
\centerline{\granbf   TEMA 7. }
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\centerline{\granbf  ANILLOS  SEMIPERFECTOS. }
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Lecci\'on 28.- Anillos locales y semilocales.\par
Lecci\'on 29.- Anillos semiperfectos. \par
Lecci\'on 30.- Anillos semiperfectos de cocientes simples. \par
Lecci\'on 31.- Anillos semiperfectos no unitarios.\par


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En este tema vamos a estudiar ciertas clases de anillos con radical de Jacobson distinto de
cero. Comenzaremos el tema con un estudio m\'as profundo de los anillos locales, \'estos  ya
aparecieron con la definici\'on de m\'odulo fuertemente indescomponibles y el Teorema de
Krull-Schmidt. Como  generalizaci\'on de los anillos locales se introducir\'a la noci\'on de
anillo semilocal y posteriormente, a\~nadiendo la propiedad de elevaci\'on de idempotentes, la
noci\'on de anillo  semiperfecto. Sorprendentemente al igual que los anillos de divisi\'on son la
estructura b\'asica para la construcci\'on de los  anillos semiprimos y artinianos, los anillos
locales van a ser la estructura b\'asicas con los que se construir\'an los anillos semiperfectos de
cociente simple: \'estos ser\'an anillos de matrices sobre anillos locales.

Todos los anillos que aparecen entre la  lecci\'on
28 a la 30 ser\'an, salvo que se diga lo contrario,  unitarios.

\subheading{ Anillos locales y semilocales}

Empezamos la lecci\'on recordando  el concepto de anillo local y estableciendo distintas
caracterizaciones de \'estos:
para un anillo $R$ las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $R/Rad(R)$ es un anillo de divisi\'on.
\item $R$ posee un \'unico ideal por la izquierda maximal.
\item $R$ posee un \'unico ideal por la derecha maximal.
\item $R-U(R)$ es un ideal de $R$.
\item $R-U(R)$ es un subgrupo de $R$.
\item Para cualquier $n$, si $a_1+a_2,\dotsb +a_n\in U(R)$, entonces  existe un $i$ tal que $a_i\in
U(R)$.
\item Si $a+b\in U(R)$, entonces $a\in U(R)$ o $b\in U(R)$.
\endroster
En donde $U(R)$ denota el conjunto de los elementos inversibles de $R$. Recordamos aqu\'{\i} que los
anillos locales no contienen m\'as idempotentes que los triviales.

Damos algunos ejemplos de anillos locales:

-- La localizaci\'on de un anillo
conmutativo por un ideal primo. Como ejemplo de esto, el subanillo $Z^p$ de
$\Bbb Q\,$, con $p\in \Bbb Z$ un
n\'umero primo,  formado por todos los elementos  que se pueden escribir con denominador no multiplo de
$p$.
 % parece el el Atiyac-Macdonald

-- Dado $R$ un anillo local, $R[[X]]$ el anillo de series formales,  as\'{\i} como
el anillo de series formales asim\'etrico $R[[X;\sigma]]$.

-- El subanillos del anillo de matrices triangulares superiores sobre un anillo de divisi\'on
formado por las matrices de diagonal constante.


Por \'ultimo caracterizamos los anillos artinianos que son locales como aqu\'ellos que s\'olo
poseen los idempotentes triviales.

 Se introduce el concepto de anillo semilocal como una generalizaci\'on de los anillos locales; se
dice que un anillo $R$ es semilocal si  $R/Rad(R)$ es un anillo semisimple. Claramente tanto los
anillos locales, como los artinianos por la izquierda (resp. por la derecha) son anillos
semilocales. Es m\'as, el producto directo finito de anillos semilocales es semilocal y si $R$ es un
anillo semilocal, cualquier cociente de $R$ as\'\i\  como $\Cal M_n(R)$, para $n\in \Bbb N$,  son
semilocales.

Ponemos de manifiesto que esta definici\'on es coherente con la dada en anillos conmutativos
demostrando que si un anillo $R$ contiene un n\'umero finito de ideales por la izquierda maximales
entonces el anillo es semilocal. El rec\'\i proco no se tiene en general, aunque s\'\i\  es cierto
cuando
$R/J(R)$ es conmutativo.

Para concluir el estudio de los anillos semilocales demostramos que \'estos son Dedekind-finitos (un
anillo $R$ se dice que es Dedekind-finito si dados $a,b\in R$ tales que $ab=1$, se tiene que
$ba=1$). Una generalizaci\'on de este hecho, demostrado por H. Bass en un trabajo pionero sobre
$K$-Teor\'\i a, afirma:

Sea $R$ un anillo semilocal, sea $a\in R$ e $I$ un ideal por la izquierda de $R$. Entonces
$Ra+I=R$ si y s\'olo si existe $y\in I$ tal que  $a+y\in U(R)$. Que demuestra que todo anillo
semilocal posee rango estable $1$.

 Por
\'ultimo caracterizamos los anillos semilocales por propiedades procedentes de su categor\'\i a de
m\'odulos, as\'\i:

Para un anillo $R$ las siguientes condiciones son equivalentes:
\roster
\item $R$ es semilocal.
\item Todo producto directo de $R$-m\'odulos simples es semisimple.
\item Todo producto directo de $R$-m\'odulos semisimples es semisimple.
\item Para todo $R$-m\'odulo $M$, $Zoc(M)=\{m\in M\vert (rad(R))m=0\}$.
\endroster

\newpage

\subheading{ Anillos semiperfectos}

Comenzamos introduciendo el concepto de anillo semiperfecto: se dir\'a que un anillo $R$ es
semiperfecto s\'\i\  es semilocal y todo idempotente de $R/Rad(R)$ se eleva a un
idempotente de $R$.

 Como ejemplos de anillos semiperfectos  se ven los anillos locales y los
anillos artinianos  por la izquierda (resp. por la derecha), este \'ultimo resultado se deduce del
hecho de que  el radical de Jacobson de un anillo artiniano es nilpotente y de que los idempotentes
se elevan m\'odulo cualquier ideal nil. As\'\i\ mismo se demuestra que la suma directa finita de
anillos semiperfectos es un anillo semiperfecto.

Construimos un  anillo $R$  que es un dominio conmutativo y unitario con unicamente
dos ideales maximales, lo que  da un ejemplo de un anillo semilocal que no es semiperfecto.

Comenzamos el estudio de los anillos semiperfectos viendo algunos resultados sobre idempotentes.

Se demuestra que si $M\subset Rad(R)$ es un ideal de $R$ y se pueden elevar idempotentes m\'odulo
$M$, entonces se pueden elevar familias numerables de idempotentes ortogonales m\'odulo $M$, es
decir: dado
$\{\overline x_i\}_{i\in \Bbb N}$ una familia de idempotentes orto\-gonales de $R/M$, existe
$\{e_i\}_{i\in \Bbb N}$ una familia de idempotentes ortogonales de $R$ tales que $\overline
x_i=\overline e_i$ para todo $i\in \Bbb N$. Por tanto, en  anillos
semiperfectos se elevan familias numerables de idempotentes ortogonales.


 Se introducen
 las distintas  descomposiciones de Peirce asociadas a un idempotente, digamos $e$, de un
anillo $R$:
$$\align R=&Re\oplus R(1-e)\\R=&eR\oplus (1-e)R\\R=&eRe\oplus eR(1-e)\oplus (1-e)Re\oplus
(1-e)R(1-e) \endalign $$
y se demuestra que un anillo $R$ se puede descomponer como suma directa de ideales por la izquierda
(resp. por la derecha), es decir,
$R=I_1\oplus I_2\oplus\dotsb \oplus I_n$ si y s\'olo si existen $n$ idempotentes ortogonales en $R$
tales que
$1=\sum e_i$, en donde $e_i\in I_i$ y $I_i=Re_i$ (resp. $I_i=e_iR$). Como consecuencia de este
hecho se obtiene la siguiente caracterizaci\'on de idempotente primitivo (un idempotente $e$ de un
anillo
$R$ se dice primitivo s\'\i\  no se puede escribir como suma de dos idempotentes ortogonales) y de
idempotente local:

Sea $R$ un anillo y $e$ un idempotente de $R$. Son equivalentes:
\roster
\item  $e\in R$ es
primitivo.
\item El ideal por la izquierda  $Re$  es indescomponible (resp. fuertemente indes\-componible).
\item El ideal por la derecha  $eR$  es indescomponible (resp. fuertemente indescom\-ponible).
\item El subanillo $eRe$ no contiene idempotentes no triviales (resp. $eRe$ es un anillo
local).
\endroster
Obviamente todo idempotente local es  primitivo. Con el siguiente resultado obtendremos que en
anillos semiperfectos ambos conceptos son equivalentes.


Se demuestra que dado un anillo semiperfecto $R$ y un idempotente $e\in R$, el subanillo $eRe$ es
semiperfecto. Es m\'as, para un anillo no necesariamente unitario $R$:
$$\align Rad(eRe)=Rad(R)&\cap
eRe=e(Rad(R))e\\ eRe/Rad(eRe)\cong &\
\overline e (R/Rad(R))\overline e\endalign$$

Tenemos entonces que un idempotente $e$ de un anillo semiperfecto $R$ es local (equivalentemente
primitivo) si y s\'olo si $\overline e\in R/Rad(R)$ es un idempotente de divisi\'on.



Se demuestra un teorema de descomposici\'on para anillos semiperfectos: sea
$R$ un anillo semiperfecto, entonces considerado $R$ como grupo aditivo se tiene que $R=S\oplus M$,
en donde $M$ es un subgrupo del radical de Jacobson de $R$ y $S$ es un subanillo de $R$ tal que $S$
es una suma directa finita  de anillos semiperfectos $R_1,R_2,\hdots,R_n$ cuyos anillos factores
son simples. M\'as adelante se ver\'a que  esta descomposici\'on  es \'unica salvo automorfismos
internos.

La demostraci\'on de este teorema consiste en tomar una familia de idempotentes centrales,
$\overline e_1,\overline e_2,\hdots ,\overline e_n$  de
$R/Rad(R)$ tales que $\overline {R_i}:=\overline e_iR/Rad(R)$ sea simple y elevarlos a una familia de
idempotentes ortogonales de $R$. Los anillos $R_i$ no son m\'as que $e_iRe_i$, por tanto son ideales
internos, y
$M$ no es m\'as que el ``residuo"
que aparece en la descomposici\'on de Peirce de $R$ respecto de los $\{e_i\}$, ya que
desgraciadamente los idempotentes centrales del cociente no se elevan a idempotentes centrales de
$R$.

Como corolario a este resultado obtenemos que un anillo conmutativo es semiperfecto  si y s\'olo si
es isomorfo a un coproducto finito de anillos locales (conmutativos).

\subheading{ Anillos semiperfectos de cocientes simple}

Comenzamos esta lecci\'on introduciendo una relaci\'on de equivalencia en el conjunto de los
idempotentes de un anillo $R$.

Sea $R$ un  anillo y sean $e$ y $f$  dos idempotentes de $ R$. Las siguientes condiciones son
equivalentes:
\roster

\item  $Re$ y $Rf$  son isomorfos como $R$-m\'odulos por la izquierda.
\item Existen $a,b\in R$ tales que $ab=e$ y $ba=f$. %[Lam, (21,20)]
\item $eR$ y $fR$ son isomorfos como $R$-m\'odulos por la derecha.
\endroster
En el caso de que se verifique alguna de las condiciones del teorema anterior se dice que $e$ y $f$
son dos idempotentes isomorfos.

Como primer resultado tenemos que
 dado un anillo $R$ y dos idempotentes $e,f\in R$,
$e$ es isomorfo a $f$ en $R$ si y s\'olo si  $\overline e$ es isomorfo a $\overline f$ en
$R/Rad(R)$.

 De lo anterior se deduce que  un
anillo $R$ es semiperfecto si y s\'olo si el $1$ se puede escribir como suma de idempotentes locales
ortogonales, o lo que es lo mismo, si y s\'olo si  $R$ se puede descomponer como suma directa finita
de ideales por la izquierda fuertemente  indescomponibles.

Tenemos por tanto que si $k$ es un anillo local, para cualquier $n\in \Bbb N$, $R=\Cal M_n(k)$
es un anillo semiperfecto de cociente simple ($R/rad(R)\cong\Cal M_n(\Delta)$ con $\Delta
=k/rad(R)$, anillo de divisi\'on). Usando el hecho de que en un anillo semiperfecto de cociente
simple dos idempotentes primitivos son isomorfos obtenemos que \'estos son los \'unicos anillos
semiperfectos de cociente simple, esto es:

Sea $R$ un anillo. Entonces $R$ es semiperfecto y $R/Rad(R)$ es simple si y s\'olo si $R$ es
isomorfo a $\Cal M_n(k)$, en donde $k$ es un anillo local.


\subheading{ Anillos semiperfectos no unitarios}

Esta  lecci\'on se plantea como un trabajo de investigaci\'on para alg\'un (algunos) alumno(s)
intrepido(s). Planteamos que suceder\'a con los  anillos semiperfectos  no unitarios, es decir,
los anillos $R$ tales que $R/rad(R)$ es semisimple y los idempotente se elevan m\'odulo el radical.

Como primera cuesti\'on se plantear\'a s\'\i\  la unitizaci\'on de un anillo semiperfecto ser\'a
semiperfecto, a lo que se tendr\'a que concluir que no.

Se plantea entonces  que todo anillo
semiperfecto, digamos
$R$, contiene un idempotente $e$ tal que
$R=eRe+rad(R)=S\oplus M$, en donde $eRe$ es  semiperfecto y unitario,  $S$ es una suma
directa de anillos semiperfectos y unitarios de cocientes simples (por lo que es isomorfo a una suma
directa de anillos de matrices sobre anillos locales)  y
$M$ es un subgrupo de $R$ contenido en $rad(R)$.

Por \'ultimo se le pantea la unicidad de dicha descomposici\'on.


\vfill\eject

\Refs\nofrills
\noindent{\granbf Referencias}
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\ref  \by	 M.F. Atiyah. I.G. Macdonald.
 \book Introducci\'on al \'algebra conmutativa  \publ Ed. Revert\'e
\yr 1980 \endref
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\ref  \by	 E-A. Behrens
 \book Ring Theory  \publ Academic Press,  New York, N.Y
\yr 1972 \endref
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\ref  \by	 P.M. Cohn
 \book Algebra (II) \publ John Wiley\& Sons
\yr 1977 \endref
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\ref  \by	 Nathan Jacobson
\book Structure of Rings
  \publ American Mathematical Society, Vol XXXVII
\yr 1968 \endref
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\ref  \by	 N. Jacobson
\book Basic Algebra II
  \publ W.H. Freeman and Company,  New York
\yr 1989 \endref
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\ref  \by	 T.Y. Lam
 \book A first course  in noncommutative rings \publ Graduate texts in Mathematics, Springer
\yr 1991 \endref
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\ref  \by	 J. Lambek
 \book Lectures on rings  and modules  \publ Chelsea Publishing Company, New York, N.Y
\yr 1976 \endref
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\ref  \by	 L.H. Rowen
 \book  Ring Theory I \publ Accademic Press, Inc., New York, N.Y
\yr 1988 \endref
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\endRefs
 


