Curso 2003--04

Álgebra. Cuarto curso.

Contenido

Esta asignatura desarrolla un programa de álgebra conmutativa. Es sabido que los resultados y métodos del álgebra conmutativa pueden utilizarse muy provechosamente en geometría algebraica y teoría algebraica de números. Muchas de las clases de módulos y anillos que aparecen en ambas son introducidos y estudiados aquí. El tema final está dedicado a la teoría de la dimensión, la cual incluye los más importantes teoremas del álgebra conmutativa (teorema de la dimensión y de los ideales principales).

Número de créditos: 9

Programa

1. Ideales primos y maximales. Nilradical y radical de Jacobson.
2. El espectro de un anillo.
3. Lema de Nakayama.
4. Anillos y módulos de fracciones.
   1. Ideales primos en anillos de fracciones.
   2. Módulos de fracciones.
   3. Localización y globalización.
5. Teorema del ascenso.
6. Teorema del descenso.
7. Condiciones de cadena en anillos y módulos.
8. Teorema de la base.
9. Teorema de los ceros.
10. Ideales primos asociados y descomposición primaria.
11. Anillos y módulos de longitud finita.
12. Anillos artinianos. Teorema de Akizuki y Hopkins.
13. Teorema de estructura de los anillos artinianos.
14. Dependencia en retículos de cambio.
15. Bases de trascendencia. Teorema de Lüroth.
16. Lema de normalización de Noether.
17. Dimensión de álgebras afines.
18. Dominios de Dedekind.
19. Valoraciones. Anillos de valoración discreta.
20. Anillos y módulos graduados. Filtraciones.
21. Función de Hilbert y polinomio de Hilbert-Samuel.
22. Teorema de la dimensión de Krull.

Ejercicios propuestos

1. Ideales primos y maximales. Nilradical y radical de Jacobson (pdf).
2. El espectro de un anillo (pdf).
3. Lema de Nakayama (pdf).
4. Anillos y módulos de fracciones (pdf).
5. Teorema del ascenso (pdf).
6. Teorema del descenso (pdf).
7. Condiciones de cadena en anillos y módulos (pdf).
8. Teorema de la base (pdf).
9. Teorema de los ceros (pdf).
10. Ideales primos asociados y descomposición primaria (pdf).
11. Anillos y módulos de longitud finita (pdf).
12. Anillos artinianos. Teorema de Akizuki y Hopkins (pdf).
13. Teorema de estructura de los anillos artinianos (pdf).
14. Dependencia en retículos de cambio (pdf).
15. Bases de trascendencia. Teorema de Lüroth (pdf).
16. Lema de normalización de Noether.
17. Dimensión de álgebras afines (pdf).
18. Valoraciones. Anillos de valoración discreta.
19. Dominios de Dedekind.
20. Anillos y módulos graduados. Filtraciones (pdf).
21. Función de Hilbert y polinomio de Hilbert-Samuel.
22. Teorema de la dimensión de Krull (pdf).

Curso 2002--03

Álgebra Clásica

Contenido

En esta asignatura se aborda el estudio de las extensiones de cuerpos y de la teoría de Galois. Se incluyen aplicaciones a la constructibilidad con regla y compás y a la solubilidad de ecuaciones por radicales.

Número de créditos: 6

Programa

1. Dependencia entera.
2. Extensiones finitas y algebraicas.
3. Construcciones con regla y compás.
4. Cuerpos de descomposición. Clausura algebraica.
5. Extensión de inmersiones. Consecuencias.
6. Extensiones normales.
7. Extensiones separables.
8. Cuerpos finitos.
9. Teorema del elemento primitivo.
10. Norma, traza y discriminante.
11. Teorema fundamental de la teoría de Galois.
12. Extensiones ciclotómicas.
13. Teorema fundamental del álgebra.
14. Cuerpos de funciones racionales.
15. Independencia lineal de caracteres.
16. Extensiones cíclicas.
17. Grupos derivados. Solubilidad de grupos.
18. Teorema de Jordan-Hölder.
19. Teoremas de Abel y Galois.
20. El criterio de Galois sobre solubilidad.
21. La ecuación general de grado n.
22. Ecuaciones generales de grado 2 y 3.
23. Ecuaciones sencillas insolubles.
24. Trascendencia de e y π

Ejercicios propuestos

1. Dependencia entera.
2. Extensiones finitas y algebraicas.
3. Construcciones con regla y compás.
4. Cuerpos de descomposición. Clausura algebraica.
5. Extensión de inmersiones. Consecuencias.
6. Extensiones normales.
7. Extensiones separables.
8. Cuerpos finitos.
9. Teorema del elemento primitivo.
10. Norma, traza y discriminante.
11. Teorema fundamental de la teoría de Galois.
12. Extensiones ciclotómicas.
13. Teorema fundamental del álgebra.
14. Cuerpos de funciones racionales.
15. Independencia lineal de caracteres.
16. Extensiones cíclicas.
17. Grupos derivados. Solubilidad de grupos.
18. Teorema de Jordan-Hölder.
19. Teoremas de Abel y Galois.
20. El criterio de Galois sobre solubilidad.
21. La ecuación general de grado n.
22. Ecuaciones generales de grado 2 y 3.
23. Ecuaciones sencillas insolubles.
24. Trascendencia de e y π

Curso de LaTeX

Contenido

Ejercicios de extensiones de cuerpos y teoría de Galois