Anillos:

Hasta este momento has estudiado distintas estructuras y sus propiedades de forma independiente. Has trabajado con $\mathbb Z$, el "anillo" de los enteros, con $\mathbb Q$, el "anillo" de los racionales, con $\mathbb R$, el "anillo" de los reales, puede que hayas visto $\mathbb C$, el "anillo" de los complejos, has trabajado con matrices cuadradas con coeficientes reales, así como en el conjunto de funciones de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ y algunas estructuras más, ¿Qué tienen en común todas estas estructuras?

En todas ellas hay dos operaciones: una "suma" y un "producto", que verifican las siguientes propiedades:

Respecto de la suma:

Propiedad asociativa: $(x+y)+z=x+(y+z)$.
Propiedad conmutativa: $x+y=y+x$.
Elemento neutro: existe un elemento "$0$" tal que $x+0=x$. (Elemento neutro de la suma en ejemplos)
Elemento opuesto: para todo $x$ existe un elemento $-x$ tal que $x+(-x)=0$. (Elemento opuesto de la suma en ejemplos)

Respecto del producto (la composición para las funciones reales) :

Propiedad asociativa: $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$.
Elemento neutro: existe un elemento "$1$" tal que $x\cdot 1=1\cdot x=x$. (Elemento neutro del producto en ejemplos)

Propiedades mixtas. Las distributivas:

$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$.
$z\cdot(x+y)=z\cdot x+z\cdot y$.

No hemos mencionado la propiedad conmutativa del producto, ya que esta no se tiene ni para las matrices ni para la composición de funciones.

El elemento opuesto del producto se suele denominar inverso, y tiene que verificar la misma condición que el opuesto de la suma, es decir, el resultado de operar un elemento y su opuesto debe ser el elemento neutro. Ahora bien, no todos los elementos de los conjuntos anteriores tienen inverso, lo que da lugar a la siguiente definición: Se dice que un elemento x es invertible (o que tiene inverso) si existe un elemento $y$ tal que $x\cdot y=y\cdot x=1$. En un anillo, algunos elementos tienen inverso y otros no lo tienen. ¿Qué elementos son invertibles en los ejemplos?

Definición:

Se dice que un conjunto $R$ con dos operaciones "$+$" y "$\cdot$" es un anillo si verifica:

Respecto de la suma $+$:

Propiedad asociativa: $(x+y)+z=x+(y+z)$.
Propiedad conmutativa: $x+y=y+x$.
Elemento neutro: existe un elemento "$0$" tal que $x+0=x$.
Elemento opuesto: para todo $x$ existe un elemento $-x$ tal que $x+(-x)=0$.

Respecto del producto $\cdot$ :

Propiedad asociativa: $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$.
Elemento neutro: existe un elemento "$1$" tal que $x\cdot 1=1\cdot x=x$.

Distributivas:

$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$.
$z\cdot(x+y)=z\cdot x+z\cdot y$.

Todos los ejemplos con los que hemos trabajado son anillos: $\mathbb Z$ es el anillo de los enteros, $\mathbb Q$ es el anillo de los racionales, $\mathbb R$ es el anillo de los reales, $\mathbb C$ es el anillo de los complejos, el conjunto de las matrices cuadradas (de un tamaño fijo) con coeficientes reales, y el conjunto de funciones de $\mathbb R$ en $\mathbb R$. También hay anillos cuyos elementos no tienen nada que ver con los números. Veamos un ejemplo aquí.

Observemos que cualquier resultado que se demuestre para la estructura de anillo, será cierto en cualquier anillo concreto en el que trabajemos. En Teoremas sobre anillos puedes ver algunos de estos resultados.

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