Aclaración de aplicación
Acabamos de ver un primer concepto de aplicación. Por ejemplo, si consideramos la función f:R⟶R definida por f(x)=x2, sabemos que f(5)=25 o que f(−√2)=2. Tenemos que preguntarnos, y es realmente muy importante, qué relación hay entre lo que conocemos y las "nuevas" definiciones. Recordemos la definición de aplicación:
☆ Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Se define una aplicación f de X en Y, y se representa por f:X⟶Y, como un subconjunto F de X×Y tal que para todo x∈X existe un único y∈Y con (x,y)∈F. |
En este caso, para f tendríamos que buscar un subconjunto de R×R, que sería {(x,x2) : x∈R}. Veamos otro ejemplo. Si consideramos los conjuntos X:={a,b,e,g} y el conjunto de los números naturales, la aplicación F:={(a,1),(b,2),(e,5),(g,7)}, con la representación "clásica" de función, se representa por f:X⟶N, y es la que a cada elemento de X le asigna el puesto que ocupa en el abecedario, es decir, f(a)=1, f(b)=2, f(e)=5 y f(g)=7. Se puede observar que en ambas representaciones la información que se da es la misma.
★ Cuando representamos una aplicación F como subconjunto del producto cartesiano, por ejemplo, F:={(a,1),(b,2),(e,5),(g,7)}, cada elemento de X aparece una y solo una vez en la primera coordenada de los pares de F (en rojo en el ejemplo). Si esto no sucede, entonces F no es una aplicación.
Podemos ver que, dada una función f:X⟶Y, la representación como subconjunto del producto cartesiano es {(x,f(x)) : x∈X}.