Aclaración de aplicación
Acabamos de ver un primer concepto de aplicación. Por ejemplo, si consideramos la función $\,f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^2$, sabemos que $f(5)=25$ o que $f(-\sqrt 2)=2$. Tenemos que preguntarnos, y es realmente muy importante, qué relación hay entre lo que conocemos y las "nuevas" definiciones. Recordemos la definición de aplicación:
| ☆ Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vacíos. Se define una aplicación $f$ de $X$ en $Y$, y se representa por \[f:X\longrightarrow Y,\] como un subconjunto $F$ de $X\times Y$ tal que para todo $x\in X$ existe un único $y\in Y$ con $(x,y)\in F$. |
En este caso, para $f$ tendríamos que buscar un subconjunto de $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, que sería $\{(x,x^2)\ :\ x\in \mathbb{R}\}$. Veamos otro ejemplo. Si consideramos los conjuntos $X:=\{a,b,e,g\}$ y el conjunto de los números naturales, la aplicación $F:=\{(a,1),(b,2),(e,5),(g,7)\}$, con la representación "clásica" de función, se representa por $f:X\longrightarrow\mathbb{N}$, y es la que a cada elemento de X le asigna el puesto que ocupa en el abecedario, es decir, $f(a)=1$, $f(b)=2$, $f(e)=5$ y $f(g)=7$. Se puede observar que en ambas representaciones la información que se da es la misma.
$\bigstar$ Cuando representamos una aplicación $F$ como subconjunto del producto cartesiano, por ejemplo, $F:=\{($$a$$,1),($$b$$,2),($$e$$,5),($$g$$,7)\}$, cada elemento de $X$ aparece una y solo una vez en la primera coordenada de los pares de $F$ (en rojo en el ejemplo). Si esto no sucede, entonces $F$ no es una aplicación.
Podemos ver que, dada una función $\,f:X\longrightarrow Y$, la representación como subconjunto del producto cartesiano es $\{(x,f(x))\ :\ x\in X\}$.