\subheading{La conjetura de G\"othe}

Al igual que los anillos conmutativos o las \'algebras de dimensi\'on finita (m\'as aun, las
\'algebras artinianas)  los P.I--anillos verifican la conjetura de G\"othe, esto es: un
P.I--anillos sin ideales nil no nulos no contienen ideales por la izquierda (resp. por la derecha)
nil no nulos. Es m\'as, demostramos que un P.I--anillo es semiprimo si y s\'olo si no contiene
ideales por la izquierda (resp. por la derecha) nil no nulos.  

 

Comprobamos que el anillo de polinomios con coeficientes en  un anillo  sin  idea\-les
por la izquierda nil   es semiprimitivo. Este es el primer paso para sumergir un P.I--anillo
semiprimo en un anillo de matrices sobre un producto de cuerpos: 
si $R$ es un P.I.--anillo semiprimo, tenemos que $R[X]$ es un P.I--anillo semiprimitivo. \'Este a
su vez es producto subdirecto de anillos P.I--anillos primitivos, cada uno de los cuales se puede
ver como subanillo de un anillo de matrices sobre un cuerpo. Por \'ultimo, como cada uno de estos
anillos de matrices tienen su \'\i ndice acotado por el grado de la identidad polin\'omica que
verifica $R$ tenemos que podemos ver este producto subdirecto como subanillo de un anillo de
matrices, de \'\i ndice menor que  el grado de la identidad polin\'omica que
verifica $R$, sobre el producto de todos estos cuerpos. Es m\'as, si $R$ es un P.I--anillo primo,
$R$ es  subanillo de un anillo de matrices sobre un cuerpo. Obtenemos entonces que 
 un P.I--anillo semiprimo es
Dedekind-finitos y verifica
$S_n$ para alg\'un
$n\in
\Bbb N$.
 Otro resultado interesante que se obtiene de lo anterior, y del que se habl\'o en el tema 5,  es
que todo anillo de divisi\'on de dimensi\'on finita sobre su centro es subanillo de un anillo de
matrices sobre un cuerpo.


\subheading{Polinomios centrales. El Teorema de Posner}

Introducimos el concepto de identidad central y demostramos, haciendo uso de  los polinomios
de Capelli, que $\Cal M_n(A)$, en donde  $A$ es un anillo conmutativo, verifica una identidad
central de grado $2n^2+1$. 

Gracias al resultado anterior obtenemos que el centro de un P.I--anillo semiprimo es no nulo.

Por \'ultimo demostramos que si $R$ es un P.I--anillo primo, $R$  es de Goldie. Como adem\'as, por
el resultado anterior,  todo ideal por la izquierda esencial de $R$ corta de forma no trivial
a $Z(R)$ se tiene que $R$ es un orden central en un anillo de matrices sobre un anillo de
divisi\'on, \'este de dimensi\'on finita sobre su centro (Teorema de Posner).    


\vfill\eject
\Refs\nofrills 
\noindent{\granbf  Bibliograf\'\i a} 
\vskip .2true in




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 \book Free Algebras and P.I--Algebras  \publ  Springer-Verlag 
\yr 1999 \endref
\bigpagebreak


\endRefs


\newpage

\centerline{\granbf   TEMA 10.}
\vskip .1true in
\centerline{\granbf CATEGOR\'IAS. TEOR\'IA DE MORITA. }
\vskip .2true in

Lecci\'on 42.- Categor\'\i as.\par
Lecci\'on 43.- Contextos de Morita. El Teorema de Morita I.\par
Lecci\'on 44.- El Teorema de Wedderburn-Artin.\par
Lecci\'on 45.- M\'as Teor\'\i a de Morita.\par

\vskip .5true in






\subheading{Categor\'\i as}

Comenzamos recordando la noci\'on de categor\'\i a y dando algunos ejemplos:
{\bf Set}; la categor\'\i a de los conjuntos,
{\bf Grp}; la categor\'\i a de los grupos,
{\bf Ring}; la categor\'\i a de los anillos,  
{\bf Top}; la categor\'\i a de los espacios topol\'ogicos,
{\bf R-Mod}; la categor\'\i a de los $R$-m\'odulos por la izquierda, 
 {\bf Mod-$R$}; la categor\'\i a de los $R$-m\'odulos por la derecha. 
En ejercicios se ver\'an ejemplos de categor\'\i as mas abstractas como pueden ser la 
asociada a un monoide o a un conjunto preordenado.

 Definimos los conceptos de subcategor\'\i a, subcategor\'\i a plena, 
producto directo de categor\'\i as y  categor\'\i a opuesta, lo que permite, que entre otras cosas,
 construir nuevas categor\'\i as a partir de las ya conocidas.

Se introduce a continuaci\'on la noci\'on de funtor, tanto covariante como contravariante. Como
ejemplos damos, entre otros, el funtor inclusi\'on, el funtor olvido y el funtor proyecci\'on.


Definimos la noci\'on de trasformaci\'on natural: dados $\Cal F$, $\Cal G:  \Cal
C\to \Cal D$ dos funtores diremos que $\mu$ de $\Cal F$ a $\Cal G$ es
una trasformaci\'on natural si para cada objeto $A\in \Cal C$ existe un morfismo $\mu_A\in Hom_{\Cal
D}(FA,GA)$ tal que para cada par de objetos, $A,B\in Ob(\Cal C)$ y cada morfismo $f\in Hom_{\Cal
C}(A,B)$ el diagrama

$$\CD
A  \\
@VfVV      \\
B
\endCD
\qquad\qquad\qquad\qquad
\CD
FA  @>\mu_A>>  GA  \\
@VF(f)VV       @VVG(f)V \\
FB @>>\mu_B>  GB
\endCD$$
es conmutativo. Si adem\'as, para todo $A\in Ob(\Cal C)$, $\mu_A$ es un isomorfismo diremos que
$\mu$ es un  isomorfismo natural y que  los funtores $\Cal F$ y $\Cal G$  son
isomorfos. Como ejemplo de trasformaci\'on natural se considera en la categor\'\i a de los
$R$-m\'odulos por la izquierda el funtor identidad y el funtor doble dual. Se tiene entonces que la
aplicaci\'on
 que a cada $R$-m\'odulo por la izquierda
$M$ le asocia la aplicaci\'on $\mu_M:M\to M^{**}$ definida por $\mu_M(m)(f)=(m)f$ es una
aplicaci\'on natural. S\'\i\  vemos este mismo funtor en la categor\'{\i}a de los
espacios vectoriales de dimensi\'on finita tenemos un primer  ejemplo de
isomorfismo natural. Por \'ultimo comprobamos que la composici\'on de transformaciones naturales es
una transformaci\'on natural.

Definimos categor\'{\i}as isomorfas as\'\i\  como categor\'{\i}as equivalentes:  dos categor\'{\i}as
$\Cal C$ y
$\Cal D$ son isomorfas (resp. equivalentes) si existen dos funtores $\Cal F:\Cal C\to \Cal D$ y $\Cal
G:\Cal D\to
\Cal C$ tales que  $\Cal F\Cal G=Id_{\Cal C}$ y $\Cal G\Cal F=Id_{\Cal D}$ (resp. $\Cal F\Cal G$ es
isomorfo a
$Id_{\Cal C}$ y $\Cal G\Cal F$ es isomorfo a
$Id_{\Cal D}$). Como ejemplo demostramos que la categor\'\i a de los $\Bbb Z$-m\'odulos es isomorfa a
la  de  los grupos abelianos  y que dado un anillo unitario
$R$ la categor\'{\i}a de
$R$-m\'odulos por la izquierda y la de $\Cal M_n(R)$-m\'odulos por la izquierda son equivalentes. 



\subheading{Contextos de Morita}

Comenzamos la secci\'on definiendo el concepto de contexto de Morita: un contexto de Morita es 
una sexta-upla $(R,R^\prime, M,M^\prime, \tau,\mu)$ en donde $R$, $R^\prime$ son dos anillos, $M$ es
un $R$-$R^\prime$-bim\'odulo, $M^\prime$ es
un $R^\prime$-$R$-bim\'odulo, $\tau$ es un $R$-$R$-homomorfismo de $M\otimes M^\prime$ en $R$ y
$\mu$ es un $R^\prime$-$R^\prime$-homomorfismo de $M^\prime\otimes M$ en $R^\prime$ tales que se
verifica las siguientes igualdades:
\roster
\item $\mu(x^\prime,x)y^\prime=x^\prime\tau(x,y^\prime)$.
\item $x\mu(x^\prime,y)=\tau (x,x^\prime)y$.
\endroster

 Dado $_RM$ un $R$-m\'odulo por la izquierda  tenemos el
contexto de Morita definido por
$M$:
$(R,R^\prime=End_R(M), _{R^\prime}M_R, _R Hom_R(M, R)_{R^\prime}, \tau,\mu)$.

Asociamos a cada contexto de Morita un anillo
$\Cal T:=\pmatrix R&M\\M^\prime&R^\prime\endpmatrix$, en donde la suma es por componentes y el
producto viene determinado por la siguiente regla:

$$\pmatrix r&m\\m^\prime&r^\prime\endpmatrix \pmatrix s&n\\n^\prime&s^\prime\endpmatrix=
\pmatrix rs+\tau(m,n^\prime)&rn+ms^\prime\\m^\prime
s+r^\prime n^\prime&\mu(m^\prime,n)+r^\prime s^\prime\endpmatrix$$

Definimos a continuaci\'on  la traza de un $R$-m\'odulo, denot\'andola por $T(M)$ y demostramos que
es un ideal de $R$. Estamos entonces en condiciones de definir m\'odulo progenerador, esto es, un
m\'odulo que es proyectivo, finitamente generado y su ideal traza es todo el anillo.



Demostramos el Teorema de Morita I:
sea  $(R,R^\prime, _RM_{R^\prime}, _{R^\prime}M^\prime_R,\tau,\mu)$ un contexto de morita con
$\tau$ y $\mu$ sobreyectivas, entonces
\roster
\item $_RM$, $M_{R^\prime}$, $_{R^\prime}M^\prime$ y $M^\prime_R$ son m\'odulos progeneradores.

\item $\tau$ y $\mu$ son isomorfismos.

\item $_{R^\prime}M^\prime_R$ es isomorfo, como bim\'odulo, a
$Hom(M_{R^\prime},R^\prime_{R^\prime})$. Es m\'as, la aplicaci\'on que a cada $m^\prime\in M^\prime$
lo manda a $l_{m^\prime}$ en donde para cada
$m\in M$, $l_{m^\prime}(m):=\mu(m^\prime,m)$ es un isomorfismo de $R^\prime$-$R$-bim\'odulo. De
manera similar $_RM_{R^\prime}$ es isomorfo, como bim\'odulo, a $Hom(_RM^\prime,\ _RR)$.

\item $R$ es isomorfo, como anillo, a $End(M_{R^\prime})$. Es m\'as, la aplicaci\'on  que a cada
$r\in R$ lo manda  a $\lambda(r)$ en donde para cada
$m\in M$, $\lambda(r)(m)=rm$ es un isomorfismos de anillos. Similarmente $R^\prime$ es isomorfo a
$End(_RM^\prime,\ _RR)$.

\item El par de funtores --- $\otimes M^\prime$, $M\otimes$ --- define una equivalencia entre la
categor\'{\i}a de  $R^\prime$-m\'odulos por la
derecha y la  categor\'{\i}a de $R$-m\'odulos por la derecha. De forma similar --- $\otimes M$,
$M^\prime\otimes$ --- define una equivalencia entre la categor\'{\i}a de $R^\prime$-m\'odulos por la
izquierda y la  categor\'{\i}a de $R$-m\'odulos por la izquierda.

\item  El ret\'\i culo de los ideales por la izquierda de $R$ es isomorfo al ret\'\i culo de los
subm\'odulos de $_{R^\prime}M^\prime$. Es m\'as, el ret\'\i culo de los ideales de $R$ es isomorfo al
ret\'\i culo de los subbim\'odulo de $_{R^\prime}M^\prime$. Enunciados similares se tienen para los
ideales por la derecha de $R$, los ideales por la izquierda de $R^\prime$  y los ideales por la
derecha de $R^\prime$. Como consecuencia el ret\'{\i}culo de los ideales de $R$ es isomorfo al ret\'{\i}culo
de los ideales de $R^\prime$.

\item Los centros de $R$ y $R^\prime$ son isomorfos.  
\endroster

Como ejemplo, si partimos de un $R$-m\'odulo progenerador $P$  el contexto de Morita 
$(R,R^\prime=End_R(P),\  _{R^\prime}P_R, _R Hom_R(P, R)_{R^\prime}, \tau,\mu)$ verifica el
Teorema de Morita I, ya que
$\mu$ es sobreyectiva porque $T(P)=R$ y $\tau$ es sobreyectivo porque  $P$ es proyectivo y por tanto 
podemos aplicar  el teorema de la base dual.



\subheading{El Teorema de Wedderburn y Artin}

Sea  $R$ un anillo   simple e $I$    un ideal por la izquierda minimal de $R$. 
Entonces 
$I$ considerado como 
$R$-m\'odulo por la izquierda es progenerador y por tanto el contexto de morita 
$(R,R^\prime=End_R(I),\  _{R^\prime}I_R, _R Hom_R(I, R)_{R^\prime} 
\tau,\mu)$ verifica el Teorema de Morita I. Es m\'as,
$R^\prime$ es un anillo de divisi\'on,  $Hom(_RI,
R_{R^\prime})$ es un $R^\prime$-m\'odulo finitamente generado sobre $R^\prime$ y  $R\cong
End(Hom(_RI, R_{R^\prime}))$, es el anillo de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensi\'on
finita.

\subheading{M\'as Teor\'\i a de Morita}

Dado  un $R$-m\'odulo progenerador $P$, comprovamos que el funtor $Hom(P_{R^\prime},$ --- $)$ es
equivalente a\ \  --- $\otimes_{R^\prime}P^\prime$ y el funtor $Hom(P^\prime _R,$ --- $)$ es
equivalente a\ \  ---  $\otimes_{R} P$.

Demostramos el Teorema de Morita II: sean $R$ y $R^\prime$ dos anillos tales que $R$-Mod y
$R^\prime$-Mod son categor\'\i as equivalentes, entonces
\roster
\item Existe $P$ un $R$-m\'odulo progenerador tal que $$(R,R^\prime=End_R(P),\  _{R^\prime}P_R,
_R Hom_R(P, R)_{R^\prime}, \tau,\mu),$$ es un contexto de Morita con $\tau$ y $\mu$ sobreyectivos.
Por tanto $R^\prime$ es isomorfo a $End(_RP)$ y $R$ es isomorfo a $End(P^\prime_R)$.
\item Se $(F,G)$ es una equivalencia entra las categor\'{\i}as de $R$-mod y $R^\prime$-Mod, entonces $F$
es isomorfo a --- $\otimes _RP$ y $G$ es isomorfo a --- $\otimes_R^\prime P^\prime$.
\endroster


Como consecuencia de este teorema obtenemos que dados dos anillo $R$ y $R^\prime$, las categor\'{\i}as de
$R$-Mod y $R^\prime$-Mod son equivalentes si y s\'olo si las categor\'{\i}as de Mod-$R$ y Mod-$R^\prime$
son equivalentes. Es m\'as, conseguimos una estrecha relaci\'on entre dos anillos $R$ y $R^\prime$
con  categor\'\i as de m\'odulos  equivalentes:  $R$ y $R^\prime$ son dos anillos Morita equivalentes
si y s\'olo si existen  $n\in \Bbb N$ y un idempotente pleno
$e\in
\Cal M_n(R)$ tales que $R\cong \Cal eM_n(R)e$.

Estos resultados  permiten trasladar de forma f\'acil propiedades del anillo $R$ al anillo
$R^\prime$, as\'\i:
el car\'acter simple y  semisimple, el car\'acter primo y semiprimo, el ser no singular por la
izquierda, el tener dimensi\'on uniforme por la izquierda finita, el car\'acter primitivo, o el ser
regular von Neumann son propiedades que se trasladan entre anillos Morita equivalentes.


Para concluir definimos cuando un $R$-$R^\prime$-bim\'odulo $P$ es inversible y demostramos el
Teorema de Morita III: sean $R$, $R^\prime$, $R^{\prime\prime}$, $\hdots $ anillos de Morita
equivalentes, entonces la aplicaci\'on que a cada $R$-$R^\prime$-bim\'odulo inversible $P$ le hace
corresponder --- $\otimes_{R^\prime}P$ es un isomorfismo entre  la clase de isomorfismos de
$R$-$R^\prime$-bim\'odulo inversible y la clase de isomorfismos naturales de funtores que dan
equivalencia entre las categor\'\i as de Mod-$R$ y Mod-$R^\prime$. Es m\'as, la composici\'on de
equivalencias da lugar a producto tensoriales de m\'odulos inversibles.



\vfill\eject

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