¿Qué son las Matemáticas?

Aplicaciones y cardinales

Definición de aplicación

☆ Dados dos conjuntos no vacíos $X$ e $Y$, se define el producto cartesiano de $X$ e $Y$, y se representa por $X\times Y$, como un nuevo conjunto formado por todos los pares $(x,y)$ donde $x\in X$ e $y\in Y$. Esto es, \[ X\times Y:=\{(x,y):x\in X,\,y\in Y\}. \]

Como ejemplo, dados $A=\{1,2,a\}$ y $B=\{a,b,c\}$, se tiene que $A\times B:=\{(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (a,a), (a,b), (a,c)\}$.

☆ Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vacíos. Se define una aplicación  $f$ de $X$ en $Y$, y se representa por  $f:X\longrightarrow Y$, como un subconjunto $F$ de $X\times Y$ tal que para todo $x\in X$ existe un único $y\in Y$ con $(x,y)\in F$. (Aclaración)

Tipos de aplicaciones

☆ Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vacíos. Diremos que una aplicación  $f:X\longrightarrow Y$ es sobreyectiva si para todo $y\in Y$ existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.

☆ Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vacíos. Diremos que una aplicación  $f:X\longrightarrow Y$ es inyectiva si para todo par de elementos $x_1,x_2\in X$ con $x_1\ne x_2$ se tiene que $f(x_1)\ne f(x_2)$.

☆ Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos no vacíos. Diremos que una aplicación  $f:X\longrightarrow Y$ es biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva.

En el siguiente enlace puedes aclarar estas definiciones con ayuda de los denominados diagramas de Venn (Aclaración).

Definición de cardinal

El cardinal de un conjunto se puede definir de manera informal como la cantidad de elementos que tiene ese conjunto. ¿Pero, por qué de manera informal? Si el conjunto es finito (es decir, con un número determinada de elementos, que pueden ser muchos, pero no son infinitos) entonces la definición anterior es correcta: el cardinal del conjunto es el número de elementos que tiene. Ahora bien, si el conjunto es infinito (tiene una cantidad infinita de elementos), no podemos definir su cardinal simplemente como infinito. La razón es que existen "distintos tipos de infinito", es decir, hay conjuntos infinitos que son "más grandes" que otros. Por tanto, dar la definición de cardinal de un conjunto de una manera rigurosa no es tan fácil. Empezaremos definiendo cuando dos conjuntos tienen el mismo cardinal.

☆ Diremos que dos conjuntos no vacíos $X$ e $Y$ son equipotentes (tienen el mismo cardinal) si existe una aplicación biyectiva $\,f:X\longrightarrow Y$.