


\centerline{\granbf   TEMA 5. }
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\centerline{\granbf  ANILLOS DE DIVISI\'ON. TEOREMAS DE CONMUTATIVIDAD. }
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\pageno27

Lecci\'on 22.-  Algunas construcciones de anillos de divisi\'on. \par
Lecci\'on 23.- El Teorema de Frobenious. \par
Lecci\'on 24.- Teoremas de conmutatividad. \par

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Es claro, una vez visto el Teorema de Wedderburn-Artin, la
importancia  de los ani\-llos de divisi\'on en el desarrollo de una teor\'\i a general de anillos
asociativos.

Los anillos de divisi\'on se clasifican en dos grupos dependiendo de que tengan
dimensi\'on infinita o dimensi\'on  finita sobre su centro, que siempre es un cuerpo.
Los
primeros, bastante complejos, no fueron descubiertos
hasta 1899 por Hilbert, mientras que
los segundos  no distan mucho  de ser conmutativos. Veremos, en el cap\'\i tulo 9, que los anillos
de divisi\'on de dimensi\'on finita sobre su centro son precisamente los que verifican una identidad
polin\'omica est\'andar, por lo que aplicando resultados m\'as generales de este tema los podremos
ver como  subanillos de anillos de matrices sobre cuerpos algebraicamente cerrados.




\subheading{Algunas construcciones de anillos de divisi\'on}

En este momento los alumnos conocen un \'unico ejemplo de anillo de divisi\'on no conmutativo,
los cuaternios de Hamilton, por tanto comenzamos este cap\'\i tulo presentando algunas
construcciones de estos objetos.

Empezamos con la construcci\'on de D. Hilbert que proporcion\'o,
en el a\~no 1899, el primer ejemplo de anillo de divisi\'on de dimensi\'on infinita sobre su
centro. Dado
$K$ un cuerpo y
$\sigma$ un automorfismo de $K$ se considera $\Delta=K((X,\sigma))$ el anillo de las series
formales de Laurent, con suma por componentes y multiplicaci\'on definida por la regla
$Xa=\sigma(a)X$. Sea comprueba que $\Delta$ es un anillo de divisi\'on. Se calcula el
centro de $\Delta$ demostr\'andose que
$\Delta$ es centralmente finito si y s\'olo si $\sigma$ tiene orden finito. Por \'ultimo, buscando
el primer ejemplo de anillo de divisi\'on que no es centralmente finito, se
considera $\Delta=K((X,\sigma))$ para
$K=\Bbb Q(T)$ y $\sigma$ el automorfismo que manda $T$ en $2T$.



Seguimos la secci\'on presentando la construcci\'on de las \'algebras c\'\i clicas de  L. Dickson,
que aparecen en el a\~no 1906. Se comienza considerando una extensi\'on de Galois $F\subset K$,
 con grupo de Galois, digamos $G$, c\'\i clico de $s$ elementos. Se consi\-dera  $\sigma$  un
generador de $G$ y  $D=K\cdot 1\oplus K\cdot X\oplus \cdots\oplus K\cdot X^{s-1}$,  en
donde la suma es por componentes y la multiplicaci\'on verifica las reglas: $X^s=a$ y $X\cdot
b=\sigma(b)\cdot X$. Comprobamos entonces que $D$  es una
$F$-\'algebra de dimensi\'on
$s^2$. En general estas \'algebras no tienen que ser de divisi\'on, aunque siempre
son simples. Demostramos que $D\cong \Cal M_s(F)$ si y s\'olo si $a$  es una norma de la
extensi\'on $F\subset K$ y que, en el caso de que $s$ sea un n\'umero primo, $D$ es un anillo de
divisi\'on si y s\'olo si $a\in K$  no es una norma de la extensi\'on.

Por \'ultimo damos la construcci\'on de Malcev-Neumann de los anillos de divisi\'on de series de
Laurent. Para tal construcci\'on necesitamos un anillo $R$, un grupo ordenado $(G,\le)$ y un
homomorfismo  de grupos, digamos  $w$, de $G$ en $Aut (R)$. Consideramos el anillo de Malcev-Neumann
$A=R((G,w))$ consistentes en las sumas formales:
$\alpha=\sum_{g\in G}r_g g$, con $r_g\in R$, tales que su soporte (en donde se define el soporte de
$\alpha$ como
$sopp(\alpha):=\{g\in G\ \vert\ r_g\ne 0\}$) es un subconjunto bien ordenado. Se define la suma en
$A$ por componentes y el producto como:
$$(\sum_{g\in G}r_g g)(\sum_{h\in G}s_h h):=\sum_{u\in G}(\sum r_g w_g(s_h)) u$$
en donde $w_g=w(g)$ y la segunda suma es sobre todos los pares $(g,h)\in G\times G$ tales que
$gh=u$. Como se vera mas adelante, el subanillo de todos los elementos de soporte finito es el
anillo grupo asim\'etrico de $R$ y $G$. Demostramos que si $R$ es un anillo de divisi\'on, entonces
$A=R((G,w))$ es tambi\'en anillo de divisi\'on.


\subheading{El Teorema de Frobenious}

Antes de entrar en el estudio de los anillos de divisi\'on en general demostramos el Teorema de
Frobenious que determina todas los anillos de divisi\'on algebraicos sobre el cuerpo de los
reales:

Un anillo de divisi\'on algebraico sobre el cuerpo de los reales  es
isomorfo a
$\Bbb R$,
$\Bbb C$ o $\Bbb H$ (el \'algebra de divisi\'on de los cuaternios reales).

Como ejercicio se propondr\'a demostrar que la clasificaci\'on dada por Frobenious es aplicable a
todo cuerpo real-cerrado, esto es, todo cuerpo $F$ tal que $\root2\of{-1}\notin F$ y
$F(\root2\of{-1})$ sea algebraicamente cerrado.

\subheading{Teoremas de conmutatividad}

Comenzamos esta secci\'on recordando el Teorema de Wedderburn, que establece que todo anillo de
divisi\'on  finito es cuerpo. Como corolarios a este teorema demostramos que todo subanillo finito
de un anillo de divisi\'on es cuerpo, que todo subgrupo finito de un anillo de
divisi\'on de caracter\'\i stica distinta de cero es c\'\i clico, as\'\i \ como el Teorema de
Jacobson que establece que todo anillo de divisi\'on algebraico sobre un cuerpo finito es
conmutativo.

Demostramos un Lema de Herstein, publicado en 1968, que establece que si $\Delta$ es un anillo de
divisi\'on de caracter\'\i stica $p>0$ y $a\in \Delta^*$ es un elemento  no central de torsi\'on
entonces existe $y\in \Delta^*$ tal que $yay^{-1}=a^i\ne a$ para $i>0$.

Este lema  permitir\'a demostrar un primer caso del Teorema de Jacobson-Herstein: sea $R$ un
anillo tal que para todo $a,b\in R$ existe $n=n_{(a,b)}$ tal que $[a,b]^n=[a,b]$, entonces $R$ es
conmutativo.

La demostraci\'on de este teorema la haremos en varios pasos:\par
(1). Demostraremos, a partir del Lema de Herstein, que el resultado es cierto para anillos de
divisi\'on.\par
(2). A partir del Teorema de densidad de Jacobson extenderemos el resultado a anillos
primitivos.\par
(3). Gracias a que todo anillo semiprimitivo es producto subdirecto de anillos primitivos,
extenderemos el resultado a anillos semiprimitivos.\par
(4). Por \'ultimo ampliamos el resultado para anillos en general.

Como corolario a este resultado obtenemos un  teoremas de Jacobson:  Sea $R$ un anillo tal que
para todo
$a\in R$ existe $n=n_a\in \Bbb N$ tal que $a^n=a$. Entonces $R$ es conmutativo.

\vfill\eject

\Refs\nofrills
\noindent{\granbf Referencias}
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\ref  \by	 E-A. Behrens
 \book Ring Theory  \publ Academic Press,  New York, N.Y
\yr 1972 \endref
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\ref  \by	 Nathan Jacobson
\book Structure of Rings
  \publ American Mathematical Society, Vol XXXVII
\yr 1968 \endref
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\ref  \by	 Nathan Jacobson
\book Basic Algebra I
  \publ W.H. Freeman and Company,  New York
\yr 1985 \endref
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\ref  \by	 T.Y. Lam
 \book A first course  in noncommutative rings \publ Graduate texts in Mathematics, Springer
\yr 1991 \endref
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\ref  \by	 L.H. Rowen
 \book  Ring Theory I \publ Accademic Press, Inc., New York, N.Y
\yr 1988 \endref
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\ref  \by	 L.H. Rowen
 \book  Ring Theory II \publ Accademic Press, Inc., New York, N.Y
\yr 1988 \endref
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\endRefs
 

