
\centerline{\granbf   TEMA 6. }
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\centerline{\granbf  ANILLOS SEMIPRIMOS CON Z\'OCALO ESENCIAL. }
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Lecci\'on 25.- El z\'ocalo de un anillo. \par
Lecci\'on 26.- Descomposici\'on del z\'ocalo de un anillo semiprimo.\par
Lecci\'on 27.- Estructura geom\'etrica de los anillos primos con z\'ocalo no nulo.\par

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En este cap\'\i tulo vamos a estudiar  una clase especial de anillos primitivos (resp.
semiprimitivo), los anillos primos con z\'ocalo no nulo (resp. semiprimos con z\'ocalo esencial).

Comenzamos estudiando los anillos primos que coinciden con su z\'ocalo. \'Estos  pueden verse como
una generali\-zaci\'on natural de los anillos primos y artinianos: mientras que estos \'ultimos
pueden representarse como anillos de endomorfismos de espacios vectoriales de dimensi\'on finita,
los primeros  son isomorfos a anillos de endomorfismos de rango finito de espacios vectoriales de
dimensi\'on arbitraria. Es m\'as, todo  anillo primo con z\'ocalo no nulo  se puede sumergir en  un
anillo de endomorfismos de un espacio vectorial de tal modo que  su z\'ocalo va a coincidir con los
elementos  del anillo que tengan rango finito.

Por otra parte  todo ideal por la izquierda minimal de un anillo primo $R$ resulta ser un
$R$-m\'odulo por la izquierda simple y fiel, por lo que los anillo primos con z\'ocalo no nulo son
primitivos. Como ya se anuncio, en estos anillos vamos a tener la unicidad, salvo isomorfismos,  de
las estructuras que aparecen en el Teorema de Densidad de Jacobson.

\subheading{ El z\'ocalo de un anillo}

Se define el z\'ocalo por la izquierda (resp. por la derecha) de un anillo $R$ como el z\'ocalo de
$R$ considerado \'este como $R$-m\'odulo por la izquierda (resp. $R$-m\'odulo por la derecha). Por
tanto, el z\'ocalo por la izquierda (resp. por la derecha) de un anillo $R$ es la suma de los
ideales por la izquierda (resp. por la derecha) minimales de $R$. Seguidamente se demuestra que
ambos z\'ocalos son ideales del anillo, aunque en general no tienen por que coincidir. Cuando ambos
z\'ocalos coinciden se dice que
$R$ tiene z\'ocalo y se denota a \'este por $Zoc(R)$.

Se estudian los ideales por la izquierda (resp. por la derecha) minimales de un anillo
demostr\'andose  el Lema de Brauer que afirma  que si $I$ es un ideal por la izquierda (resp. por la
derecha)  minimal de un anillo $R$, entonces $I^2=0$ o existe un idempotente de divisi\'on $e\in I$
tal que $I=Re$ (resp. $I=eR$). Este
resultado  caracteriza los ideales por la izquierda (resp. por la derecha) minimales en anillos
semiprimos,  lo que permite demostrar que  en  anillos semiprimos los z\'ocalos laterales
coinciden.

Se demuestra que todo anillo primo que posee un ideal por la izquierda minimal es primitivo: en
un anillo primo todo ideal por la izquierda minimal   puede verse como un
$R$-m\'odulo por la izquierda  simple y fiel, por lo que estos anillos son primitivos por la
izquierda, es m\'as,  por el Lema de Brauer cada ideal por la
izquierda minimal  da lugar a un ideal por la derecha minimal, por lo tambi\'en  son primitivos
por la derecha.
 Adem\'as, si $I$ es un ideal por la izquierda minimal de un anillo primo $R$, todos los
$R$-m\'odulos por la izquierda simples y fieles de $R$ son isomorfos, como $R$-m\'odulos por la
izquierda, a $I$ y el anillo de endomorfismos de cualquier $R$-m\'odulo por la
izquierda simple y fiel, que es un anillo de divisi\'on por el Lema de Schur, es isomorfo a  $eRe$,
en donde $e$ es cualquier idempotente de divisi\'on de $R$.

  Se demuestra que en anillos semiprimos el
z\'ocalo es hereditario para ideales: si
$I$ es un ideal de un anillo semiprimo $R$, $Zoc(I)=I\cap Zoc(R)$. As\'\i \ como que para todo
idempotente
$e\in R$, $Zoc(eRe)=eRe\cap Zoc(R)$.

Se caracterizan los elementos del z\'ocalo de un anillo semiprimo $R$ como aquellos
$x\in R$ para los que se satisface la condici\'on de cadena descendente para ideales por la
izquierda principales de la forma $Ry$ con $y\in Rx$. Esto  lleva a una cadena de resultados
interesantes:

(1) Los anillos
 semiprimos y unitario que coincide con su z\'ocalo son precisamente los semiprimos artinianos.

(2) Si  $e$ es un
idempotente contenido en el z\'ocalo de un anillo semiprimo $R$, $eRe$ es un anillo
semiprimo y artiniano. Por tanto, y en virtud del Teorema de Wedderburn-Artin , $eRe$  es una suma
directa  finita de anillos de matrices sobre anillos de divisi\'on.

(3) Se demuestra un teorema de Litoff, que afirma que un elemento $x$ en un anillo semiprimo $R$
est\'a contenido en el z\'ocalo de $R$ si y s\'olo si existe un idempotente $e\in Zoc(R)$ tal que
$x\in eRe$, en donde $eRe$ es un anillo semiprimo y artiniano. Como consecuencia obtenemos que  el
z\'ocalo de un anillo primo es ``localmente" un anillo de matrices sobre un anillo de divisi\'on.

(4)  El z\'ocalo de un anillo semiprimo es
un ideal regular von Neumann.

Como consecuencia de este \'ultimo hecho obtenemos que un anillo semiprimo con z\'ocalo esencial
es semiprimitivo, es decir, tiene radical de Jacobson cero.

\subheading{Teorema de estructura de los anillos semiprimos con z\'ocalo esencial}

Se estudia la descomposici\'on del z\'ocalo de un anillo semiprimo como suma de sus distintas
componentes homog\'eneas demostr\'andose que cada una de ellas es un ideal del anillo que visto
 como anillo es simple y coincide con su z\'ocalo.

Con este hecho se  demuestra que un anillo semiprimo con
z\'ocalo esencial es producto subdirecto esencial de anillos primos con z\'ocalo no nulos. M\'as
concretamente si $Zoc(R)=\oplus I_\alpha$, siendo $\{I_\alpha\}$  las componentes
homog\'eneas de
$Zoc(R)$:
$$\oplus I_\alpha\triangleleft R\subset \prod R/ann_R(I_\alpha),$$
en donde para cada $\alpha$, $R/ann_R(I_\alpha)$ es un anillo primo con z\'ocalo no nulo.

\subheading{ Estructura geom\'etrica de los anillos primos con z\'ocalo no nulo}

Se introduce la noci\'on de par dual de espacios vectoriales. Como ejemplo se ve que $(V,V^*, <>,
\Delta)$, en donde $V^*$ denota al dual de $V$,  es un par dual de espacios vectoriales, llamado el
dual pleno asociado a
$V$.

Se demuestra que si $(V,W,<>,\Delta)$ es un par dual de espacios vectoriales, $W$ es
isomorfo a un subespacio de $V^*$ y que si adem\'as $V$ tiene dimensi\'on finita, $W$ es isomorfo a
$V^*$. Por \'ultimo se demuestra el Teorema de la base dual.

Se define el concepto de aplicaci\'on continua respecto de un par dual de espacios vectoriales y se
demuestra que el conjunto de tales aplicaciones, denotando por $\Cal L_W(V)$ es un anillo primo con
z\'ocalo igual a
$\Cal F_W(V)$, el conjunto de aplicaciones continuas de rango finito. Por \'ultimo se demuestra que
un anillo $R$  es primo con z\'ocalo no nulo si y s\'olo si existe un par dual de espacios
vectoriales tal que $\Cal F_W(V)\subset R\subset \Cal L_W(V)$. Adem\'as, en este caso, $Zoc(R)=\Cal
F_W(V)$,
 es un ideal m\'\i nimo de
$R$. Se observa  que bajo esta representaci\'on,
 $R$ es un subanillo denso de un anillo de
endomorfismos de un espacio vectorial sobre un anillo de divisi\'on.

\vfill\eject

\Refs\nofrills
\noindent{\granbf Referencias}
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\ref  \by	 E-A. Behrens
 \book Ring Theory  \publ Academic Press,  New York, N.Y.
\yr 1972 \endref
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\ref  \by	 J.C. McConnell. J.C. Robson
 \book Noncommutative Noetherian Rings \publ John Wiley\& Sons
\yr 1987 \endref
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\ref  \by	 N. Jacobson
\book Lectures in Abstract Algebra
  \publ Van Nostrand Reinhold Company
\yr 1953 \endref
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\ref  \by	 Nathan Jacobson
\book Structure of Rings
  \publ American Mathematical Society, Vol XXXVII
\yr 1968 \endref
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\ref  \by	 M. Petrich
 \book Rings and Semigroups   \publ  Springer-Verlag
\yr 1974 \endref
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\ref  \by	 P. Ribenboim
 \book  Rings  and modules  \publ Interscience  Publishers , New York, N.Y
\yr 1969 \endref
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\ref  \by	 L.H. Rowen
 \book  Ring Theory I \publ Accademic Press, Inc., New York, N.Y
\yr 1988 \endref
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\endRefs
 


