Conjuntos

• Ejemplos de conjuntos dando sus elementos: $X:=\{1,2,3,4\}$, $Y:=\{1,a,\text{rojo}\}$.
• Ejemplos de conjuntos dando una propiedad: $A:=\{\text{$x$ natural}:1\le x\le 4\}$.

• Hasta que no se han dado o caracterizado los elementos de un conjunto, este no está definido, por lo que la propiedad que determina a los elementos de un conjunto no debe hacer uso del conjunto en sí.
• Por la misma razón, un conjunto no puede ser elemento de sí mismo (para incluirlo como elemento tiene que ser algo y un conjunto no es algo hasta que se fijan todos sus elementos).

Definición: Diremos que un elemento "$a$" pertenece a un conjunto $X$, y lo denotaremos por $a\in X$, si "$a$" es uno de los miembros de $X$. Si $a$ no es miembro de $X$, diremos que $a$ no pertenece a $X$ y lo denotaremos por $a\notin X$.

Nota: Para que un conjunto esté correctamente definido, se debe poder determinar si un objeto pertenece o no pertenece a él de forma inequívoca.

Definición: Dado un conjunto $X$, diremos que $Y$ es un subconjunto de $X$ (o que $Y$ está contenido en $X$), y lo denotaremos por $Y\subset X$, si todo elemento de $Y$ es elemento de $X$. Es decir, \[y\in Y\Rightarrow y\in X.\] Por tanto, si existe un elemento $y\in Y$ tal que $y\notin X$, entonces $Y$ no es un subconjunto de $X$.

Definición: Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos. Diremos que $X$ es igual a $Y$, y lo representaremos $X=Y$, si $X\subset Y$ e $Y\subset X$.

Definición: El conjunto vacío, denotado por $\emptyset$, es aquel que carece de elementos.

Definición: Sea $X$ un conjunto. Definimos el conjunto partes de $X$, y lo representamos por $\mathcal P(X)$, como el conjunto que tiene por elementos todos los subconjuntos de $X$.