

\centerline{\granbf   TEMA 8.}
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\centerline{\granbf ANILLOS DE COCIENTES. TEOREMAS DE GOLDIE. }
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Lecci\'on 32.- Localizaci\'on en anillos no conmutativos.\par
Lecci\'on 33.- Ordenes cl\'asicos por  la izquierda. Condici\'on de Ore.\par
Lecci\'on 34.- Anillos generales de cocientes por la izquierda.\par
Lecci\'on 35.- Anillos de Goldie por la izquierda. El Teorema cl\'asico de Goldie.\par
Lecci\'on 36.- Los teoremas de Johnson y Gabriel.\par
Lecci\'on 37.- El Teorema de Faith-Utumi.\par
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Comenzamos recordando el proceso de construcci\'on del cuerpo de fracciones de un dominio de
integridad. Este hecho demuestra  que todo dominio de integridad puede verse como
subanillo de un cuerpo, o lo que es lo mismo, de esta forma  se consigue sumergir una estructura
bastante  buena, la de dominio de integridad,  en una mejor, la de cuerpo.  En este tema vamos a dar
distintos tipos de anillos de cocientes, que no ser\'an m\'as que extensiones de un anillo dado que
mejorar\'an conside\-rablemente las propiedades de \'este. As\'\i, por ejemplo,
el anillo cl\'asico  de
cocientes por la izquierda (que en esencia lo que  pretende
es dado un anillo $R$ construir un anillo $Q$ extensi\'on de $R$ en donde cualquier elementos
regular de $R$ sea inversible en $Q$) de un anillo  semiprimo y noetheriano por la izquierda
resulta ser un anillo semiprimo y artiniano por la izquierda, con lo que quedan determinados
los anillos semiprimos noetherianos por la izquierda como  ordenes cl\'asicos por la izquierda en
anillos semiprimos y artinianos. Con un teorema similar se determinar\'an  los anillos no  singulares
por la izquierda con dimensi\'on uniforme por la izquierda finita como aqu\'ellos que son ordenes
de Utumi por la izquierda, otra vez,  en anillos semiprimos y artinianos por la izquierda.

\subheading{Localizaci\'on en anillos no conmutativos}

Introducimos el concepto de localizaci\'on en un anillo que no tiene que ser necesariamente
conmutativo: sea
$R$ un anillo y $S$ un subconjunto multiplicativamente cerrado de
$R$,  defi\-nimos la  localizaci\'on de $R$ en $S$ como un par $(R_S,\phi)$ en donde  $R_S$ es un
anillo y $\phi:R\to R_S$ es un homomorfismo de anillos que verifica:
\roster
\item $\phi(S)\subset Inv(R_S)$,
\item para cada $q\in R_S$ existe $a\in R$, $s\in S$ tales que
$q=\phi(s)^{-1}\phi(a)$ y
\item $Ker(\phi)=\{r\in R\vert sr=0\text{ para alg\'un } s\in S\}$.
\endroster
Nos preguntamos cuando dado un subconjunto multiplicativamente cerrado $S$ de un anillo $R$  existe
una localizaci\'on de $R$ en $S$ y obtenemos  dos condiciones necesarias sobre el conjunto $S$:
\roster
\item para todo  $a\in R$, $s\in S$ se tiene  que $Sa\cap Rs\ne \emptyset$. En este caso se
dice  que $S$ es  permutable por la  izquierda,
\item para todo $a\in R$, $s^\prime\in S$ tal que $as^\prime =0$ existe $s\in S$ con $sa=0$. En
este caso se dice  que $S$ es  reversible por la izquierda.
\endroster

 Un subconjunto no vac\'\i o $S$ que verifique las dos condiciones anteriores se dir\'a que es
un  conjunto de denominadores por la izquierda de $R$.

Demostramos un teorema  de Asano, extensi\'on
de un teorema probado por Ore en los a\~{n}os 30, que demuestra que una  condici\'on
necesaria y suficiente para que exista  la localizaci\'on de
$R$ en
$S$ es que $S$ sea un  conjunto de denominadores por la izquierda de $R$. Adem\'as, en este caso,
para todo homomorfismo  $f:R\to T$  con
$f(S)\subset Inv(T)$ existe un \'unico morfismo de anillos $g:R_s\to T$ tal que $g\phi=f$, por lo que
  la localizaci\'on de
$R$ en $S$, de existir, es \'unica salvo isomorfismos.


\subheading{Ordenes cl\'asicos por  la izquierda. Condici\'on de Ore}

Un caso especial de localizaci\'on es cuando el subconjunto  $S$  est\'a formado por elementos
regulares. En este caso   podemos considerar $R\subset R_S$. Dedicamos esta lecci\'on para este tipo
 de localizaciones.


Diremos que un subanillo $R$ de un
anillo $Q$ es un orden cl\'asico por la izquierda en $Q$
 o que $Q$ es un anillo cl\'asico de cocientes por la izquierda de $R$ si:
\roster
\item $Reg(R)\subset Inv(Q)$,
\item dado $q\in Q$ existen $a\in Reg(R)$, $b\in R$ tales que $q=a^{-1}b$.
\endroster

Como primer ejemplo tenemos que todo dominio de integridad es un orden cl\'asico por la izquierda en
su cuerpo de fracciones.

De los resultados de la lecci\'on anterior  se obtiene la condici\'on dada por Ore  para que un
anillo
posea  anillo cl\'asico de cocientes por la izquierda, \'esta es: para todo $x\in Reg(R)$, $y\in
R$ existe $a\in Reg(R)$, $b\in R$ tales que $ax=by$. En este caso se dice que $R$ es de Ore por la
izquierda. Es claro entonces  que si $R$ es un anillo de Ore por la izquierda, el anillo
cl\'asico de cocientes  por la izquierda, al que  denotaremos por $Q_{cl}^l(R)$, es   \'unico salvo
isomorfismos.

Existen anillos,
incluso dominios, que son de Ore por la izquierda, pero no lo son por la derecha. Como ejemplo damos
$F[X,\sigma]$, el  anillo de polinomios asim\'etricos en donde  $F$ es un cuerpo y
$\sigma:F\to F$ un monomorfismo de anillos no sobreyectivo.

Por \'ultimo demostramos la propiedad del
denominador com\'un para ordenes cl\'asicos por la izquierda:  sea $R$
un orden cl\'asico por
 la izquierda en un anillo $Q$. Entonces, dados
$q_1,q_2,\hdots,q_n\in Q$ existen $a\in Reg(R)$, $b_1,b_2,\hdots,b_n\in R$
tales que
$q_i=a^{-1}b_i$  para $i=1,2,\dotsb,n$.

\subheading{Anillos generales de cocientes por la izquierda}

Estudiamos una segunda noci\'on de anillo de cocientes, los anillo generales de cocientes por la
izquierda, que fueron introducidos por Utumi en la d\'ecada de los 50 del siglo XX. Sea $R$ un
subanillo de un anillo
$Q$. Se dice que
$Q$ es un  anillo general de cocientes por la izquierda de $R$, o que $R$ es un orden de Utumi por
la izquierda en $Q$, si para cualesquiera
 $p,q\in Q$, con $p\ne 0$, existe $x\in R$ tal que $xp\ne 0$ y $xq\in R$.


Relacionamos los anillos generales de cocientes por la izquierda con los ordenes cl\'asicos por la
izquierda demostrando que  todo orden cl\'asico por la izquierda es  de Utumi por la izquierda.

Mostramos, para este nuevo tipo de orden, una especie de propiedad del denominador com\'un: sea $Q$
un anillo general de cocientes por
la izquierda de
 $R$, entonces dados
 $q_1,q_2,\hdots,q_n\in Q$, con $q_1\ne 0$, existe $x\in R$ tal que
$xq_1\ne 0$ y
 $xq_i\in R$ para $i=1,2,\hdots,n$.

Una condici\'on
necesaria y suficiente  para que un anillo  tenga un anillo general de
cocientes por la izquierda
es que no posea divisores totales de cero por la derecha.
Obviamente un anillo puede tener m\'as de un anillo general de cocientes (si
$Q$ es un anillo general de cocientes por la izquierda de
$R$, cualquier
 anillo  $S$ tal que  $R\subseteq S\subseteq Q$, es un anillo general de
cocientes por la izquierda de $R$). No obstante
establecemos la
existencia de un anillo general de cocientes por la izquierda ``maximal"
para todo anillo $R$ sin divisores absolutos de cero por la derecha, a saber:
 dado  un anillo $R$
sin divisores absolutos de cero por la derecha existe un anillo
$Q$  tal que:
\roster
\item $Q$ es un anillo general de cocientes por la izquierda de $R$,
\item si $T$ es un anillo general de cocientes por la izquierda de $R$,
existe un \'unico
monomorfismo de anillos $\phi:T\to Q$ tal que $\phi(r)=r$ para todo $r\in R$.
\endroster
El anillo anterior es \'unico salvo isomorfismos y ser\'a denotado  por $Q_{max}^l(R)$,

En lo que sigue de la lecci\'on vamos a mostrar la estrecha relaci\'on existente entre
un anillo
$R$ y cualquier anillo general de cocientes por la izquierda suyo.


Comenzamos introduciendo algunas nociones que  ser\'an necesarias en las lecciones siguientes:


 Introducimos el ideal singular por la izquierda (resp. por la derecha) de un anillo $R$, a saber:
$$Z_l(R) := \{ x \in R \ \vert\ lan(x) \ \text{es un ideal por la izquierda esencial de }\  R \}, $$
demostramos que es un ideal de $R$. Definimos  anillo    no singular por la
izquierda (resp. no singular por la derecha y no singular). Como ejercicio se propondr\'a demostrar
que  un anillo conmutativo es no singular si y s\'olo si es semiprimo.

Introducimos la noci\'on de dimensi\'on uniforme  o dimensi\'on de Goldie:
diremos que un $R$-m\'odulo $M$ tiene dimensi\'on de Goldie  finita si no existen sumas directas
infinitas de subm\'odulos no nulos. Demostramos  entonces que existe $n\in \Bbb N$ tal que $M$
contiene una suma directa de $n$ subm\'odulos y que cualquier suma directa de subm\'odulos de $M$
tiene menos de $n$ sumandos, a este $n$ se le denomina  la dimensi\'on uniforme o dimensi\'on de
Goldie de
$M$ y se  denota  por
$u-dim_R(M)$. Definimos entonces la dimensi\'on de Goldie por la izquierda (resp. por la derecha) de
un anillo $R$ como la dimensi\'on de \'este como $R$-m\'odulo por la izquierda (resp. por la
derecha).

Observamos entonces que los anillos semisimples (y unitarios) son no singulares y tienen dimensi\'on
uniforme por la izquierda y por la derecha finita.

 Tenemos entonces el teorema que ven\'{\i}amos buscando y que relaciona  las propie\-dades de un
anillo
$R$ con las de cualquier anillo general de cocientes por la izquierda suyo:
 sea $Q$ un anillo general de cocientes por la
izquierda de
 $R$. Entonces
\roster
\item Para todo ideal por la izquierda no nulo $\Cal L$ de $Q$, $\Cal L\cap
R\ne 0$.
\item Si $R$ es semiprimo (primo), $Q$ es semiprimo (primo).
\item Dado $X\subset R$, $lan_R(X)= lan_Q(X)\cap R$.
\item Dados $X,Y\subset R$, $lan_R(X)\subset lan_R(Y)$ si y s\'olo si
$lan_Q(X)\subset lan_Q(Y)$.
\item $Z_l(R)=R\cap Z_l(Q)$.
\item $R$ es no singular por la izquierda si y s\'olo si $Q$ es no singular
por la izquierda.
\item $R$ tiene dimensi\'on uniforme por la izquierda finita si y s\'olo si
$Q$ tiene \linebreak
 dimensi\'on uniforme por la izquierda finita. Adem\'as, en este caso ambas
dimensiones coinciden.
\endroster


\subheading{Anillos de Goldie por la izquierda. Teorema cl\'asico de Goldie}

Comenzamos la lecci\'on definiendo anillo de Goldie por la izquierda (resp. por
la derecha) as\'\i\  como anillo de Goldie. Obtenemos que todo anillo noetheriano por la izquierda
es de Goldie por la izquierda.

Demostramos algunas propiedades interesantes de un  anillo, $R$,
semiprimo de Goldie por la izquierda:
\roster
\item para todo $a\in R$ tal que $lan(a)=0$ se verifica que $(a]_R$ es un ideal por la izquierda
 esencial de $R$.
 Adem\'as, en este caso,
$a\in Reg(R)$.
\item Para todo ideal por la izquierda  $I$ de $R$ existe $a\in I$ tal que $lan(a)\cap I=\{0\}$.
\item Un ideal por la izquierda de $R$ es esencial si y s\'olo si contiene un elemento regular.
\endroster

Como corolario a este resultado obtenemos que si $R$ es un anillo semiprimo de Goldie por la
izquierda $Q_{max}^l(R)=Q_{cl}^l(R)$.
Demostramos entonces el Teorema Cl\'asico de Goldie:
para un anillo $R$ los siguientes enunciados son equivalentes:
\roster
\item $R$ es un orden cl\'asico por la izquierda en un anillo semiprimo y artiniano.
\item $R$ es semiprimo de Goldie por la izquierda.
\item $R$ es semiprimo, no singular por la izquierda  con dimensi\'on uniforme por la izquierda
finita.
\item Un ideal por la izquierda $I$ de $R$ es esencial si y s\'olo si contiene un elemento regular.
\endroster
Adem\'as, si se verifica alguna de las condiciones anteriores, $R$ es primo si y s\'olo si
$Q:=Q_{cl}^l(R)$ es simple.

\subheading{Los teoremas de Johnson y Gabriel}

Siguiendo la l\'{\i}nea del Teorema de Goldie, los teoremas de Johnson y Gabriel carac\-terizan
cierta clase de anillos en funci\'on de su anillo  de cocientes por la izquierda maximal. As\'\i, en
el resultado de Johnson  se establece que un anillo
es no singular por la izquierda si y s\'olo si su  anillo de cocientes por la izquierda maximal es
regular von Neumann.

 El resultado de P. Gabriel  determinar\'a
los anillos  tales que su anillo de cocientes por la izquierda maximal es semiprimo y artiniano, a
saber, los anillos  no singulares por la izquierda que tienen dimensi\'on uniforme por la
izquierda finita.



\subheading{El Teorema de Faith-Utumi}

Se comienza demostrando que si $D$ es (un dominio de Ore por la izquierda que es) un orden por la
izquierda en un anillo de divisi\'on $\Delta$, entonces para cualquier $n\in \Bbb N$, $\Cal M_n(D)$
es un orden cl\'asico por la izquierda en $\Cal M_n(\Delta)$.

Si pensamos ahora en un anillo simple y
artiniano $Q$, tenemos, por el Teorema de Wedderburn-Artin, que $Q$ posee una cierta estructura
geom\'etrica, ya que puede verse como el anillo de endomorfismos de un espacio vectorial sobre un
anillo de divisi\'on, o lo que es lo mismo, $Q\cong \Cal M_n(\Delta)$ en donde $n\in \Bbb N$ y
$\Delta$ es un anillo de divisi\'on. Cabe preguntarse, s\'\i\  existe alguna relaci\'on
entre esta estructura geom\'etrica y cualquier orden cl\'asico por la izquierda suyo. La respuesta a
esta cuesti\'on la contesta el llamado Teorema de Faith-Utumi:

Sea $R$ un orden por la izquierda
en un anillo $Q$ primo y artiniano. Entonces existe un subanillo $R^\prime$ de $R$, un natural $n\in
\Bbb N$, un dominio de Ore $D$ que es un orden en un anillo de divisi\'on $\Delta$ y un isomorfismo
$f: Q\to \Cal M_n(\Delta)$ tales que:
$$\Cal M_n(D)=f(R^\prime)\cong R^\prime\subset  R\subset Q\cong f(Q)=\Cal M_n(\Delta)$$

En la
demostraci\'on de este teorema se hace ver que no toda representaci\'on geom\'etrica del anillo $Q$
es v\'alida, esto es, s\'\i\  $R$ es un orden cl\'asico por la izquierda en $\Cal M_n(\Delta)$, con
$\Delta$ un anillo de divisi\'on, no implica que exista un subanillo $D$ de $\Delta$ tal que $D$
sea un orden cl\'asico por la izquierda en $\Delta$ y $\Cal M_n(D)\subset R\subset \Cal M_n(\Delta)$.
Y se ve que una condici\'on necesaria y suficiente para que este hecho se de es que
$e_{ii}Re_{ii}\cap R\ne 0$ para
$i=1,2,\hdots, n$, en donde los $e_{ii}$ representan a las matrices unidad de $\Cal M_n(\Delta)$.


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\Refs\nofrills
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