

\centerline{\granbf   TEMA 9.}
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\centerline{\granbf P.I--ANILLOS. }
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Lecci\'on 38.- Identidades polin\'omicas.\par
Lecci\'on 39.- \'Algebras centrales simples. El Teorema de Kaplansky.\par
Lecci\'on 40.- La conjetura de G\"othe.\par
Lecci\'on 41.- Polinomios centrales. El Teorema de Posner.
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\subheading{Identidades polin\'omicas}


Comenzamos la lecci\'on introduciendo el concepto de identidad polin\'omica: dado un anillo $R$,
diremos que  $p\in \Bbb Z<X_1,\hdots,X_n>$, el anillo libre generado por $\{X_1,\hdots,X_n\}$, es
una identidad polin\'omica para
$R$ si para cualquier
homomorfismo de anillos
$\Phi:\Bbb Z<X_1,\hdots,X_n>\to R$, se verifica que  $\Phi(p)=0$.  A groso modo esto quiere decir
que siempre que se sustituyan $n$ elementos de $R$ en  $p$  da cero. Se define un
P.I--anillo como aqu\'el que verifica una identidad polin\'omica m\'onica.

Como ejemplos de P.I--anillos tenemos:
\roster
\item"--" Los anillos conmutativos; verifican la identidad est\'andar $S_2$.
\item"--" Las \'algebras de dimensi\'on finita; si es de dimensi\'on $n$
verifica la identidad est\'andar $S_{n+1}$.
\item"--" Los anillos  que son finitamente generado como m\'odulos
sobre su centro. Un caso particularmente importante de este tipo son los
  anillo de matrices  sobre  anillos conmutativos.
\item"--" Los anillos nil de \'{\i}ndice de nilpotencia acotado; si $n$ es el \'{\i}ndice de nilpotencia, el
anillo verifica $X^n$.
\item"--" Las \'algebras  algebraicas de grado acotado; si $n$ es una cota del grado, verifica la
identidad
$S_n([X,Y],[X^2,Y],\hdots, [X^n,Y])$.
\endroster

Demostramos que la clase de los P.I--anillos es cerrada para subanillos,  im\'agenes
homom\'orficas (por tanto cocientes) y sumas directas finitas.



Introducimos el concepto de identidad polin\'omica multilineal y demostramos que si $R$ verifica una
identidad polin\'omica (m\'onica) de grado $n$, entonces verifica una identidad polin\'omica
(m\'onica) multilineal de grado $n$.

Estudiamos los anillos de matrices, demostrando que si $R$ es un anillo unitario, $\Cal M_n(R)$,
no verifica ninguna identidad polin\'omica de grado menor de $2n$.
Con este resultado obtenemos una primera aproximaci\'on al Teorema de Kaplansky:
si
$R$ es un
P.I--anillo primitivo que verifica una identidad polin\'omica de grado $d$, entonces existen un
anillo de divisi\'on
$\Delta$ y un natural $n$, con $n\le \frac d2$, tales que $ R\cong \Cal M_n(\Delta)$. Por tanto,
 un
P.I--anillo primitivo   es simple y artiniano.



\subheading{\'Algebras centrales simples. Teorema de Kaplansky}

Comenzamos estudiando  los anillos  $R:=\Cal M_n(\Delta)$, en donde $\Delta$ es
un anillo de divisi\'on. Demostramos que si $H$ es un subcuerpo maximal de
$\Delta$, $S=R\otimes_{Z(R)} H$ es  un anillo simple y primitivo. Es m\'as, si $V$ un un
$R$-m\'odulo simple y fiel, $V$ puede ser dotado de estructura de $S$-m\'odulo simple y fiel con
$End(_SV)=H$.  Por \'ultimo demostramos que si $V$ tiene dimensi\'on finita sobre $H$, $S\cong \Cal
M_m(H)$ en donde $dim_H\Delta=dim_{Z(R)}H=m/n$ y $dim _{Z(R)}R=m^2$.

Si aplicamos este resultado a un  P.I--anillo primitivo, que ya sabemos que es de la forma
$\Cal M_n(\Delta)$, con $\Delta$  un anillo de divisi\'on, por el resultado anterior
$S:=R\otimes H$ vuelve a ser un P.I--anillo primitivo (al ser $R$ un P.I--anillo,  $R$ verifica una
identidad polin\'omica multilineal, y toda identidad polin\'omica multilineal de $R$ lo es de $S$).
Por tanto existe $m\in \Bbb N$ tal que $S\cong \Cal M_m(H)$, en donde $dim_H\Delta=dim_{Z(R)}H=m/n$
y
$dim _{Z(R)}R=m^2$, lo que  demuestra  el Teorema de Kaplansky:
todo P.I--anillo primitivo es  simple de dimensi\'on finita sobre su
centro.

\subheading{La conjetura de G\"othe}

Al igual que los anillos conmutativos o las \'algebras de dimensi\'on finita (m\'as aun, las
\'algebras artinianas)  los P.I--anillos verifican la conjetura de G\"othe, esto es: un
P.I--anillos sin ideales nil no nulos no contienen ideales por la izquierda (resp. por la derecha)
nil no nulos. Es m\'as, demostramos que un P.I--anillo es semiprimo si y s\'olo si no contiene
ideales por la izquierda (resp. por la derecha) nil no nulos.



Comprobamos que el anillo de polinomios con coeficientes en  un anillo  sin  idea\-les
por la izquierda nil   es semiprimitivo. Este es el primer paso para sumergir un P.I--anillo
semiprimo en un anillo de matrices sobre un producto de cuerpos:
si $R$ es un P.I.--anillo semiprimo, tenemos que $R[X]$ es un P.I--anillo semiprimitivo. \'Este a
su vez es producto subdirecto de anillos P.I--anillos primitivos, cada uno de los cuales se puede
ver como subanillo de un anillo de matrices sobre un cuerpo. Por \'ultimo, como cada uno de estos
anillos de matrices tienen su \'\i ndice acotado por el grado de la identidad polin\'omica que
verifica $R$ tenemos que podemos ver este producto subdirecto como subanillo de un anillo de
matrices, de \'\i ndice menor que  el grado de la identidad polin\'omica que
verifica $R$, sobre el producto de todos estos cuerpos. Es m\'as, si $R$ es un P.I--anillo primo,
$R$ es  subanillo de un anillo de matrices sobre un cuerpo. Obtenemos entonces que
 un P.I--anillo semiprimo es
Dedekind-finitos y verifica
$S_n$ para alg\'un
$n\in
\Bbb N$.
 Otro resultado interesante que se obtiene de lo anterior, y del que se habl\'o en el tema 5,  es
que todo anillo de divisi\'on de dimensi\'on finita sobre su centro es subanillo de un anillo de
matrices sobre un cuerpo.


\subheading{Polinomios centrales. El Teorema de Posner}

Introducimos el concepto de identidad central y demostramos, haciendo uso de  los polinomios
de Capelli, que $\Cal M_n(A)$, en donde  $A$ es un anillo conmutativo, verifica una identidad
central de grado $2n^2+1$.

Gracias al resultado anterior obtenemos que el centro de un P.I--anillo semiprimo es no nulo.

Por \'ultimo demostramos que si $R$ es un P.I--anillo primo, $R$  es de Goldie. Como adem\'as, por
el resultado anterior,  todo ideal por la izquierda esencial de $R$ corta de forma no trivial
a $Z(R)$ se tiene que $R$ es un orden central en un anillo de matrices sobre un anillo de
divisi\'on, \'este de dimensi\'on finita sobre su centro (Teorema de Posner).


\vfill\eject
\Refs\nofrills
\noindent{\granbf Referencias}
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\ref \by	 E-A. Behrens
 \book Ring Theory  \publ Academic Press,  New York, N.Y
\yr 1972 \endref
\bigpagebreak


\ref \by	 P.M. Cohn
 \book Algebra (II) \publ John Wiley\& Sons
\yr 1977 \endref
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\ref  \by	 J.C. McConnell. J.C. Robson
 \book Noncommutative Noetherian Rings \publ John Wiley\& Sons
\yr 1987 \endref
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\ref  \by	 Nathan Jacobson
\book Structure of Rings
  \publ American Mathematical Society, Vol XXXVII
\yr 1968 \endref
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\ref  \by	 L.H. Rowen
 \book  Polynomial Identities in Ring Theory \publ Accademic Press, Inc., New York, N.Y
\yr 1980 \endref
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\ref  \by	 Vesselin Drensky
 \book Free Algebras and P.I--Algebras  \publ  Springer-Verlag
\yr 1999 \endref
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\endRefs
 
