



\centerline{\granbf   TEMA 4. }
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\centerline{\granbf  TEOR\'IA DE RADICALES. }
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Lecci\'on 17.- Algunas nociones sobre radicales.\par
Lecci\'on 18.- El radical de Jacobson. \par
Lecci\'on 19.- El radical de Jacobson de un anillo artiniano. \par
Lecci\'on 20.- El nil radical inferior o radical primo.\par
Lecci\'on 21.- El nil radical superior.


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En teor\'{\i}a de anillos la noci\'on de radical ha sido particularmente \'util. S\'\i\ pensamos por
ejemplo en las \'algebras de dimensi\'on finita,  encontramos   una variedad muy hetero\-g\'enea
de elementos. As\'{\i}, un \'algebra de este tipo puede ser desde un \'algebra  de divisi\'on
hasta un
\'algebra nilpotente. En 1908, Wedderburn demuestra que  toda \'algebra
$A$ de dimensi\'on finita contiene un ideal nilpotente
$ \Cal R(A)$ tal que $A/ \Cal R(A)$ es  suma directa finita de anillos de matrices sobre anillos de
divisi\'on. Por tanto las \'algebras de dimensi\'on finita quedan razonablemente determinadas.

La teor\'\i a que envuelve la noci\'on de radical persigue esta idea. Dada una clase de
anillos
$\Cal C$,
 para cada anillo $R\in \Cal C$  se determina un ideal $\Cal R(R)$, llamado el radical de $R$,
tal que podamos describir satisfactoriamente tanto  los anillos radicales (los anillos $R\in
\Cal C$ tales que $\Cal R(R)=R$) como  los anillos cocientes
$R/\Cal C(R)$.


\subheading{ Algunas nociones sobre radicales}


Los fundamentos de la teor\'\i a axiom\'atica del radical son dados de forma independiente
por Kurosh y Amitsur en 1953.
 Consideremos $\Cal C$ una clase de anillos cerrada para ideales e im\'agenes
homom\'orficas. Diremos que una subclase $\Cal R$  de $\Cal C$ es radical (en $\Cal C$) s\'\i\
verifica que:\roster
\item las im\'agenes homom\'orficas de elementos de $\Cal R$ pertenecen a $\Cal R$,
\item cada anillo $R\in \Cal C$ contiene un ideal radical $\Cal R(R)$ (es decir, un ideal de
$R$ que pertenece a $\Cal R$) tal que todo ideal radical de $R$ est\'a contenido en $\Cal R(R)$,
\item $R/\Cal R(R)$ no contiene ideales radicales.
\endroster


Para todo anillo $R$, el ideal $\Cal R(R)$ es llamado el radical de $R$. Los anillo que coinciden
con su radical son llamados radicales y la clase de todos estos anillos  es llamada la
clase radical. Los anillos de radical cero son llamados $\Cal R$-semisimples y la clase de todos
estos anillos  es llamada la clase  $\Cal R$-semisimple.

Por construcci\'on los anillos $\Cal R$-semisimples quedan
determinados por la clase  radi\-cal. Sorprendentemente tambi\'en se tiene que los anillos
radicales quedan caracteri\-zados por la clase semisimple:  un anillo
$R\in
\Cal C$ es radical si y s\'olo si no existe un epimorfismo
$f:R\to P$ con $P$ semisimple.

Caracterizamos una subclase radical
 $\Cal R$ de una clase $\Cal C$ como aqu\'ella que verifica:  (1), las im\'agenes homom\'orficas de
elementos de
$\Cal R$ est\'an contenidas en $\Cal R$ y (2),
 si $R\in \Cal C$ es  tal que toda imagen homom\'orfica de $R$ contiene ideales radicales, entonces
$R$ es radical.


La clase radical es transitiva, esto es:  si $I$ es un ideal de $R$,
entonces $R$ es radical si y s\'olo si $I$ y $R/I$ son radicales. Por otro lado, la suma finita de
ideales radicales es radical.

Por \'ultimo caracterizamos las subclases semisimples de una clase de anillos. Una subclase
$\Cal P$ de una clase $\Cal C$ que no contiene al anillo nulo es semisimple si y s\'olo si
  un anillo $R$ de $\Cal C$ pertenece a $\Cal P$ si para todo ideal no nulo $I$ de $R$ existe un
epimorfismo de anillos  $f: I\to P$ para cierto $P\in \Cal P$.





\subheading{ El radical de Jacobson}

Comenzamos definiendo el radical de  Jacobson de un anillo $R$, no necesariamente unitario, como la
intersecci\'on de  los n\'ucleos de  las representaciones irreducibles del anillo, y lo
denotamos por $rad(R)$. Obviamente tenemos que un anillo $R$ es semiprimi\-tivo si y s\'olo si
$rad(R)=0$.

Definimos ideal primitivo por la izquierda como aquel ideal $P$ de $R$ tal que el anillo cociente
$R/P$ es primitivo por la izquierda. Se demuestra que un ideal $P$ es primitivo por la izquierda si y
s\'olo si es el core de un ideal por la izquierda modular maximal, con lo que obtenemos las primeras
caracterizaciones del radical de Jacobson: el radical de Jacobson de un anillo $R$ coincide con
\roster
\item  la intersecci\'on de   los ideales primitivos de $R$,
\item  la intersecci\'on de los ideales por la izquierda modulares maximales de $R$.
\endroster

Hacemos hincapi\'e en
que en anillos unitarios todo ideal es modular, por lo que el radical de Jacobson coincide con
la intersecci\'on de los ideales por la izquierda maximales.



Si $M$ es un $R$-m\'odulo  simple, $rad(R)\subset ann_R(M)$, por lo  que $M$ tiene estructura
de $R/rad(R)$-m\'odulo simple. As\'\i,  $R/rad(R)$ tiene radical de
Jacobson cero o, lo que es lo mismo,  $R/rad(R)$ es un anillo semiprimitivo.



Comenzamos ahora una  descripci\'on por elementos del radical de Jacobson de un anillo. Definimos
elemento casirregular como aquel $x\in R$ tal que existe $y\in R$ verificando $x+y-xy=0$.
Hacemos notar que en anillos unitarios esto es equivalente a que el elemento $1-x$ sea inversible en
$R$. Probamos que el radical de Jacobson de un anillo $R$ est\'a formado por elementos
casirregulares, es m\'as: para un anillo $R$, $rad(R)$ coincide con \roster
\item"(3)" el mayor ideal por la
izquierda   casirregular de $R$,
\item"(4)" el mayor ideal por la
derecha   casirregular de $R$.
\endroster


Tenemos entonces la  siguiente caracterizaci\'on de los elementos del radical de un anillo $R$. El
radical de Jacobson de un anillo $R$ coincide con:

\roster
\item"(5)" los $x\in R$ tales que $xy$ es casirregular para todo $y\in R$,
\item"(6)" los $x\in R$ tales que $yx$ es casirregular para todo $y\in R$.
\endroster

Con lo que se demuestra  que el radical de Jacobson que en principio hemos definido como una
noci\'on por la izquierda es en verdad un concepto sim\'etrico. As\'\i, tenemos   nuevas
caracterizaciones del radical:  para un anillo $R$, $rad(R)$ coincide con \roster
\item"(7)"
 la intersecci\'on de los cores de los ideales por la derecha
modulares maximales,
\item"(8)" la intersecci\'on de los ideales primitivos por la derecha. \endroster

De aqu\'\i\
se obtiene un hecho ya anunciado: un anillo  es  semiprimitivo por la izquierda si y
s\'olo si lo es por la derecha.




\subheading{ El radical de Jacobson de un anillo artiniano}



Comenzamos definiendo la noci\'on de ideal nil  como aqu\'el en el que todos sus elementos son
nilpotentes. Comprobamos que todo elemento nil es casirregular, con lo que obtenemos que todo ideal
nil est\'a contenido en el radical de Jacobson.  Por \'ultimo probamos que el radical de
Jacobson de un anillo artiniano es nilpotente. As\'\i, el radical de Jacobson de un anillo artiniano
es el mayor ideal nilpotente del anillo. Se observa que esto implica que en anillos artinianos todo
ideal nil es nilpotente.

Tenemos, al igual que en el caso de anillos semisimples y artinianos, un teorema que  determina,
salvo isomorfismos,  los m\'odulos simples sobre anillos  artinianos: sea $R$ un anillo
artiniano y sea $rad(R)$ el radical de Jacobson de $R$. Consideremos $\overline R:=R/rad(R)$.
Entonces existe una biyecci\'on entre las componentes simples de $\overline R$ y las clases de
isomorf\'{\i}a de
$R$-m\'odulos simples.

Con este resultado se obtiene el Teorema de Hopkins-Levitzki que establece que un anillo
unitario
 y artiniano por la izquierda es noetheriano por la izquierda.


\subheading{ El nil radical inferior o radical primo}


Comenzamos la lecci\'on pregunt\'andonos s\'\i\  para un anillo $R$ existir\'a un ideal $I$ en $R$
tal que  $R/I$ sea primo y todo ideal con esta condici\'on contenga a  $I$.
R\'apidamente llegamos a que tal ideal no tiene por que existir, basta tomar como  anillo el
producto de dos cuerpos. Con esto obtenemos que la clase de los anillos primos no es
radical-semisimple.

Planteamos entonces el mismo problema en el caso semiprimo.
Por tanto, para un anillo  $R$, buscamos un ideal $I$   que contenga a todos los
divisores absolutos de cero del anillo. Como primer resultado obtenemos que el subgrupo generado
por todos los divisores absolutos de cero de $R$,  es un ideal de $R$, pero $R/I$ no tiene por qu\'e
ser semiprimo. En este punto abandonamos esta estrategia aunque se propondr\'a como ejercicio  la
obtenci\'on del nilradical inferior como limite transfinito de tales cocientes.


Se define la noci\'on de ideal primo  como un ideal $P$ de $R$ tal que para cada par de ideales
$I,J\subset R$, con $IJ\subset P$, se tenga que  $I\subset P$ o $J\subset P$. Se dan unas
primeras caracterizaciones de ideal primo en t\'erminos de ideales, cocientes y  elementos:

Sea $R$ un anillo  y $P$ un ideal de $R$. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $P$ es un ideal primo.
\item $R/P$ es un anillo primo.
\item Para cualesquiera $a, b\in R$, $(RaR)(RbR)\subset P$ implica que $a\in P$ o $b\in P$.
\item Para cualesquiera $a, b\in R$, $aRb\subset P$ implica que $a\in P$ o $b\in P$.
\endroster


Diremos que un subconjunto $S$ de $R$ es un  m-sistema  s\'\i\  para cualesquiera
$a,b\in S$  existe $r\in R$ verificando que $axb\in S$. La noci\'on
de m-sistema est\'a \'{\i}ntimamente ligada con la de ideal primo, as\'\i:
(1)   un ideal
$P$ de un anillo
$R$ es primo si y s\'olo si
el complemento de $P$ en $R$ es un m-sistema, (2) dado un   m-sistema $S$,
cualquier ideal de $R$,  maximal respecto a la propiedad de no cortar a $S$ es primo.

Se define la noci\'on de ideal semiprimo  como un ideal $P$ de $R$ tal que para cada ideal
$I\subset R$, con $I^2\subset P$, se tenga que  $I\subset P$ y al igual que en el caso de ideal primo
se caracteriza en t\'erminos de ideales, cocientes y
elementos.
Sea $R$ un anillo  y $P$ un ideal de $R$. Las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $P$ es un ideal semiprimo.
\item $R/P$ es un anillo semiprimo.
\item Para cualquier $a\in R$, $(RaR)^2\subset P$ implica que $a\in P$.
\item Para cualquier $a\in R$, $aRa\subset P$ implica que $a\in P$.
\endroster

Diremos que un subconjunto $S$ de $R$ es un  n-sistema  s\'\i\  para cualquier
$a\in S$  existe $r\in R$ tal que $axa\in S$. Tenemos entonces que  un ideal $I$ de un anillo $R$ es
semiprimo si y s\'olo si el complemento de $I$ en $R$ es un n-sistema.

Demostramos que todo n-sistema es uni\'on de m-sistemas. Con esta propiedad obtenemos  que un ideal
 de un anillo  es semiprimo si y s\'olo si  es intersecci\'on de ideales primos del anillo. De esto
\'ultimo se deduce  que todo anillo semiprimo es producto subdirecto de anillos primos.

Dado un ideal $I$ de un anillo $R$ definimos:

 $$\root \of I:=\{x\in R \ \vert\ \text{todo m-sistema
que contiene a $x$ corta a I\ }\}.$$ Se tiene entonces que $\root \of I$ es el menor ideal semiprimo
del anillo que contiene a $I$. Definimos el nil radical inferior o radical de Baer-McCoy y lo
representaremos por $Nil_*(R)$ como el menor ideal semiprimo de $R$, esto es, $\root \of{\{0\}}$.


Tenemos entonces que  dado un anillo $R$:
\roster
\item $R$ es semiprimo si y s\'olo si $Nil_*(R)=0$.
\item $R/Nil_*(R)$ es semiprimo.
\item $Nil_*(R)$ es un ideal nil de $R$.
\item $Nil_*(R)\subset rad(R)$.
\endroster

En clase se debatir\'a el siguiente problema: s\'\i\  la ideal del nilradical inferior consiste
en encontrar un ideal, el mas peque\~no posible, tal que el cociente no contenga ideales
nilpotentes, ?`por que no tomar como ideal la suma de todos los ideales nilpotentes del anillo? Y se
pedir\'a un ejemplo en donde la contenci\'on de (4) sea estricta.

\subheading{ El nil radical superior}

Nos encontramos con que un anillo semiprimo puede contener ideales nil.
En esta secci\'on vamos a estudiar un radical que  elimina dichos ideales.

Comenzamos demostrando que s\'\i\  $I$ y $J$ son respectivamente ideal e ideal por la izquierda
(resp. por la derecha) nil de un anillo $R$, entonces $I+J$ es un ideal por la izquierda (resp. por
la derecha) nil. Esto,  permite definir el radical superior de un anillo $R$, que
representaremos por $Nil^*(R)$, como la suma de todos los ideales nil de $R$.

Tenemos entonces que para cualquier anillo $R$:
\roster
\item $Nil^*(R)$ es el mayor ideal nil de $R$.
\item $R$ no contiene ideales nil si y s\'olo si $Nil^*(R)=0$.
\item $Nil^*(R/Nil^*(R))=0$.
\endroster

Para concluir esta lecci\'on se enuncia la conjetura de   K\"othe que afirma que  un anillo sin
ideales nil no contiene ideales por la izquierda, ni por la derecha nil. Damos varios enunciados
equivalentes a este:
\roster
\item $R$ verifica la conjetura de K\"othe.
\item Todo ideal por la izquierda (resp. por la derecha) nil de $R$ est\'a contenido en $Nil^*(R)$.
\item  La suma de dos ideales por la izquierda (resp. por la derecha) nil  de $R$  es un ideal por
la izquierda (resp. por la derecha) nil.
\item Si $I$ es un ideal por la izquierda nil, $IR$ es un ideal nil.
\endroster

 Como consecuencia se obtiene que todo anillo artiniano verifica la conjetura de K\"othe. Por
\'ultimo demostramos el Teorema de Levitzki que afirma que todo anillo noetheriano por la izquierda
tambi\'en verifica dicha conjetura.

\subheading{ El radical de Levitzki}

Introducimos la noci\'on de conjunto localmente nilpotente:  un subconjunto $S$ de un
anillo $R$ es localmente nilpotente si cualquier subanillo generado por un  subconjunto finito
de $S$ es nilpotente.

Demostramos que si $I$ y $J$ son dos ideales por la izquierda localmente nilpotentes,  entonces
$IR$, $I+J$ son localmente nilpotentes. Definimos el radical de Levitzki de un anillo
$R$ y lo representamos como $L$--$rad(R)$ como la suma de todos los ideales localmente nilpotentes de
 $R$.

Es claro que $L$--$rad(R)$ es el mayor ideal localmente nilpotente de $R$ y que $L$--$rad(R)$
contiene a todos los ideales por la izquierda y por la derecha localmente nilpotentes.

 Tenemos entonces que para un anillo $R$ la relaci\'on entre
los radicales estudiados hasta el momento es:
$$Nil_*(R)\subset L\text{--}rad(R)\subset Nil^*(R)\subset rad(R)$$

Si nuestro anillo $R$ es artiniano,  estos radicales coinciden y si es conmutativo
$Nil_*(R)=L$--$rad(R)= Nil^*(R)=Nil(R)$. Por \'ultimo mostramos un anillo primo $R$ tal que
$L$--$rad(R)\ne 0$ y un dominio de integridad $D$  con un \'unico ideal maximal, por tanto
$Nil^*(D)=0$ y $ rad(D)\ne 0$.
% [Lam 1 pag 178.
%[Lam 1 (19.7) segundo parrafo.

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\Refs\nofrills
\noindent{\granbf Referencias}
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