Matemáticas
Toda teoría matemática consta de axiomas (conceptos primitivos que, en teoría,
son nociones naturales que todo el mundo controla, domina y entiende) a partir de los cuales se construyen las
definiciones. Las relaciones "lógicas" entre definiciones dan lugar a los teoremas (lemas,
proposiciones, teoremas y corolarios).
Los primeros contenidos que verás en el grado de matemáticas tratan sobre conjuntos y aplicaciones,
seguidos de un primer estudio del
conjunto de los números naturales y el de los números enteros.
☆ Se introduce el concepto de conjunto (es un axioma) y las definiciones de pertenencia y contenido. Se define el conjunto vacío y el conjunto partes de un conjunto. En el enlace "conjuntos" puedes encontrar estas nociones, con un breve cuestionario que te dirá si las has entendido bien. Como puedes comprobar con las preguntas 8, 9 y 10 del cuestionario, conceptos muy simples dan lugar a preguntas no fáciles de responder. Hay preguntas en matemáticas muy fáciles de enunciar que no tienen una respuesta fácil. Por ejemplo, el Teorema de Goldbach: "Todo número par mayor que dos se puede expresar como suma de dos números primos" lleva casi 300 años enunciado sin que ningún matemático haya podido demostrar si es verdadero o falso.
☆ El concepto de aplicación y las definiciones de aplicación inyectiva, sobreyectiva y biyectiva dan lugar a la noción de cardinal y de conjunto equipotente. Estos conceptos empiezan a ser bastante abstractos, a la vez que la noción de cardinal infinito se separa un poco de la intuición "finita" que se tiene hasta este momento. En "aplicaciones" puedes encontrar las definiciones, algunos resultados y un breve cuestionario que te dirá lo que has entendido y lo que no.
☆ Un teorema que demostrarás en la asignatura "Estructuras básicas del álgebra" es el Teorema de Euclides. Este teorema aparece por primera vez en la proposición 20 del libro IX de la obra de Euclides "Elementos" (véase en wikipedia). Su formulación es fácil:
En este enlace, a modo de presentación, podrás encontrar una demostración del mismo.
☆ Una de las primeras nociones que se van a estudiar es la estructura de anillo. En el siguiente enlace podrás encontrar su definición y algunos resultados simples sobre anillos.