Aclaración de aplicación

Acabamos de ver un primer concepto de aplicación. Por ejemplo, si consideramos la función $\,f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^2$ , sabemos que $f(5)=25$ o que $f(-\sqrt 2)=2$ . Tenemos que preguntarnos, y es realmente muy importante, qué relación hay entre lo que conocemos y las "nuevas" definiciones. Recordemos la definición de aplicación:

☆ Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vacíos. Se define una aplicación $f$ de $X$ en $Y$ , y se representa por $f:X\longrightarrow Y,$ como un subconjunto $F$ de $X\times Y$ tal que para todo $x\in X$ existe un único $y\in Y$ con $(x,y)\in F$ .

En este caso, para $f$ tendríamos que buscar un subconjunto de $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ , que sería $\{(x,x^2)\ :\ x\in \mathbb{R}\}$ . Veamos otro ejemplo. Si consideramos los conjuntos $X:=\{a,b,e,g\}$ y el conjunto de los números naturales, la aplicación $F:=\{(a,1),(b,2),(e,5),(g,7)\}$ , con la representación "clásica" de función, se representa por $f:X\longrightarrow\mathbb{N}$ , y es la que a cada elemento de X le asigna el puesto que ocupa en el abecedario, es decir, $f(a)=1$ , $f(b)=2$ , $f(e)=5$ y $f(g)=7$ . Se puede observar que en ambas representaciones la información que se da es la misma.

$\bigstar$ Cuando representamos una aplicación $F$ como subconjunto del producto cartesiano, por ejemplo, $F:=\{($ $a$ $,1),($ $b$ $,2),($ $e$ $,5),($ $g$ $,7)\}$ , cada elemento de $X$ aparece una y solo una vez en la primera coordenada de los pares de $F$ (en rojo en el ejemplo). Si esto no sucede, entonces $F$ no es una aplicación.

Podemos ver que, dada una función $\,f:X\longrightarrow Y$ , la representación como subconjunto del producto cartesiano es $\{(x,f(x))\ :\ x\in X\}$ .