


\centerline{\granbf   TEMA 2. }
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\centerline{\granbf  TEOR\'IA  DE WEDDERBURN-ARTIN. }
\vskip .3true in

\endtopmatter


Lecci\'on 10.- Anillos semisimples. \par
Lecci\'on 11.- Estructura de los anillos semisimples. Teorema de Wedderburn-Artin. \par



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Comenzamos introduciendo la noci\'on de anillo semisimple, damos aqu\'\i\ una definici\'on diferente
de la dada originalmente por Wedderburn (y Artin) de
\'algebra semisimple. Wedderburn  estaba interesado principalmente en \'algebras de dimensi\'on
finita sobre cuerpos. En estas \'algebras define el radical como el mayor ideal nilpotente y si
\'este
 es cero llama al \'algebra   semisimple (veinte a\~nos m\'as
tarde Artin demuestra que los  anillos que verificaban ambas condiciones de cadena  tambi\'en
poseen un mayor ideal nilpotente, por lo que mantiene la definici\'on dada por Wedder\-burn
de \'algebra semisimple). Nosotros
definimos aqu\'\i\  anillo semisimple por la izquierda como aqu\'el que es semisimple como m\'odulo
por la izquierda  sobre s\'\i\  mismo, lo que  permitir\'a llegar de forma f\'acil y r\'apida a la
clasificaci\'on de este tipo de anillos.



\subheading{ Anillos semisimples}

Se comienza definiendo anillo semisimple: un anillo $R$ se dice semisimple (por la izquierda) si  es
semisimple visto como
$R$-m\'odulo por la izquierda. Damos varias  carac\-terizaciones de los anillos semisimples. Para un
anillo $R$ las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $R$ es un anillo semisimple por la izquierda.
\item Toda sucesi\'on exacta corta de $R$-m\'odulos por la izquierda es escindida.
\item Todo  $R$-m\'odulo por la izquierda, es semisimple.
\item Todo $R$-m\'odulo por la izquierda finitamente generado es semisimple.
\item Todo  $R$-m\'odulo por la izquierda c\'{\i}clico es semisimple.
\endroster


Demostramos entonces que los anillos semisimples y unitarios, considerados  como
m\'odulos por la izquierda sobre s\'\i\  mismos, son de longitud finita, por lo que son tanto
arti\-nianos como noetherianos por la izquierda.

\pagebreak
Por \'ultimo damos varias caracterizaciones homol\'ogicas de los anillos semisimples y unitarios:
\roster

\item"(6)" Todo $R$-m\'odulo es proyectivo.
\item"(7)" Todo $R$-m\'odulo es inyectivo.
\endroster

\subheading{Estructura de los anillos semisimples. Teorema de Wedderburn-Artin}

Presentamos en esta lecci\'on el Teorema de Wedderburn-Artin, que en esencia determina la clase de
los anillos semisimples y unitarios en funci\'on de otra clase m\'as ``simple" de anillos, la  de
los anillos de divisi\'on.

Comenzamos demostrando que para todo anillo unitario $S$  y todo natural $n$, la aplicaci\'on que a
cada ideal $I$ de $S$ lo manda a $\Cal M_n(I)$ es un isomorfismo de ret\'\i culos entre  los
ideales de $S$ y los de $R:=\Cal M_n(S)$.
Nos centramos en el caso particular de que $S:=\Delta$ sea un anillo de divisi\'on obteniendo, por
la propiedad anterior,  que
$R$ es un anillo simple, es m\'as, $R$ es semisimple por la izquierda y por la derecha y
por tanto artiniano y noetheriano por ambos lados. Demostramos por \'ultimo que
$R$ posee, salvo isomorfismos, un
\'unico
$R$-m\'odulo por la izquierda simple y fiel, llam\'emoslo $V$ (como representante podemos tomar
cualquier ideal por la izquierda minimal de $R$) es m\'as, $R$ considerado como
$R$-m\'odulo por la izquierda, es isomorfo a $ V^n$
 y
 $End_R(V)\cong \Delta$.

% mirar [J$_1$, pag 40]


Volviendo al estudio de los anillos semisimples comprobamos que la suma directa finita de anillos
semisimples es semisimple, por lo que si
$\Delta_1,\Delta_2,\hdots, \Delta_{k}$ son  anillos de divisi\'on y $n_1,n_2\hdots, n_k\in
\Bbb N$,
$$R=\Cal M_{n_1}(\Delta_1)\oplus
\Cal M_{n_2}(\Delta_2)\dotsb \oplus\Cal
M_{n_k}(\Delta_k)$$ es un anillo semisimple.

Obtenemos entonces el Teorema de Wedderburn-Artin:
para un anillo unitario $R$ las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $R$ es semisimple.
\item $R\cong \Cal M_{n_1}(\Delta_1)\oplus
\Cal M_{n_2}(\Delta_2)\dotsb \oplus\Cal
M_{n_k}(\Delta_k)$, en donde $\Delta_1,\Delta_2,\hdots, \Delta_{k}$ son anillos de divisi\'on y
$n_1,n_2\hdots, n_k\in \Bbb N$.
\endroster
Adem\'as,  tanto $k$ como los pares $(n_i,\Delta_i)$ son
\'unicos salvo isomorfismos y permutaciones.



Como corolario obtenemos que un anillo unitario  es semisimple por la izquierda si y s\'olo si lo
es por la derecha.


Obtenemos un teorema que determina completamente los m\'odulos sobre este tipo de
anillos: sea $R$ un anillo semisimple y unitario. Entonces existe una biyecci\'on entre las clases
de isomorfismos de  $R$-m\'odulos simples y las componentes simples del anillo. Es m\'as, si
$R=R_1\oplus R_2\dotsb\oplus R_n$ es la descomposici\'on de $R$ en componentes simples e $I_i$ es un
ideal por la izquierda minimal de  $R_i$, entonces $\{I_1,I_2,\hdots, I_n\}$ es un conjunto de
representantes de  $R$-m\'odulos simples mutuamente no isomorfos.


Por \'ultimo caracterizamos los anillos simples que son a la vez semisimples: para un anillo
simple y unitario $R$ las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $R$ es semisimple.
\item $R\cong \Cal M_n(\Delta)$, con $n\in \Bbb N$ y $\Delta$ un anillo de divisi\'on.
\endroster

Ya hemos demostrado que para este anillo existe, salvo
isomorfismos, un \'unico $R$-m\'odulo simple.
El siguiente teorema, debido a Jacobson, estudia m\'as en profundidad este hecho:
sea $M_i$  un espacio
vectorial de dimensi\'on finita sobre un anillo de divisi\'on $\Delta_i$, para $i=1,2$. Supongamos
que  existe  un isomorfismo de anillos $g:End_{\Delta_1}M_1\to End_{\Delta_2}M_2$. Entonces
existe un isomorfismo semilineal $s:M_1\to M_2$ tal que para todo $a\in End_{\Delta_1}M_1$ se tiene
que
$g(a)=sas^{-1}$.


En temas posteriores iremos dando nuevas versiones de este teorema. As\'\i, una vez visto la
clasificaci\'on de los anillos primitivos por la izquierda (Teorema de Densidad de
Jacobson) podremos volver a demostrar el Teorema de Wedderburn-Artin al que a\~nadiremos nuevas
equivalencias:
\roster
\item"(3)" $R$ es primitivo y artiniano por la izquierda.
\item"(4)" $R$ es primo y artiniano por la izquierda.
\item"(5)" $R$ es simple y artiniano por la izquierda.
\item"(6)" $R$ es simple, unitario y posee un ideal por la izquierda minimal.
\endroster

Cuando estudiemos los anillos semiprimos que coinciden con su z\'ocalo obtendremos una nueva
caracterizaci\'on de estos anillos:
\roster
\item"(7)" $R$ es primo, unitario y coincide con su z\'ocalo.
\endroster

Por \'ultimo, una vez construida toda la maquinaria que envuelve  la Teor\'\i a de Morita, daremos
una demostraci\'on alternativa del Teorema de Wedderburn-Artin que  permitir\'a dar una
\'ultima caracterizaci\'on de los anillos semisimples y  unitarios:

\roster
\item"(8)" $R$ es unitario y Morita equivalente a un anillo de divisi\'on.
\endroster

\vfill\eject



\Refs\nofrills
\noindent{\granbf Referencias}
\vskip .2true in

\ref  \by	 A.J. Berrick. M.E. Keating
 \book An Introduction  to Rings and Modules with K.Theory in View \publ Cambridge University Press
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\ref  \by	 E-A. Behrens
 \book Ring Theory  \publ Academic Press,  New York, N.Y
\yr 1972 \endref
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\ref  \by	 P.M. Cohn
 \book Algebra (II) \publ John Wiley\& Sons
\yr 1977 \endref
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\ref  \by	 P.M. Cohn
 \book And Introduction to Ring Theory \publ Springer-Verlag. New York
\yr 2000 \endref
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\ref  \by	 J.C. McConnell. J.C. Robson
 \book Noncommutative Noetherian Rings \publ John Wiley\& Sons
\yr 1987 \endref
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\ref  \by	 T.W.Hungerford
 \book Algebra \publ  Springer-Verlag. New York
\yr 1974 \endref
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\ref  \by	 N. Jacobson
\book Basic Algebra II
  \publ W.H. Freeman and Company,  New York
\yr 1989 \endref
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\ref  \by	 T.Y. Lam
 \book A first course  in noncommutative rings \publ Graduate texts in Mathematics, Springer
\yr 1991 \endref
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  \ref  \by	 L.H. Rowen
 \book  Ring Theory I \publ Accademic Press, Inc., New York, N.Y
\yr 1988 \endref
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\endRefs


