


\centerline{\granbf   TEMA 3. }
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\centerline{\granbf  ANILLOS PRIMITIVOS Y SEMIPRIMITIVOS. }
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Lecci\'on 12.- Anillos primitivos. \par
Lecci\'on 13.- Teorema de Densidad de Jacobson. \par
Lecci\'on 14.- Anillos semiprimitivos.\par
Lecci\'on 15.- Anillos primos y semiprimos.\par
Lecci\'on 16.- Vuelta al Teorema de Wedderburn-Artin. \par


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\subheading{ Anillos primitivos}

   Introducimos la noci\'on de anillo primitivo por la
izquierda, en un anillo no necesariamente unitario $R$, como aqu\'el que posee un $R$-m\'odulo por
la izquierda simple, tambi\'en llamado por algunos autores irreducible, y fiel.

Caracterizamos internamente  estos anillos como los que contienen un ideal por la
izquierda modular maximal de core cero.
 Como consecuencia    obtenemos que:
\roster
\item un anillo simple con un ideal por
la izquierda propio y modular es primitivo. En particular, como  todo ideal
por la izquierda de un anillo unitario es modular, los anillos simples y unitarios son primitivos,
\item  los  anillos conmutativos y primitivos son precisamente los cuerpos.
\endroster

Observamos que la noci\'on de  anillo primitivo no es sim\'etrica. Es decir, que existen anillos
 primitivos por la izquierda que no lo son por la derecha y viceversa. El primero de tales ejemplos
fue dado por Bergman en 1965.



\subheading{  Teorema de Densidad de Jacobson}



Sea $R$ un  anillo primitivo por la izquierda y denotemos por  $M$ a un $R$-m\'odulo por la
izquierda simple y fiel. Por ser $M$ simple, aplicando el Lema de Schur, $\Delta:=End(_RM)$
es un anillo de divisi\'on. As\'\i,
$M$ posee estructura de $\Delta$-espacio vectorial por la derecha. Por ser $M$
 fiel, la aplicaci\'on $\phi:R\to End(M_{\Delta})$ definida por $\phi(r)=\lambda_r$, en donde
$\lambda_r$ denota al operador de multiplicaci\'on por la izquierda, es un monomorfismos de anillos,
por lo que $R$ es isomorfo a un subanillo del anillo de endomorfismos de este espacio vectorial.
Establecemos entonces el Teorema de Densidad de Jacobson que caracteriza los anillos primitivos como
aqu\'ellos que son isomorfos a subanillos densos de  trasformaciones lineales de  espacios
vectoriales sobre anillos de divisi\'on.

Encontramos entonces  un resultado  que  ser\'a de utilidad en el estudio de los P.I.
anillos primitivos. A saber, un anillo primitivo $R$ o es isomorfo a un anillo de endomorfismo de un
espacio vectorial de dimensi\'on finita sobre un anillo de divisi\'on (esto sucede si $M$ tiene
dimensi\'on finita sobre
$\Delta$) o para cada entero positivo
$n$, $R$ contiene un subanillo $R_n$ que se aplica mediante un epimorfismo en $\Cal M_n(\Delta)$.

Es interesante tener una descripci\'on interna del anillo de divisi\'on que aparece en el
Teorema de Densidad de Jacobson. Si $R$ es un anillo y $M$ es un $R$-m\'odulo simple y fiel,
sabemos que existe un ideal por la izquierda modular maximal de core cero, digamos $I$ tal que
$M\cong R/I$. Es m\'as, $End_R(R/I)\cong B/I$ en donde $B=\{b\in R\ \vert\  Ib\subset I\}$.


Si nos preguntamos sobre la unicidad de cada uno de los objetos que aparece en el Teorema de
densidad de Jacobson  encontramos  que no la hay. As\'\i, un anillo primitivo puede tener
m\'odulos irreducibles y fieles no isomorfos cuyos anillos de endomorfismos tampoco lo sean. Como
veremos m\'as adelante, tanto en el caso de anillos primitivos (o primos) y artinianos, como en el
caso m\'as general de ani\-llos primos con un ideal por la izquierda minimal, si se tiene la
unicidad, salvo isomorfismos, de estos objetos.

Veremos  que la noci\'on de densidad  puede interpretarse como una
 noci\'on topol\'ogica: dado un espacio vectorial $V$ sobre un anillo de
divisi\'on
$\Delta$ se puede dotar a
$End(V_\Delta)$ de estructura de espacio topol\'ogico, llamada la topolog\'\i a Finita, tal que
un subanillo
$R$ de
$End(V_\Delta)$ es denso respecto de esta topolog\'{\i}a si y s\'olo si es denso en el sentido
estudiado anteriormente. Es m\'as, con respecto a esta topolog\'\i a, los anillos primitivos son
anillos topol\'ogicos, esto es, tanto la suma como el producto son  continuos.

Por \'ultimo introducimos el concepto de $\phi$-\'algebra, con $\phi$ un anillo de escalares, y
demostramos que una $\phi$-\'algebra  es primitiva si y s\'olo si es isomorfa a un sub\-anillo
denso de trasformaciones lineales de un espacio vectorial  sobre una $\phi$-\'algebra de
divisi\'on.

\subheading{Anillos semiprimitivos}

 Diremos que un anillo $R$ es semiprimitivo (por la izquierda) si
para cada elemento no nulo
$a$ de
$R$ existe un $R$-m\'odulo por la izquierda simple $M$  tal que $a\notin Ann_R(M)$ (esto es: $aM\ne
0$). Demostramos entonces que un anillo es semiprimitivo si y s\'olo si la intersecci\'on de todos
los cores de todos los ideales por la izquierda  modulares maximales es cero. Esto lleva a dos
caracterizaciones de los anillos semiprimitivos interesantes por s\'\i\  mismas. La primera afirma
que un anillo $R$ es semiprimitivo si y s\'olo si posee un m\'odulo completamente reducible y fiel.
La segunda  caracteriza los anillos semiprimitivos en t\'erminos de anillos primitivos: un anillo es
semiprimitivo si y s\'olo si es producto subdirecto de anillos primitivos.

Como corolario inmediato obtenemos que los anillos conmutativos y semiprimitivos son precisamente
los  productos subdirectos de cuerpos.

En el cap\'\i tulo siguiente, cuando tratemos el radical de Jacobson de un anillo, comprobaremos que
la noci\'on de semiprimitividad s\'\i\  es sim\'etrica, por lo que dejaremos de decir semiprimitivo
por la izquierda o por la derecha.


\subheading{ Anillos primos y semiprimos}

Se comienza la lecci\'on introduciendo la noci\'on de ideal (resp. ideal por la izquierda e ideal
por la derecha) nilpotente. Posteriormente se define el concepto de anillo semiprimo y se
caracteriza como aqu\'el en el que no existen ideales por la izquierda o   por la  derecha
nilpotentes, as\'\i \ como aqu\'el en el que no existen divisores absolutos de cero.

Se observa que todo anillo
semiprimitivo es semiprimo y se deja como ejercicio demostrar que estos conceptos no son
equivalentes.

Se introduce el concepto de anillo primo y, como en el caso anterior, se caracteriza en t\'erminos de
ideales por la izquierda, ideales por la derecha y  en t\'erminos de elementos. Se define ideal
esencial y se prueba que  un anillo semiprimo es primo si y s\'olo si todo ideal no nulo es
esencial. Se deja como ejercicio ver si la propiedad de que todo ideal no nulo es esencial
caracteriza, sin la condici\'on extra de semiprimidad, a los anillos primos. Por
\'ultimo se observa que todo anillo primitivo es primo.

Se demuestra que los conceptos de primidad y semiprimidad son hereditarios, es decir, todo ideal
de un anillo semiprimo (resp. primo) es semiprimo (resp. primo). Por
\'ultimo se definen los distintos anuladores de un
subconjunto $X$ en un anillo $R$, es decir, el anulador por la izquierda de $X$, representado por
$lan_R(X)$, el anulador por la derecha de $X$,  representado por $ran_R(X)$ y el anulador de $X$,
 representado por $ann_R(X)$, y se observa como se comportan estos conceptos frente a ideales:
sea $R$  un anillo semiprimo  e $I$ un ideal de $R$. Entonces
\roster
\item $lan_R(I)=ran_R(I)=ann_R(I)$ es un ideal de $R$.
\item $ann_R(I)=\{x\in R\vert\quad xRx=0\}$.
\item $I\oplus ann_R(I)$ es un ideal esencial de $R$.
\item $I$ es un ideal esencial de $R$ si y s\'olo si $ann_R(I)=0$.
\item $R/ann_R(I)$ es un anillo semiprimo.
\endroster


En $(5)$ se observa que $I$ puede verse como un ideal esencial de $R/ann_R(I)$ y que esta propiedad
proporciona un camino para trasladar propiedades entre $R$ y  $R/ann_R(I)$.



\subheading{  Teorema de Wedderburn-Artin}

Recordamos la noci\'on de anillo artiniano  por la izquierda como aqu\'el anillo $R$  que verifica la
condici\'on de cadena descendente para ideales por la izquierda, es decir, $R$ como $R$-m\'odulo
por la izquierda es artiniano.

Para un anillo $R$ las siguientes condiciones son equivalentes:

\roster
\item $R$ es primitivo y artiniano por la izquierda.
\item $R$ es primo y artiniano por la izquierda.
\item $R$ es simple y artiniano por la izquierda.
\item $R$ es isomorfo a $\Cal M_n(\Delta)$ para $n\in \Bbb N$ y $\Delta$ un anillo de divisi\'on.
\endroster
Adem\'as, en (4) se tiene que $n$ y $\Delta$ son  invariantes del anillo.

% 3 implica 2 trivial
% 2 implica 1 trivial
% 1 implica 5 existe una biyecci\'on entre ideles por la izquierda y subespacios [Be]
% 5 implica 3 por los resultados anteriores y [Lam I, (3,3)].


Estudiamos ahora el caso de los anillos semiprimitivos y artinianos,  lo que proporciona
nuevas equivalencias para
 el Teorema de Wedderburn-Artin: para un anillo $R$  las siguientes condiciones son equivalentes:

\roster
\item $R$ es  semiprimitivo y artiniano.
\item $R$ es  semiprimo y artiniano.
\item $R$ es  semisimple y artiniano.
\item $R\cong \Cal M_{n_1}(\Delta_1)\oplus \Cal M_{n_2}(\Delta_2)\oplus \dotsb \oplus \Cal
M_{n_k}(\Delta_k)$ en donde $n_1,n_2\hdots, n_k\in \Bbb N$ y $\Delta_1,\Delta_2,\dotsb,\Delta_k$
son anillos de divisi\'on.
\item $R$ es semisimple y unitario.
\endroster

Adem\'as, en (4) se tiene que  los $n_i$ y los $\Delta_i$ est\'an determinados salvo orden e
isomorfismos. Como ya anunciamos anteriormente, en esta nueva versi\'on del Teorema de
Wedderburn-Artin no se necesita, en principio, que el anillo sea unitario por lo que se demuestra
que  los anillos
 semiprimos y artinianos son unitarios.



\vfill\eject



\Refs\nofrills
\noindent{\granbf Referencias}
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