
\centerline{\granbf   TEMA 1. }
\vskip .1true in
\centerline{\granbf  MODULOS. }
\vskip .2true in


Lecci\'on 1.- M\'odulos, subm\'odulos, homomorfismos de m\'odulos. Teoremas de isomorf\'{\i}a. \par
Lecci\'on 2.- Sucesiones exactas, sucesiones  exactas cortas. \par
Lecci\'on 3.- M\'odulos libres.\par
Lecci\'on 4.- M\'odulos proyectivos.\par
Lecci\'on 5.- M\'odulos inyectivos. Envolvente inyectiva.\par
Lecci\'on 6.- M\'odulos artinianos y noetherianos. Teorema de J\"ordan-Holder.\par
Lecci\'on 7.- M\'odulos indescomponibles. Lema de Fitting. Teorema de Krull-Schmidt.\par
Lecci\'on 8.- M\'odulos simples. Lema de Schur.\par
Lecci\'on 9.- M\'odulos semisimples. El z\'ocalo de un m\'odulo. \par


\vskip .5true in

\subheading{ M\'odulos, subm\'odulos, homomorfismos de m\'odulos. Teoremas de isomorf\'{\i}a}

El objeto de este tema es estudiar el material b\'asico de la teor\'\i a de m\'odulos. Se introduce
la noci\'on de m\'odulo por la izquierda (resp. por la derecha)
a partir de la acci\'on de un anillo $R$ sobre un grupo abeliano $M$. Seguidamente se demuestra que
dicha noci\'on es equivalente a tener una representaci\'on del anillo $R$ en el anillo de
endomorfismos de un grupo abeliano  $M$.

Como primeros ejemplos destacamos que los m\'odulos sobre cuerpos son
precisamente los espacios vectoriales,   que los grupos abelianos son precisamente los
$\Bbb Z$-m\'odulos y que   todo anillo unitario $R$ posee, de forma natural,
estructura de $R$-m\'odulo, tanto por la izquierda como por la derecha.

Buscando nuevos ejemplos de m\'odulos se introduce la noci\'on de:  \par
--  subm\'odulo y se estudia el
ret\'\i culo de los subm\'odulos de un m\'odulo dado; se comprueba que dicho ret\'\i culo es
modular y completo, \par
--  homomorfismo de m\'odulo y se resaltan los subm\'odulos asociados a
un homomorfismo. Escribiremos, como regla general, los homomorfismos de m\'odulos por el lado
opuesto al de  los ``escalares". As\'\i, los  homomorfismos de m\'odulos por la izquierda (resp.
derecha) los haremos actuar por la derecha (resp. izquierda)  y la composici\'on de morfismos
se har\'a de izquierda a derecha (resp. de derecha a izquierda). Esto  permitir\'a  dar una
formulaci\'on del Teorema de Wedderburn-Artin sin  mencionar el anillo opuesto, as\'\i \ como dotar,
de forma natural,  a todo
$R$-m\'odulo   $M$ de estructura de $R$-$S$-bim\'odulo, para
$S:=End_R(M)$.
\par
 --    producto directo y  de coproducto o suma directa externa de
una familia arbitraria de m\'odulos y se caracterizan en t\'erminos de sus propiedades universales.
Se observa que los conceptos de suma directa interna y suma directa externa son equivalentes. Por
\'ultimo se demuestra que  un $R$-m\'odulo
$M$ es isomorfo a  un coproducto finito de m\'odulos $\{M_i\}_{i=1}^n$  si y s\'olo si existen
$n$ idempotentes ortogonales en
$End_R(M)$, digamos $e_1,\hdots, e_n$, tales que $\sum e_i=1d$ e
$Im(e_i)=M_i$.
\par

-- m\'odulo cociente y se caracteriza tambi\'en por  su   propiedad
universal. Se demuestra que dado un subm\'odulo $N$ de un m\'odulo
$M$ existe  un isomorfismo de ret\'\i culos  entre los subm\'odulos de $M$ que contienen a
$N$ y los subm\'odulos de
$M/N$.\par

En este punto establecemos   los Teoremas de isomorf\'{\i}a de E. Noether as\'\i\  como el Lema
 de Zassenhaus, tambi\'en conocido como lema de la mariposa.

Para concluir, introducimos el concepto de bim\'odulo y demostramos que si $M$ es un  $R$-m\'odulo
por la izquierda,
$M$ posee estructura de (R,S)-bim\'odulo con $S=End_R(M)$.


\subheading{Sucesiones exactas, sucesiones exactas cortas}

Comenzamos estudiando las  sucesiones exactas de m\'odulos (que tiene su origen en
Topolog\'\i a Algebraica) as\'\i\ como las sucesiones exactas cortas.
Se define sucesi\'on exacta corta escindida como aquella sucesi\'on exacta corta, digamos $$0\to
M^\prime\overset{f}\to  \to M\overset{g}\to \to M^{\prime\prime}\to 0,$$ en la  que $Im(f)=Ker(g)$
es sumando directo de $M$, y se caracteriza en t\'erminos de la inversibilidad lateral tanto de $f$
como de $g$.

\subheading{ M\'odulos libres}

Se define $R$-m\'odulo libre sobre un conjunto no vac\'\i o $S$ a partir de su
propiedad universal. Se demuestra la existencia  y unicidad, salvo isomorfismo, de
dicho objeto.  Se obtiene como consecuencia que un $R$-m\'odulo $M$ es libre (sobre $S$) si y
s\'olo si es isomorfo  a un coproducto de copias de  $R$ ($M\cong \oplus_SR$).

Se introduce la noci\'on de base de un m\'odulo. Se
dan ejemplos de m\'odulos que tienen
 base y m\'odulos que no la tienen. Por \'ultimo se  caracterizan los m\'odulos libres  como
aquellos que   poseen base. En cuanto al cardinal de las bases de un mismo $R$-m\'odulo $M$, se
prueba que si $M$ posee una base infinita, todas las bases son infinitas y de igual cardinal,
pero que si posee una de cardinal finito ``el caos puede reinar". As\'\i, damos un ejemplo de un
$R$-m\'odulo libre que posee, al menos, una base de cardinal $n$ para cada natural $n$. Definimos
la noci\'on de anillo con IBN y  demostramos que  los anillos de divisi\'on, los anillos finitos y
los anillos  conmutativos y unitarios tienen IBN.

Por \'ultimo se demuestra que todo m\'odulo es imagen epim\'orfica
de un m\'odulo libre.



\subheading{ M\'odulos proyectivos}

Se introduce el concepto de m\'odulo proyectivo. Se observa que todo m\'odulo libre es proyectivo y
se dan distintas caracterizaciones de m\'odulos proyectivos: para un m\'odulo $P$ las
siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $P$ es proyectivo.
\item Toda sucesi\'on exacta corta de la forma
$0\to N\to M\to P\to 0$ es escindida.
\item $P$ es sumando directo de un m\'odulo libre.
\item El funtor $Hom_R(P,-)$ es exacto (siempre es exacto a izquierda).
\endroster
Es m\'as, en las condiciones anteriores, si $P$ est\'a finitamente generado, $P$ es sumando
directo de un m\'odulo libre con base finita.

Para un $R$-m\'odulo por la izquierda $M$ se define su dual, que denotaremos por $M^*$  ($M^*$
posee, de forma natural, estructura de
$R$-m\'odulo por la derecha). Se recuerda el dual de un espacio vectorial y se ponen ejemplos de
m\'odulos tales que sus duales son nulos.

Se demuestra entonces el Lema de la base dual: para un m\'odulo $P$ las siguientes condiciones son
equivalentes \roster
\item $P$  es proyectivo
\item"(5)"
  existen
$\{a_i:i\in I\}\subset P$ y $\{f_i:i\in I\}\subset P^*$ tales que para todo $a\in P$, $(a)f_i=0$
para casi todo
$i$ y
$a=\sum (a)f_i a_i$. \endroster

En este caso $\{a_i:i\in I\}$ es un conjunto de generadores para
$P$, es m\'as,
si
$P$ est\'a finitamente generado se puede conseguir que estas  familias sean finitas.


Por \'ultimo, se demuestra que para todo $R$-m\'odulo proyectivo $P$, la aplicaci\'on
\linebreak $\Phi:P\to P^{**}$ definida por
$\Phi_a(f)=(a)f$ (el homomorfismo can\'onico de $P$ en su bidual) es un monomorfismo de
$R$-m\'odulos por la izquierda. Es m\'as, si
$P$ est\'a finitamente generado,
$\Phi$ es un isomorfismo.

\subheading{ M\'odulos inyectivos}

Un concepto dual al de m\'odulo proyectivo es el de m\'odulo inyectivo. Comenzamos la lecci\'on
definiendo m\'odulo inyectivo. Como primer ejemplo se ve que los espacios vectoriales sobre  anillos
de divisi\'on son inyectivos y que un producto de anillos es inyectivo si y s\'olo si cada uno de
ellos lo es.

 Damos la primera caracterizaci\'on de m\'odulo inyectivo: para un
$R$-m\'odulo $I$ las siguientes condiciones son equivalentes: \roster
\item
$I$ es inyectivo.
\item El funtor $Hom_R(-,I)$ es exacto (siempre es exacto a izquierda).
\item Toda sucesi\'on exacta corta $0\to I\to M\to N\to 0$ es escindida.
\item Si $I$ es  subm\'odulo de  $M$, entonces $I$ es sumando directo de $M$.\endroster

Demostramos el criterio de Baer para m\'odulos inyectivos, esto es:  un m\'odulo $I$ es inyectivo
si y s\'olo si:
\roster
\item"(5)"
  para cualquier ideal por la izquierda $U$ de
$R$ y cualquier homomorfismo de $R$-m\'odulos
$f:U\to I$ existe un homomorfismo de $R$-m\'odulos $f^\prime:R\to I$ tal que $f^\prime\vert_U=f$.
\endroster

Como propiedad dual a que todo m\'odulo sea cociente de un m\'odulo proyectivo, se tiene que
todo m\'odulo es subm\'odulo de un m\'odulo inyectivo.  Dedicaremos el resto de la lecci\'on a
probar este resultado.

Introducimos la noci\'on de divisibilidad para m\'odulos. Seguimos en este punto la definici\'on
dada por  T.Y. Lam que resulta ser  un poco m\'as restrictiva que la usual: diremos que un
$R$-m\'odulo $M$ es divisible si para cada par de elementos $r\in R$ y $m\in M$ tales que
$lan_R(r)\subset lan_R(m)$ se tiene que $m\in rM$.

Demostramos entonces que un $R$-m\'odulo $M$ es divisible si y s\'olo si para todo $a\in R$ y todo
homomorfismo de $R$-m\'odulos $f:Ra\to M$ existe un homomorfismo $\bar f:R\to M$ que extiende a
$f$ (esta segunda condici\'on es llamada por algunos autores inyectividad para ideales izquierda
principales). Tenemos entonces que todo m\'odulo inyectivo es divisible y, aplicando el criterio de
Baer, que un m\'odulo sobre un anillo de ideales por la izquierda principales  es
inyectivo si y s\'olo si es divisible.

Demostramos entonces que todo $\Bbb Z$-m\'odulo se puede sumergir en un $\Bbb Z$-m\'odulo
divisible (y por tanto inyectivo). Para el caso general, como todo $R$-m\'odulo  $M$ es en
particular un $\Bbb Z$-m\'odulo,  por el resultado anterior,  podemos envolverlo en un $\Bbb
Z$-m\'odulo inyectivo, digamos
$\bar M$,  y  comprobamos que
$\overline M:=Hom(R_{\Bbb Z},\bar M_{\Bbb Z})$ es un $R$-m\'odulo inyectivo que contiene a
$M$.


Nos centramos ahora en estudiar dos envolventes de un m\'odulo $M$: la envolvente inyectiva y la
envolvente racional.
 Demostramos que  las siguientes condiciones son equivalentes para cada  subm\'odulo $M$ de
un m\'odulo  $I$:
\roster
\item"(i)" $I$ es una extensi\'on esencial maximal de $M$.
\item"(ii)" $I$ es inyectivo y esencial sobre $M$.
\item"(iii)" $I$ es una envolvente inyectiva minimal de $M$.
\endroster
A un m\'odulo $I$ que verifique  las condiciones anteriores se le
denomina envolvente inyectiva de $M$. Por \'ultimo, se demuestra que
todo $R$-m\'odulo $M$
 posee envolvente inyectiva y que \'esta es \'unica salvo $M$-isomorfismo (es decir, si
$I$ e
$I^\prime$ son dos envolventes inyectivas de  $M$, existe un epimorfismo de m\'odulos
$f:I\to I^\prime$ tal que $(m)f=m$ para todo $m\in M$). La envolvente inyectiva de un $R$-m\'odulo
$M$  se denotar\'a por  $E(M)$.

Con este resultado obtenemos otra caracterizaci\'on de m\'odulo inyectivo: un   $R$-m\'odulo
$I$ es inyectivo si y s\'olo si
\roster
\item"(6)" $I$ no posee extensiones esenciales propias.
\endroster

 Se observa que  todo endomorfismo de un m\'odulo $M$ puede
extenderse a un endomorfismo de $E(M)$, aunque no siempre de forma \'unica.

Introducimos la noci\'on
de subm\'odulo denso. Demostramos que para cualquier subm\'odulo $N$ de un m\'odulo $M$ las
siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item"(i)" $N$ es un subm\'odulo denso de $M$.
\item"(ii)" $Hom_R(M/N, E(M))=0$.
\item"(iii)" Para cualquier subm\'odulo $P$  tal que $N\subset P\subset M$, $Hom_R(P/N, E(M))=0$.
\endroster

Introducimos la  envolvente racional de un $R$-m\'odulo $M$ (como subm\'odulo de
$E(M)$), que denotaremos  por $\hat E(M)$, y
 damos una caracterizaci\'on de \'esta por elementos.  Demostramos que $\hat E(M)$ es una
extensi\'on densa maximal de $M$ y probamos, entre otras cosas, que los endomorfismos de $M$ se
``elevan" de forma \'unica a endomorfismos de $\hat E(M)$. Esta nueva envolvente  ser\'a de
utilidad para el estudio del anillo de cocientes por la izquierda maximal de ciertos anillos.


\subheading{ M\'odulos artinianos y noetherianos. Teorema de J\"ordan-Holder}

Un $R$-m\'odulo se dice noetheriano (resp. artiniano) si verifica la condici\'on de
cadena ascendente (resp. descendente) para sus subm\'odulos. Equivalentemente si cada familia no
vac\'{\i}a de subm\'odulos  posee un elemento maximal (resp. minimal).

Caracterizamos los $R$-m\'odulos noetherianos como aqu\'ellos tales que todos sus  subm\'odulos
est\'an finitamente generados.

Demostramos que cualquier subm\'odulo y cualquier imagen homom\'orfica de un m\'odulo noetheriano
(resp. artiniano) es  noetheriano (resp. artiniano). Es m\'as, si $N$ es un subm\'odulo de un
m\'odulo
$M$, $M$ es noetheriano (resp. artiniano) si y s\'olo si $N$ y $M/N$ son noetherianos (resp.
artinianos).  Como consecuencia se obtiene que la suma directa finita de
m\'odulos noetherianos (resp. artinianos) es noetheriana (resp. artiniana).

Se dice que un anillo $R$ es noetheriano por la izquierda si es noetheriano  como
$R$-m\'odulo por la izquierda, esto es, cuando verifica la condici\'on de cadena ascendente para
sus ideales por la izquierda. Los conceptos noetheriano por la derecha, artiniano por la izquierda y
artiniano por la derecha se definen de manera an\'aloga.

Cabe preguntarse si estas cuatro nociones  son independientes.
Introducimos los anillos triangulares que nos van a proporcionar  los ejemplos que
contestan dicha cuesti\'on: consideremos
$R$ y
$S$ dos anillos y
$M$ un
$R$-$S$-bim\'odulo. Entonces $T=\pmatrix R&M\\ 0&S\endpmatrix$ con la sumas y el producto propios de
los anillos de matrices tiene estructura de anillo.  Adem\'as: el anillo  $T$ es noetheriano por la
izquierda (resp. por la derecha) si y s\'olo si $R$ y $S$ son noetheriano por la izquierda
(resp. por la derecha)  y $M$ es un $R$-m\'odulo por la izquierda noetheriano (resp. $M$ es un
$S$-m\'odulo por la derecha noetheriano. Este mismo enunciado es cierto si sustituimos artiniano
por noetheriano.

As\'\i, el anillo
$$\pmatrix \Bbb Q&\Bbb Q\\ 0&\Bbb Z\endpmatrix$$ es noetheriano por la izquierda y no es noetheriano
por la derecha ni artiniano por la izquierda ni por la derecha. Igualmente el anillo
$$\pmatrix \Bbb R&\Bbb
R\\ 0&\Bbb Q\endpmatrix$$ es noetheriano y artiniano por la izquierda pero no es artiniano ni
noetheriano por la derecha.

S\'\i\  se verifica, es el llamado Teorema de Hopkins-Levitzki, que  un anillos con unidad
artiniano por la izquierda (resp. por la derecha) es noetheriano por la izquierda (resp. por la
derecha). Este resultado era aparentemente desconocido
por Noether y Artin en sus primeros trabajos sobre anillos con condiciones de cadena. Nosotros lo
demostraremos una vez que hayamos estudiado el radical de Jacobson de un anillo. El siguiente
ejemplo muestra que existen m\'odulos artinianos que no son noetherianos: el
$\Bbb Z$-m\'odulo
$\Bbb P/\Bbb Z$, donde
$$\Bbb P=\left\{\frac{m}{p^k} \quad\vert\quad m\in \Bbb Z,\  k\in \Bbb N\cup \{0\} \right\},$$
es artiniano pero no  noetheriano.

Siguiendo con el estudio de los m\'odulos que verifican condiciones de cadena demostramos que todo
m\'odulo por la izquierda finitamente generado sobre un anillo noetheriano por la izquierda (resp.
artiniano por la izquierda) es noetheriano por la izquierda (resp. artiniano por la izquierda).


 Estudiamos las series de subm\'odulos de un
m\'odulo. Demostramos, a partir del Lema de Zassenhaus, el Teorema del
refinamiento de Schreier:
 dos series de un m\'odulo dado admiten refinamientos isomorfos.
As\'\i\ como el Teorema de
Jordan-Holder:
dos series de composici\'on para un mismo m\'odulo son isomorfas.


Definimos  la longitud de un m\'odulo $M$ y establecemos la equivalencia entre los m\'odulos de
longitud finita  y los que son a la vez artinianos y
noetherianos.



\subheading{ M\'odulos indescomponibles. Lema de Fitting. Teorema de Krull-Schmidt}

Comenzamos introduciendo la noci\'on de m\'odulo indescomponible: un m\'odulo  $M$ se dice
descomponible cuando se puede expresar como suma directa de dos subm\'odulos propios; en caso
contrario se dice que es indescomponible. Caracterizamos los m\'odulos indescomponibles como
aqu\'ellos tales que su anillo de endomorfismos ($End_R(M)$) no posee m\'as idempotentes que los
triviales.

No todo m\'odulo puede escribirse como suma directa finita de subm\'odulos indes\-componibles.
Incluso en el caso de poder descomponer el m\'odulo como suma directa finita de m\'odulos
indescomponibles, esta descomposici\'on no tiene porque ser ``esencialmente" \'unica. Damos
aqu\'{\i}\ una condici\'on para que esto s\'\i\  suceda.

Se define un anillo local como aqu\'el en el que el conjunto de los elementos no inversibles es
un ideal. Se define m\'odulo fuertemente indescomponible como aqu\'el cuyo anillo de endomorfismos
es local. Se observa que los anillo locales no contienen m\'as idempotentes que
los triviales, por lo que un $R$-m\'odulo fuertemente indescomponible es indescomponible.

Probamos entonces un teorema sobre unicidad en la descomposici\'on de un m\'odulo como suma directa
de subm\'odulos indescomponibles:

Sean $M=M_1\oplus M_2\oplus\dotsb M_r$ y $N=N_1\oplus N_2\oplus\dotsb N_s$ dos $R$-m\'odulos, donde
los $M_i$ son subm\'odulos fuertemente indescomponibles y los $N_i$ son indescomponibles. Entonces,
si $M$ es isomorfo a $N$, se tiene que
$r=s$ y existe una permutaci\'on $\sigma\in S_r$ tal que $M_i\cong N_{\sigma(i)}$ para
$i=1,2,\hdots,r$.

Diremos que un m\'odulo $M$ es un $\Cal F$-m\'odulo o m\'odulo de Fitting si dado $f\in End_R(M)$
existen dos subm\'odulos $M_1$ y $M_2$ de $M$, $f$-invariantes ($M_if\subset M_i$ para
$i=1,2$) tales que
$f\vert_{ M_1}$ es biyectivo y $f\vert_{ M_2}$ es nilpotente. El Lema de Fitting establece que todo
m\'odulo de longitud finita es un $\Cal F$- m\'odulo. Con este resultado se obtiene que los
m\'odulos indescomponibles de longitud finita son fuertemente indescomponibles.

Por \'ultimo demostramos que un modulo $M$ de longitud finita se puede descomponer como suma finita
de m\'odulos indescomponibles, lo que  lleva al llamado Teorema de Krull-Schmidt:

Sea $M$ un m\'odulo artiniano y noetheriano y supongamos que $M=M_1\oplus M_2 \oplus \dotsb \oplus
M_r=N_1\oplus N_2 \oplus \dotsb \oplus
N_s$, en donde los $M_i$ y los $N_j$ son indescomponibles. Entonces $r=s$ y existe una
permutaci\'on
$\sigma\in S_r$ tal que
$M_i\cong N_{\sigma(i)}$ para $i=1,2,\hdots,r$.


\subheading{ M\'odulos simples. Lema de Schur}

Comenzamos introduciendo la noci\'on de $R$-m\'odulo sobre un anillo $R$ no necesa\-riamente
unitario, ya que  ser\'a de utilidad en el estudio de los anillos primitivos  por la
izquierda (resp. por la derecha). Introducimos la noci\'on de
$R$-m\'odulo simple  y demostramos que un
$R$-m\'odulo
$M$ es simple si y s\'olo si verifica alguna de (y por tanto todas) las condiciones siguientes:
\roster
\item $M\ne 0$ y para todo $0\ne m\in M$, $Rm=M$.
\item $M\cong R/I$ en donde $I$ es un ideal por la izquierda maximal de $R$ con $R^2\nsubseteq I$.
\endroster

Demostramos que si $M$ y $N$ son dos $R$-m\'odulos, con $M$ simple, cualquier
homomorfismo no nulo de $R$-m\'odulos
$f:M\to N$ es inyectivo y cualquier  homomorfismo no nulo de
$R$-m\'odulos $f:N\to M$ es sobreyectivo, razonamiento que prueba el Lema de Schur:

 Cualquier homomorfismo no nulo entre m\'odulos simples es isomorfismo. Por tanto,
si $M$ es un $R$-m\'odulo simple, $End_R(M)$ es un anillo de divisi\'on.


Por \'ultimo hacemos notar que el rec\'\i proco de este lema no es cierto.

\subheading{ M\'odulos semisimples. El z\'ocalo de un m\'odulo}

Definimos m\'odulo semisimple como aqu\'el que es suma de subm\'odulos simples y demostramos
que un m\'odulo es semisimple si y s\'olo si es suma directa de subm\'odulos simples. Como
consecuencia de este hecho se obtiene que todo espacio vectorial posee base.

Caracterizamos los m\'odulos semisimples como aqu\'ellos tales que el ret\'{\i}culo de sus
subm\'odulos es complementado. Como consecuencia obtenemos que un m\'odulo $M$ es semisimple si y
s\'olo si no contiene subm\'odulos propios esenciales y que cualquier subm\'odulo y cualquier
imagen homom\'orfica de un m\'odulo semisimple es semisimple.

Observamos que tambi\'en podemos caracterizar los m\'odulos semisimples en t\'ermi\-nos de
sucesiones exactas cortas, ya que un modulo $M$ es semisimple si y s\'olo si toda sucesi\'on exacta
corta de la forma $0\to M^\prime\overset{f}\to  \to M\overset{g}\to \to M^{\prime\prime}\to 0$ es
escindida.

Definimos la noci\'on de z\'ocalo de un m\'odulo, y lo denotamos por $Zoc(M)$. Es claro que un
m\'odulo es semisimple si y s\'olo si coincide con su z\'ocalo. Se demuestra, descripci\'on dada por
Kasch y Sandomierski, que el z\'ocalo de un m\'odulo
 coincide con la intersecci\'on de todos sus subm\'odulos esenciales.

Definimos la componente  homog\'enea de un m\'odulo $M$ respecto de un subm\'odulo simple $N$,
que denotamos  por $I_N$, y demostramos que  el z\'ocalo de un m\'odulo es suma directa de sus
componentes homog\'eneas. Comprobamos que si
$M$ y $M^\prime$ son dos $R$-m\'odulos y $f:M\to M^\prime$ es un homomorfismo de $R$-m\'odulos,
$I_Nf\subset I_{Nf}$, por lo que el z\'ocalo de un m\'odulo es un subm\'odulo invariante por
endomorfismos. Este hecho  va a permitir probar, introduciendo algunas nociones de relaciones de
dependencia abstractas, que dado cualquier m\'odulo
$M$, si
$M=\oplus_{i\in I} M_i=\oplus_{j\in J} N_j$ con $M_i$, $N_j$ subm\'odulos simples de $M$, entonces
existe una biyecci\'on entre los conjuntos $\{M_i\}$ y $\{N_j\}$ tales que los correspondiente
m\'odulos son isomorfos. Como consecuencia se obtiene que todas las bases de un  espacio vectorial
 tienen el mismo cardinal.

\vfill \eject





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