
\centerline{\granbf   TEMA 10.}
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\centerline{\granbf CATEGOR\'IAS. TEOR\'IA DE MORITA. }
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Lecci\'on 42.- Categor\'\i as.\par
Lecci\'on 43.- Contextos de Morita. El Teorema de Morita I.\par
Lecci\'on 44.- El Teorema de Wedderburn-Artin.\par
Lecci\'on 45.- M\'as Teor\'\i a de Morita.\par

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\subheading{Categor\'\i as}

Comenzamos recordando la noci\'on de categor\'\i a y dando algunos ejemplos:
{\bf Set}; la categor\'\i a de los conjuntos,
{\bf Grp}; la categor\'\i a de los grupos,
{\bf Ring}; la categor\'\i a de los anillos,
{\bf Top}; la categor\'\i a de los espacios topol\'ogicos,
{\bf R-Mod}; la categor\'\i a de los $R$-m\'odulos por la izquierda,
 {\bf Mod-$R$}; la categor\'\i a de los $R$-m\'odulos por la derecha.
En ejercicios se ver\'an ejemplos de categor\'\i as mas abstractas como pueden ser la
asociada a un monoide o a un conjunto preordenado.

 Definimos los conceptos de subcategor\'\i a, subcategor\'\i a plena,
producto directo de categor\'\i as y  categor\'\i a opuesta, lo que permite, que entre otras cosas,
 construir nuevas categor\'\i as a partir de las ya conocidas.

Se introduce a continuaci\'on la noci\'on de funtor, tanto covariante como contravariante. Como
ejemplos damos, entre otros, el funtor inclusi\'on, el funtor olvido y el funtor proyecci\'on.


Definimos la noci\'on de trasformaci\'on natural: dados $\Cal F$, $\Cal G:  \Cal
C\to \Cal D$ dos funtores diremos que $\mu$ de $\Cal F$ a $\Cal G$ es
una trasformaci\'on natural si para cada objeto $A\in \Cal C$ existe un morfismo $\mu_A\in Hom_{\Cal
D}(FA,GA)$ tal que para cada par de objetos, $A,B\in Ob(\Cal C)$ y cada morfismo $f\in Hom_{\Cal
C}(A,B)$ el diagrama

$$\CD
A  \\
@VfVV      \\
B
\endCD
\qquad\qquad\qquad\qquad
\CD
FA  @>\mu_A>>  GA  \\
@VF(f)VV       @VVG(f)V \\
FB @>>\mu_B>  GB
\endCD$$
es conmutativo. Si adem\'as, para todo $A\in Ob(\Cal C)$, $\mu_A$ es un isomorfismo diremos que
$\mu$ es un  isomorfismo natural y que  los funtores $\Cal F$ y $\Cal G$  son
isomorfos. Como ejemplo de trasformaci\'on natural se considera en la categor\'\i a de los
$R$-m\'odulos por la izquierda el funtor identidad y el funtor doble dual. Se tiene entonces que la
aplicaci\'on
 que a cada $R$-m\'odulo por la izquierda
$M$ le asocia la aplicaci\'on $\mu_M:M\to M^{**}$ definida por $\mu_M(m)(f)=(m)f$ es una
aplicaci\'on natural. S\'\i\  vemos este mismo funtor en la categor\'{\i}a de los
espacios vectoriales de dimensi\'on finita tenemos un primer  ejemplo de
isomorfismo natural. Por \'ultimo comprobamos que la composici\'on de transformaciones naturales es
una transformaci\'on natural.

Definimos categor\'{\i}as isomorfas as\'\i\  como categor\'{\i}as equivalentes:  dos categor\'{\i}as
$\Cal C$ y
$\Cal D$ son isomorfas (resp. equivalentes) si existen dos funtores $\Cal F:\Cal C\to \Cal D$ y $\Cal
G:\Cal D\to
\Cal C$ tales que  $\Cal F\Cal G=Id_{\Cal C}$ y $\Cal G\Cal F=Id_{\Cal D}$ (resp. $\Cal F\Cal G$ es
isomorfo a
$Id_{\Cal C}$ y $\Cal G\Cal F$ es isomorfo a
$Id_{\Cal D}$). Como ejemplo demostramos que la categor\'\i a de los $\Bbb Z$-m\'odulos es isomorfa a
la  de  los grupos abelianos  y que dado un anillo unitario
$R$ la categor\'{\i}a de
$R$-m\'odulos por la izquierda y la de $\Cal M_n(R)$-m\'odulos por la izquierda son equivalentes.



\subheading{Contextos de Morita}

Comenzamos la secci\'on definiendo el concepto de contexto de Morita: un contexto de Morita es
una sexta-upla $(R,R^\prime, M,M^\prime, \tau,\mu)$ en donde $R$, $R^\prime$ son dos anillos, $M$ es
un $R$-$R^\prime$-bim\'odulo, $M^\prime$ es
un $R^\prime$-$R$-bim\'odulo, $\tau$ es un $R$-$R$-homomorfismo de $M\otimes M^\prime$ en $R$ y
$\mu$ es un $R^\prime$-$R^\prime$-homomorfismo de $M^\prime\otimes M$ en $R^\prime$ tales que se
verifica las siguientes igualdades:
\roster
\item $\mu(x^\prime,x)y^\prime=x^\prime\tau(x,y^\prime)$.
\item $x\mu(x^\prime,y)=\tau (x,x^\prime)y$.
\endroster

 Dado $_RM$ un $R$-m\'odulo por la izquierda  tenemos el
contexto de Morita definido por
$M$:
$(R,R^\prime=End_R(M), _{R^\prime}M_R, _R Hom_R(M, R)_{R^\prime}, \tau,\mu)$.

Asociamos a cada contexto de Morita un anillo
$\Cal T:=\pmatrix R&M\\M^\prime&R^\prime\endpmatrix$, en donde la suma es por componentes y el
producto viene determinado por la siguiente regla:

$$\pmatrix r&m\\m^\prime&r^\prime\endpmatrix \pmatrix s&n\\n^\prime&s^\prime\endpmatrix=
\pmatrix rs+\tau(m,n^\prime)&rn+ms^\prime\\m^\prime
s+r^\prime n^\prime&\mu(m^\prime,n)+r^\prime s^\prime\endpmatrix$$

Definimos a continuaci\'on  la traza de un $R$-m\'odulo, denot\'andola por $T(M)$ y demostramos que
es un ideal de $R$. Estamos entonces en condiciones de definir m\'odulo progenerador, esto es, un
m\'odulo que es proyectivo, finitamente generado y su ideal traza es todo el anillo.



Demostramos el Teorema de Morita I:
sea  $(R,R^\prime, _RM_{R^\prime}, _{R^\prime}M^\prime_R,\tau,\mu)$ un contexto de morita con
$\tau$ y $\mu$ sobreyectivas, entonces
\roster
\item $_RM$, $M_{R^\prime}$, $_{R^\prime}M^\prime$ y $M^\prime_R$ son m\'odulos progeneradores.

\item $\tau$ y $\mu$ son isomorfismos.

\item $_{R^\prime}M^\prime_R$ es isomorfo, como bim\'odulo, a
$Hom(M_{R^\prime},R^\prime_{R^\prime})$. Es m\'as, la aplicaci\'on que a cada $m^\prime\in M^\prime$
lo manda a $l_{m^\prime}$ en donde para cada
$m\in M$, $l_{m^\prime}(m):=\mu(m^\prime,m)$ es un isomorfismo de $R^\prime$-$R$-bim\'odulo. De
manera similar $_RM_{R^\prime}$ es isomorfo, como bim\'odulo, a $Hom(_RM^\prime,\ _RR)$.

\item $R$ es isomorfo, como anillo, a $End(M_{R^\prime})$. Es m\'as, la aplicaci\'on  que a cada
$r\in R$ lo manda  a $\lambda(r)$ en donde para cada
$m\in M$, $\lambda(r)(m)=rm$ es un isomorfismos de anillos. Similarmente $R^\prime$ es isomorfo a
$End(_RM^\prime,\ _RR)$.

\item El par de funtores --- $\otimes M^\prime$, $M\otimes$ --- define una equivalencia entre la
categor\'{\i}a de  $R^\prime$-m\'odulos por la
derecha y la  categor\'{\i}a de $R$-m\'odulos por la derecha. De forma similar --- $\otimes M$,
$M^\prime\otimes$ --- define una equivalencia entre la categor\'{\i}a de $R^\prime$-m\'odulos por la
izquierda y la  categor\'{\i}a de $R$-m\'odulos por la izquierda.

\item  El ret\'\i culo de los ideales por la izquierda de $R$ es isomorfo al ret\'\i culo de los
subm\'odulos de $_{R^\prime}M^\prime$. Es m\'as, el ret\'\i culo de los ideales de $R$ es isomorfo al
ret\'\i culo de los subbim\'odulo de $_{R^\prime}M^\prime$. Enunciados similares se tienen para los
ideales por la derecha de $R$, los ideales por la izquierda de $R^\prime$  y los ideales por la
derecha de $R^\prime$. Como consecuencia el ret\'{\i}culo de los ideales de $R$ es isomorfo al ret\'{\i}culo
de los ideales de $R^\prime$.

\item Los centros de $R$ y $R^\prime$ son isomorfos.
\endroster

Como ejemplo, si partimos de un $R$-m\'odulo progenerador $P$  el contexto de Morita
$(R,R^\prime=End_R(P),\  _{R^\prime}P_R, _R Hom_R(P, R)_{R^\prime}, \tau,\mu)$ verifica el
Teorema de Morita I, ya que
$\mu$ es sobreyectiva porque $T(P)=R$ y $\tau$ es sobreyectivo porque  $P$ es proyectivo y por tanto
podemos aplicar  el teorema de la base dual.



\subheading{El Teorema de Wedderburn y Artin}

Sea  $R$ un anillo   simple e $I$    un ideal por la izquierda minimal de $R$.
Entonces
$I$ considerado como
$R$-m\'odulo por la izquierda es progenerador y por tanto el contexto de morita
$(R,R^\prime=End_R(I),\  _{R^\prime}I_R, _R Hom_R(I, R)_{R^\prime}
\tau,\mu)$ verifica el Teorema de Morita I. Es m\'as,
$R^\prime$ es un anillo de divisi\'on,  $Hom(_RI,
R_{R^\prime})$ es un $R^\prime$-m\'odulo finitamente generado sobre $R^\prime$ y  $R\cong
End(Hom(_RI, R_{R^\prime}))$, es el anillo de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensi\'on
finita.

\subheading{M\'as Teor\'\i a de Morita}

Dado  un $R$-m\'odulo progenerador $P$, comprovamos que el funtor $Hom(P_{R^\prime},$ --- $)$ es
equivalente a\ \  --- $\otimes_{R^\prime}P^\prime$ y el funtor $Hom(P^\prime _R,$ --- $)$ es
equivalente a\ \  ---  $\otimes_{R} P$.

Demostramos el Teorema de Morita II: sean $R$ y $R^\prime$ dos anillos tales que $R$-Mod y
$R^\prime$-Mod son categor\'\i as equivalentes, entonces
\roster
\item Existe $P$ un $R$-m\'odulo progenerador tal que $(R,R^\prime=End_R(P),\  _{R^\prime}P_R,$ $ _R
Hom_R(P, R)_{R^\prime}, \tau,\mu)$, es un contexto de Morita con $\tau$ y $\mu$ sobreyectivos. Por
tanto $R^\prime$ es isomorfo a $End(_RP)$ y $R$ es isomorfo a $End(P^\prime_R)$.
\item Se $(F,G)$ es una equivalencia entra las categor\'{\i}as de $R$-mod y $R^\prime$-Mod, entonces $F$
es isomorfo a --- $\otimes _RP$ y $G$ es isomorfo a --- $\otimes_R^\prime P^\prime$.
\endroster


Como consecuencia de este teorema obtenemos que dados dos anillo $R$ y $R^\prime$, las categor\'{\i}as de
$R$-Mod y $R^\prime$-Mod son equivalentes si y s\'olo si las categor\'{\i}as de Mod-$R$ y Mod-$R^\prime$
son equivalentes. Es m\'as, conseguimos una estrecha relaci\'on entre dos anillos $R$ y $R^\prime$
con  categor\'\i as de m\'odulos  equivalentes:  $R$ y $R^\prime$ son dos anillos Morita equivalentes
si y s\'olo si existen  $n\in \Bbb N$ y un idempotente pleno
$e\in
\Cal M_n(R)$ tales que $R\cong \Cal eM_n(R)e$.

Estos resultados  permiten trasladar de forma f\'acil propiedades del anillo $R$ al anillo
$R^\prime$, as\'\i:
el car\'acter simple y  semisimple, el car\'acter primo y semiprimo, el ser no singular por la
izquierda, el tener dimensi\'on uniforme por la izquierda finita, el car\'acter primitivo, o el ser
regular von Neumann son propiedades que se trasladan entre anillos Morita equivalentes.


Para concluir definimos cuando un $R$-$R^\prime$-bim\'odulo $P$ es inversible y demostramos el
Teorema de Morita III: sean $R$, $R^\prime$, $R^{\prime\prime}$, $\hdots $ anillos de Morita
equivalentes, entonces la aplicaci\'on que a cada $R$-$R^\prime$-bim\'odulo inversible $P$ le hace
corresponder --- $\otimes_{R^\prime}P$ es un isomorfismo entre  la clase de isomorfismos de
$R$-$R^\prime$-bim\'odulo inversible y la clase de isomorfismos naturales de funtores que dan
equivalencia entre las categor\'\i as de Mod-$R$ y Mod-$R^\prime$. Es m\'as, la composici\'on de
equivalencias da lugar a producto tensoriales de m\'odulos inversibles.



\vfill\eject

\Refs\nofrills
\noindent{\granbf Referencias}
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 \book Algebra (II) \publ John Wiley\& Sons
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\yr 2000 \endref
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\ref  \by	 T.W.Hungerford
 \book Algebra \publ  Springer-Verlag. New York
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\ref  \by	 Nathan Jacobson
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\ref  \by	 Nathan Jacobson
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  \publ W.H. Freeman and Company,  New York.
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\ref  \by	 T.Y. Lam
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\ref  \by	 L.H. Rowen
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